\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}

\markboth{Kelson Novrianus Lessya dkk} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{Bilangan Kromatik Lokasi Graf Helm $H_m$ dengan $3\leq m\leq 9$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF HELM $H_M$ DENGAN $3\leq M\leq 9$}

\author{Kelson Novrianus Lessya$^{a}$, Des Welyyanti$^{b}$ \footnote{penulis korespondensi}, Lyra Yulianti$^{c}$\\}

\address{$^{a,b,c}$ Departemen Matematika dan Sains Data,\\ Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,\\ Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia\\
%$^{b}$ Departemen Matematika dan Sains Data,\\
%$^{c}$ Departemen Matematika dan Sains Data.\\
email : \email{kelsonnovrianuslessya@gmail.com, wely@sci.unand.ac.id, lyra@sci.unand.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima ..... \quad Direvisi ..... \quad Dipublikasikan ..... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}. %Dalam bahasa Indonesia
Misalkan $G=(V,E)$ adalah graf terhubung dan $c$ suatu $k-$pewarnaan dari $G$. Kelas warna pada $G$ adalah himpunan titik-titik yang berwarna $i$,\linebreak dinotasikan dengan $S_i$ untuk $1\leq i\leq k$. Misalkan $\Pi=\lbrace S_1, S_2.\cdots, S_k\rbrace$ merupakan partisi terurut dari $V(G)$ kedalam kelas-kelas warna yang saling bebas. Berdasarkan pewarnaan titik, maka representasi titik $v$ terhadap $\Pi$ disebut kode warna dari $v$,\linebreak dinotasikan dengan $c_{\Pi}(v)$ dari suatu titik $v\in V(G)$ didefinisikan sebagai $k-$pasang terurut, yaitu:
\begin{eqnarray*}
c_{\Pi}(v)=(d(v, S_1), d(v, S_2),\cdots, d(v, S_k))
\end{eqnarray*}
dengan $d(v,S_i)= min\lbrace d(v,x)|x\in S_i\rbrace$ untuk $1\leq i\leq k$. Jika setiap titik pada $G$\linebreak memiliki kode warna yang berbeda terhadap $\Pi$, maka $c$ disebut pewarnaan lokasi. Banyaknya warna minimum yang digunakan disebut bilangan kromatik lokasi,\linebreak dinotasikan dengan  $\chi_L(G)$. Pada tulisan ini akan dibahas bilangan kromatik lokasi graf helm $H_m$ dengan $3\leq m\leq 9$. 
\vspace{0.5cm}\\
\textbf{Kata Kunci :} \textit{Bilangan Kromatik Lokasi, Graf Helm, Kode Warna}

\bigskip

%\textbf{Abstract}. % Dalam bahasa Inggris
%\textit{Let $G=(V,E)$ be a connected graph and let $c$ a proper coloring of $G$. The color class of $G$ is set of colored vertices $i$, denoted by $C_i$  for  $1\leq i\leq k$. Let be an ordered partition of $V(G)$ to independent color classes. Based on vertex coloring, the representation $v$ with respect to is the color code of $v$, denoted by $C_{\Pi}(v)$. The color $C_{\Pi}(v)$ of $v\in V(G)$ is defined as the ordered $k$-tuple,
%\begin{eqnarray*}
%C_{\Pi}(v)= (d(v,C_1), d(v,C_2), \cdots, d(v,C_k))
%\end{eqnarray*}
%Where $d(v,C_i)= min\lbrace d(v,x)| x\in C_i\rbrace$ for $1\leq i\leq k$. In every vertex in $G$ have distinct color code, then $c$ is called a locating coloring of $G$. The locating-chromatic number $\chi_L(G)$ is the minimum number of colors in a locating coloring of $G$. In this paper, we study the locating-chromatic number of helm graph $H_m$ with $3\leq m\leq 9$.
%Keywords: Locating-Chromatic Number, Helm Graph, Color Code.
%}

\end{abstract}

%\keywords{\textit{Locating-Chromatic Number, Helm Graph, Color Code.}}

\section{Pendahuluan}
\hskip 0.5 cm Konsep bilangan kromatik lokasi merupakan perpaduan konsep pewarnaan titik suatu graf dan konsep dimensi partisi suatu graf. Pewarnaan titik pada suatu graf ialah pemberian warna ke semua titik pada graf dengan syarat setiap titik-titik yang bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. 

	%Jika setiap titik di $G$ memiliki kode warna yang berbeda, maka $c$ disebut\linebreak pewarnaan lokasi dari $G$. 
	
	Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi pada suatu graf disebut bilangan kromatik lokasi, dinotasikan dengan $\chi_{L}(G)$. 

	Bilangan kromatik lokasi diperkenalkan pertama kali oleh Chartrand dkk pada tahun 2012. Chartrand dkk \cite{5} memperoleh bilangan kromatik lokasi dari beberapa kelas graf, di antaranya adalah $\chi_{L}(C_n)$ = 3 untuk $n$ ganjil \linebreak dan $\chi_{L}(C_n)$ = 4 untuk $n$ genap, dimana $C_n$ adalah graf lingkaran\linebreak dengan $n$ titik. Asmiati dkk \cite{2} pada tahun 2012 memperoleh bilangan kromatik lokasi untuk graf kembang api. Pada tahun yang sama, Asmiati dan Baskoro \cite{1} mengkarakterisasi semua graf yang memuat siklus berbilangan kromatik lokasi tiga. Lalu, Welyyanti dkk \cite{9} pada tahun 2014 memperluas pengertian bilangan lokasi kromatik suatu graf, sehingga dapat diaplikasikan pada semua jenis graf termasuk graf tak terhubung. Pada tahun yang sama, Behtoei dan Anbarloei \cite{3} membahas tentang bilangan kromatik lokasi graf terhubung untuk graf Roda.\linebreak Welyyanti dkk \cite{10} membahas tentang bilangan kromatik lokasi graf tak terhubung\linebreak dengan graf lintasan, lingkaran dan bintang ganda sebagai komponen- komponennya.
	
	Khusus untuk  graf helm telah dikaji beberapa konsep graf pada graf tersebut. Rahayu dan Kuswardi \cite{7} pada tahun 2018 membahas tentang dekomposisi graf helm. Lalu, Sancoko \cite{8} pada tahun 2020 memperoleh pelabelan antiajaib jarak pada beberapa kelas graf terkait graf helm. 
		
	Definisi teori graf yang digunakan pada penelitian ini diambil dari \cite{4}.\linebreak
\textbf{Graf Lingkaran} $C_{m}$ merupakan graf terhubung yang mempunyai $m$ titik yang setiap titiknya berderajat 2. dengan $V(C_m)= \lbrace x_1, x_2, ..., x_m\rbrace$. \textbf{Graf Roda} $W_m$  diperoleh dari penambahan satu titik $x$ dan $m$ sisi $\lbrace x_{0}x_{i}\vert 1 \leq i\leq m\rbrace$ ke graf lingkaran. Pada Gambar 1 diberikan graf roda $W_m$ untuk $m \geq 3$.

Definisi \textbf{graf helm} $H_m$ dikutip dari \cite{7}. \textbf{Graf Helm} $H_m$ didefinisikan sebagai berikut. Misalkan terdapat graf roda $W_m$ dengan himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut. 
\begin{eqnarray*}
V(W_m)&=& \lbrace x_0, x_1, ..., x_m\rbrace,\\
E(W_m)&=& \lbrace x_{0}x_{1} \mid 1 \leq i \leq m\rbrace \cup \lbrace x_{j}x_{j+1} \mid 1 \leq j \leq m-1\rbrace \cup \lbrace x_{1}x_{m}\rbrace.
\end{eqnarray*}
\hskip 0.5 cm Graf helm $H_m$ dikonstruksi dengan cara menambahkan titik $y_i,\linebreak \ 1\leq i\leq m$, yang bertetangga dengan titik $x_i$, $1 \leq i \leq m$ di graf\linebreak roda $W_m$. Misalkan terdapat graf Helm $H_m$ dengan $m\geq 3$, maka \linebreak himpunan titik dan himpunan sisi graf Helm $H_m$ adalah sebagai berikut.
\begin{eqnarray}
V(H_{m})&=& \ \lbrace x_0 \rbrace \cup \lbrace x_{i}, y_{i} \mid 1\leq i \leq m \ \rbrace \label{q1} \\
E(H_m)&=&\ \lbrace x_{0}x_{1} \mid 1 \leq i \leq m\rbrace \cup \lbrace x_{j}x_{j+1} \mid 1 \leq j \leq m-1\rbrace \cup \lbrace x_{1}x_{m}\rbrace \nonumber \\
& &\cup \lbrace x_{i}y_{i}\mid 1 \leq i \leq m\rbrace \label{q2}
\end{eqnarray}
\vskip 0.5 cm

	%Dapat dilihat bahwa graf Helm $H_m$ berorde $2m+1$ dan berukuran $3m$, untuk $m \geq 3$. \textbf{Graf Helm $H_{m}$} berorde $2m+1$ dan berukuran $3m$, dengan $m \geq 3$.

	Untuk lebih jelasnya, graf lingkaran $C_m$, graf roda $W_m$ dan graf helm $H_m$ dapat dilihat pada Gambar 1.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.16]{GrafLingkaran.png}
\includegraphics[scale=0.16]{Grafroda.png}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!hbtp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.16]{Grafhelm.png}
\caption{Graf Lingkran $C_m$, Graf Roda $W_m$ dan Graf Helm $H_{m}$ untuk $m\geq 3$.}
\end{center}
\end{figure}


%Misalkan $c$ adalah suatu pewarnaan titik pada graf $G$ dimana \linebreak  $c(u)\neq c(v)$, untuk $u$ dan $v$ yang bertetangga di $G$. Misalkan $C_i$ merupakan\linebreak himpunan titik yang diberi warna $i$, yang selanjutnya disebut $\textbf{kelas warna}$, maka $\Pi = \lbrace C_1, C_2, \ldots, C_k\rbrace$ adalah himpunan yang terdiri dari kelas-kelas warna dari $V(G)$.
Misal $c: V(G)\rightarrow \lbrace 1, 2,\cdots, k\rbrace$ merupakan suatu pewarnaan titik di $G$. Misal $S_i$ adalah himpunan  titik yang diberi warna $i$, untuk $1\leq i\leq k$.\linebreak Definisikan $\Pi=\lbrace S_1, S_2,\cdots, S_k\rbrace$ sebagai himpunan kelas-kelas warna dari $V(G)$. $\textbf{Kode warna} \ c_\Pi(v)$  dari $v$ adalah $k-$pasang terurut
\begin{eqnarray*}
(d(v,S_1), d(v,S_2),\ldots, d(v,S_k)),
\end{eqnarray*}
  dimana $d(v,S_{i})$ adalah min $\{d(v,x) \vert  x \in S_{i}\}$, untuk $1 \leq i \leq k$. Jika setiap titik yang berbeda di $G$ memiliki kode warna yang berbeda\linebreak untuk suatu $\Pi$, maka $c$ disebut \textbf{pewarnaan lokasi} dari $G$. Banyaknya warna\linebreak minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut \textbf{bilangan\linebreak kromatik lokasi} dari $G$ dan dinotasikan dengan $\chi_L(G)$. Titik $v\in V(G)$ disebut $\textbf{titik dominan}$ jika $d(v,S_i)=1$ untuk $v \notin S_i$ dan 0 untuk yang lainnya. 
  
  Chartrand dkk.\cite{5} (2002) telah memberikan teorema dasar bilangan kromatik lokasi suatu graf. Teorema tersebut akan dijelaskan pada teorema -teorema dibawah ini. Notasikan $N(v)$ sebagai himpunan yang berisi semua titik yang bertetangga di $v$. Diperoleh teorema 1.1 dan akibat 1.2 berikut.
  
  \begin{theorem} Misalkan $c$ adalah pewarnaan lokasi pada graf terhubung $G$. Jika $u$ dan $v$ adalah dua titik yang berbeda di $G$ sedemikian sehingga \linebreak $d(u,w)=d(v,w)$ untuk setiap $w \in V(G)-\lbrace u,v \rbrace$, maka $c(u) \neq c(v)$. \linebreak Secara  khusus jika $u$ dan $v$ titik titik yang tidak bertetangga di $G$ sedemikian\linebreak sehingga $N(u) \neq N(v)$, maka $c(u) \neq c(v)$.
\end{theorem}

\begin{corollary} Misalkan $G$ adalah graf terhubung dengan satu titik yang bertetangga dengan $k$ daun, maka $\chi_L(G) \geq k+1$.
\end{corollary} 

Pada penelitian ini akan ditentukan berapa bilangan kromatik lokasi graf helm $H_m$, untuk $3\leq m\leq 9$.
%dimana graf $H_m$ adalah graf yang berasal dari\linebreak penambahan beberapa daun ke graf roda $W_m$. Sementara $W_m$ dikontruksi dari operasi join antara graf $K_1$ dengan $C_m$, dinotasikan $K_1 + C_m$, untuk $3\leq m\leq 9$.


\section{Bilangan Kromatik Lokasi Graf Helm $H_m$ dengan $3\leq m\leq 9$}
Pada bagian ini akan dibahas tentang penentuan bilangan kromatik lokasi untuk graf helm yang dinotasikan sebagai $H_{m}$, dengan $3 \leq m \leq 9$.
\begin{theorem} 
Jika $H_m$ adalah graf helm dengan $3 \leq m \leq 9$, maka : 
\begin{eqnarray*}
\chi_{L}(H_m) &=& 
\begin{cases}
4 ,\ untuk\ 3\leq m \leq 9\ dan\ m\neq 8 ,\\
5,\ untuk\ m = 8.
\end{cases} 
\end{eqnarray*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Misalkan graf helm $H_m$ dengan himpunan titik dan himpunan sisi yang diberikan pada Persamaan $(1.1)$ dan $(1.2)$. Misalkan $c$ adalah\linebreak pewarnaan lokasi dan $\Pi = \lbrace S_1, S_2,\cdots, S_k\rbrace$ adalah  partisi titik-titik pada graf $H_m$, dengan $S_i$ menyatakan kelas warna ke-$i$ untuk $1 \leq i \leq k$. Karena $x_j$ bertetangga dengan $y_j$ maka $c(x_j)\neq c(y_j)$. Misal $c(x_j)= c(x_t)$ untuk $1\leq j,t \leq m$ maka $c(y_j)\neq c(y_t)\neq c(x_j)$ dengan $j\neq t$.

% Jika terdapat minimal dua titik $x_i$ dan $x_t$ dengan   $c(x_i)= c(x_t)$ maka harus ada minimal satu titik  $y_i$ diwarnai berbeda dengan titik $y_t$ dengan $c(y_i)$ dan $c(y_t)$ haruslah berbeda dengan $c(x_i)$.

Akan ditentukan bilangan kromatik lokasi dari graf $H_m$ untuk \linebreak $3 \leq m \leq 9$. Pandang dua kasus berikut:
\begin{itemize}
\item[\textbf{Kasus 1}] Akan ditunjukkan bahwa $\chi_{L}(H_m)=4$ untuk $3 \leq m \leq 9$ dan $m \neq 8$.
\begin{itemize}
\item[\textbf{Kasus 1.1}] Akan ditunjukkan bahwa $\chi_{L}(H_m)= 4$ dengan $m = 4, 6$.\\
Definisikan pemetaan $c : V (H_m) \rightarrow \{1,2,3,4\}$, sedemikian sehingga.
\begin{eqnarray*}
c(x_0)&=& 4,\\
c(y_i)&\in & \lbrace 1,2,3,4\rbrace\setminus\ \lbrace c(x_i)\rbrace ,\\
c(x_i)&=& 
\begin{cases}
2 ,\ untuk\ i\ ganjil ,\\
3,\ untuk\ i\ genap.
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{itemize}

Berdasarkan definisi di atas diperoleh kode warna setiap titik di $H_m$ terhadap $\Pi= \lbrace S_1, S_2, S_3, S_4\rbrace$ sebagai berikut. Pada Gambar \ref{2} diberikan pewarnaan $4-$lokasi graf $H_m$ untuk $m= 4, 6$.
\begin{eqnarray*}
c_\Pi(x_1)&=& (1,0,1,1), \ c_\Pi(y_1)= (0,1,2,2),\	
c_\Pi(x_3)= (2,0,1,1), \ c_\Pi(y_3)= (3,1,2,0),\\
c_\Pi(x_5)&=& (3,0,1,1), \ c_\Pi(y_5)= (4,1,2,0),\
c_\Pi(x_2)= (1,1,0,1), \ c_\Pi(y_2)= (0,2,1,2),\\	
c_\Pi(x_4)&=& (2,1,0,1) \ untuk\ m = 4,\
c_\Pi(x_4)= (3,1,0,1)\ untuk\ m = 6,\\ 
c_\Pi(y_4)&=& (3,2,1,0) \ untuk\ m=4,\ 
c_\Pi(y_4)= (4,0,1,2)\ untuk\ m = 6,\\	
c_\Pi(x_6)&=& (2,1,0,1), \ c_\Pi(y_6)= (3,2,1,0), \ c_\Pi(x_0)= (2,1,1,0).
\end{eqnarray*}
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{H4_New.png}
\includegraphics[scale=0.7]{H6_New.png}
\caption{Pewarnaan $4-$lokasi graf $H_m$ untuk $m=4,6$.} \label{2}
\end{center}
\end{figure}

Dari kode warna di atas dapat dilihat bahwa setiap titik di $H_m$\linebreak memiliki kode warna yang berbeda terhadap $\Pi$. Jadi, haruslah $\chi_{L}(H_m)\leq 4$.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\chi_{L}(H_m)\geq 4$. Andaikan $\chi_{L}(H_m)= 3$.\linebreak Misalkan $\Pi_1 = \{S_1, S_2,S_3\}$. Pilih minimal dua titik $x_j$ dan $x_t$ sehingga\linebreak $c(x_j) = c(x_t)$ untuk $j\neq t$. Karena terdapat dua pilihan warna untuk $y_j$,\linebreak definisikan pewarnaan terhadap titik di $H_m$ adalah pemetaan $c : V(H_m)\rightarrow \{1, 2, 3\}$ sedemikian sehingga. 
\begin{eqnarray*}
c(x_0)&=& 1,\\
c(y_i)&\in & \lbrace 1,2,3\rbrace\setminus\ \lbrace c(x_i)\rbrace,\\
c(x_i)&=& 
\begin{cases}
2 ,\ untuk\ i\ ganjil ,\\
3,\ untuk\ i\ genap.
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Berdasarkan definisi di atas kode warna dari titik-titik pada graf $H_6$ terhadap $\Pi$ disajikan sebagai berikut. Pada Gambar \ref{3} diberikan pewarnaan $3-$lokasi graf $H_m$ untuk $m= 4, 6$.
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{H4=3New.png}
\includegraphics[scale= 0.7]{Hm=6fiks.png}
\caption{Pewarnaan $3-$lokasi graf $H_m$ untuk $m= 4, 6$.} \label{3}
\end{center}
\end{figure}
\begin{eqnarray*}
c_\Pi(x_0)&=& (0,1,1),\ c_\Pi(y_1)= (0,1,2),\
c_\Pi(y_4)= (0,2,1),\ c_\Pi(y_5)= (0,1,2),\\
c_\Pi(x_1)&=& (1,0,1),\ c_\Pi(x_3)= (1,0,1),\
c_\Pi(x_5)= (1,0,1),\ c_\Pi(y_2)= (2,0,1),\\
c_\Pi(y_6)&=& (2,0,1),\ c_\Pi(x_2)= (1,1,0),\
c_\Pi(x_4)= (1,1,0),\ c_\Pi(x_6)= (1,1,0),\\
c_\Pi(y_3)&=& (2,1,0).
\end{eqnarray*}

Dari kode warna di atas dapat dilihat bahwa $c(x_{1})= c(x_{3})= (1,0,1)$. Hal ini kontradiksi dengan syarat setiap titik di $H_m$ harus memiliki kode warna yang berbeda. Jadi, haruslah $\chi_{L}(H_m)\geq 4$. Jadi $\chi_{L}(H_m)= 4$ untuk $m = 4,6$.

\begin{itemize}
\item[\textbf{Kasus 1.2}] Akan ditunjukkan bahwa $\chi_{L}(H_m)= 4$ dengan $m\ =\ 3,5,7,9$.
\begin{flushleft}
Untuk $m = 3$.\\
\end{flushleft}
Definisikan pemetaan $c : V (H_3) \rightarrow \lbrace 1,2,3,4\rbrace$, sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
c(v) &=&
\begin{cases}
1,\ v\in \lbrace x_2, y_1, y_3\rbrace,\\
2,\ v\in \lbrace x_1, y_2\rbrace,\\
3,\ v\in \lbrace x_3\rbrace,\\
4,\ v\in \lbrace x_0\rbrace.
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Berdasarkan definisi di atas diperoleh kode warna dari titik-titik pada graf $H_3$ terhadap $\Pi=$ disajikan sebagai berikut. Pada Gambar \ref{4} diberikan pewarnaan $4-$lokasi graf $H_3$.
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{m=3.png}
\caption{Pewarnaan $4-$lokasi graf $H_m$ untuk $m=3$.} \label{4}
\end{center}
\end{figure}
\begin{eqnarray*}
c_\Pi(x_2)&=& (0,1,1,1),\ c_\Pi(y_1)= (0,1,2,2),\ c_\Pi(y_3)= (0,2,1,2),\\
c_\Pi(x_1)&=& (1,0,1,1),\ c_\Pi(y_2)= (1,0,2,2),\ c_\Pi(x_3)= (1,1,0,1),\\
c_\Pi(x_0)&=& (1,1,1,0).
\end{eqnarray*}

Dari kode warna di atas dapat dilihat bahwa, setiap titik di $H_3$ memiliki kode warna yang berbeda terhadap $\Pi$. Jadi, haruslah $\chi_{L}(H_3)\leq 4$.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\chi_{L}(H_3)\geq 4$. Andaikan $\chi_{L}(H_m)= 3$. Misalkan $\Pi_1 = \{S_1, S_2, S_3\}$. Pilih minimal dua titik $x_j$ dan $x_t$ sehingga $c(x_j) = c(x_t)$ untuk $j\neq t$. Karena terdapat dua pilihan warna untuk $y_j$, definisikan pewarnaan terhadap titik di $H_3$ adalah pemetaan $c : V(H_3)\rightarrow \{1, 2, 3\}$ sedemikian sehingga.
\begin{eqnarray*}
c(v) &=&
\begin{cases}
1,\ v\in \lbrace x_1, x_3, y_2\rbrace,\\
2,\ v\in \lbrace x_2, y_3\rbrace,\\
3,\ v\in \lbrace x_0, y_1\rbrace.
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Berdasarkan definisi di atas kode warna dari titik-titik pada graf $H_3$ terhadap $\Pi$ disajikan sebagai berikut. Pada Gambar \ref{5} diberikan pewarnaan $3-$lokasi graf $H_m$ untuk $m= 3$.
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{H3_3-lokasi.png}
\caption{Pewarnaan $3-$lokasi graf $H_m$ untuk $m=3$.} \label{5}
\end{center}
\end{figure}
\begin{eqnarray*}
c_\Pi(x_1)&=& (0,1,1),\ c_\Pi(x_3)= (0,1,1),\ c_\Pi(y_2)= (0,1,2),\\
c_\Pi(x_2)&=& (1,0,1),\ c_\Pi(y_3)= (1,0,2),\\
c_\Pi(x_0)&=& (1,1,0),\ c_\Pi(y_1)= (1,2,0).
\end{eqnarray*}

Dari kode warna di atas dapat dilihat bahwa $c(x_{1})= c(x_{3})= (0,1,1)$. Hal ini kontradiksi dengan syarat setiap titik di $H_m$ harus memiliki kode warna yang berbeda. Jadi, haruslah $\chi_{L}(H_3)\geq 4$. Jadi $\chi_{L}(H_3)= 4$.

Untuk pembuktian bilangan kromatik lokasi $\chi_{L}(H_m)= 4$ dengan\linebreak $m= 5,7,9$ serupa dengan pembuktian bilangan kromatik lokasi $\chi_{L}(H_m)= 4$ dengan $m= 3$.

%Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $\chi_{L}(H_m)\geq 4$. Untuk\linebreak menentukan batas bawah dari $\chi_{L}(H_m)$ dengan $m= 3,5,7,9$, diberikan\linebreak kemungkinan pewarnaan dengan $3$ warna seperti Gambar \cite{5}.

%Pada Gambar \cite{5} dapat dilihat bahwa terdapat minimal 2 titik yang bertetangga dengan representasi kode warna yang sama yaitu . Hal ini kontradiksi dengan definisi bilangan kromatik lokasi yang menyatakan bahwa setiap titik pada suatu graf haruslah memilki kode warna yang berbeda.

%Jadi, batas bawah untuk bilangan kromatik lokasi $\chi_{L}(H_m)\geq 4$.\linebreak Akibatnya dapat disimpulkan bahwa bilangan kromatik lokasi $\chi_{L}(H_m)=4$ untuk $m= 3,5,7,9$.
 
 %Diberikan Dari pewarnaan titik di atas diperoleh bahwa, kode warna setiap titik di graf $H_m$ berbeda dan $\chi_{L}(H_m) = 4$ untuk $m$ ganjil dan $3 \leq m \leq 9$. Jadi $\chi_{L}(H_m)=4$ untuk $m$ ganjil dan $3 \leq m \leq 9$.\\
\newpage
\item[\textbf{Kasus 2}] Akan ditunjukkan bahwa $\chi_{L}(H_m)=5$ untuk $m=8$.\\
Definisikan pemetaan $c : V (H_8) \rightarrow \{1,2,3,4,5\}$, sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
c(v) &=&
\begin{cases}
1,\ v\in \lbrace x_2, x_4, x_7, y_1, y_3, y_6\rbrace,\\
2,\ v\in \lbrace x_3, x_5, x_8, y_4\rbrace,\\
3,\ v\in \lbrace x_6, y_5, y_7\rbrace,\\
4,\ v\in \lbrace x_1, y_2, y_8\rbrace,\\
5,\ v\in \lbrace x_0\rbrace.\\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Pada Gambar \ref{6} diberikan pewarnaan $5-$lokasi graf $H_8$. Maka diperoleh kode warna setiap titik di $H_8$ terhadap $\Pi$ sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
c_\Pi(x_7)&=& (0,1,1,2,1),\ c_\Pi(x_2)= (0,1,2,1,1),\ c_\Pi(x_4)=(0,1,2,2,1),\\
c_\Pi(y_3)&=& (0,1,3,3,2),\ c_\Pi(y_6)= (0,2,1,3,2),\ c_\Pi(y_1)= (0,2,3,1,2),\\
c_\Pi(x_5)&=& (1,0,1,2,1),\ c_\Pi(x_8)= (1,0,2,1,1),\ c_\Pi(x_3)= (1,0,2,2,1),\\
c_\Pi(y_4)&=& (1,0,3,3,2),\ c_\Pi(x_6)= (1,1,0,2,1),\ c_\Pi(y_7)= (1,2,0,3,2),\\  
c_\Pi(y_5)&=& (2,1,0,3,2),\ c_\Pi(x_1)= (1,1,2,0,1),\ c_\Pi(y_2)= (1,2,3,0,2),\\
c_\Pi(y_8)&=& (2,1,3,0,2),\ c_\Pi(x_0)= (1,1,1,1,0).
\end{eqnarray*}
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.38]{m=8.png}
\caption{Pewarnaan $5-$lokasi graf $H_m$ untuk $m=8$.} \label{6}
\end{center}
\end{figure}

Dari kode warna di atas dapat dilihat bahwa setiap titik di $H_8$\linebreak memiliki kode warna yang berbeda terhadap $\Pi$. Jadi, haruslah $\chi_{L}(H_8)\leq 5$.

Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa $\chi_{L}(H_8)\geq 5$. Andaikan\linebreak $\chi_{L}(H_8)= 4$. Misalkan $\Pi_1 = \{S_1, S_2, S_3, S_4\}$. Pilih minimal dua titik $x_j$ dan $x_t$ sehingga $c(x_j) = c(x_t)$ untuk $j\neq t$. Karena terdapat tiga\linebreak pilihan warna untuk $y_j$, definisikan pewarnaan terhadap titik di $H_8$ adalah pemetaan $c : V(H_8)\rightarrow \{1, 2, 3, 4\}$ sedemikian sehingga,
\begin{eqnarray*}
c(v) &=&
\begin{cases}
1,\ v\in \lbrace x_1,x_4, x_6, y_5, y_8\rbrace,\\
2,\ v\in \lbrace x_2, x_5, x_7, y_4, y_6\rbrace,\\
3,\ v\in \lbrace x_3, x_8, y_1, y_7\rbrace,\\
4,\ v\in \lbrace x_0, y_2, y_3\rbrace.\\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Berdasarkan definisi di atas diperoleh kode warna setiap titik di $H_8$ terhadap $\Pi$ sebagai berikut. Pada Gambar \ref{7} diberikan pewarnaan $4-$lokasi graf $H_8$.
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{H=8_4-lokasi.png}
\caption{Pewarnaan $4-$lokasi graf $H_m$ untuk $m=8$.} \label{7}
\end{center}
\end{figure}

\begin{eqnarray*}
c_\Pi(x_1)&=& (0,1,1,1),\
c_\Pi(x_4)= (0,1,1,1),\
c_\Pi(x_6)= (0,1,2,1),\\
c_\Pi(y_8)&=& (0,2,1,2),\
c_\Pi(y_5)= (0,1,3,2),\
c_\Pi(x_2)= (1,0,1,1),\\
c_\Pi(x_7)&=& (1,0,1,1),\
c_\Pi(x_5)= (1,0,2,1),\
c_\Pi(y_4)= (1,0,2,2),\\
c_\Pi(y_6)&=& (1,0,3,2),\
c_\Pi(x_3)= (1,1,0,1),\
c_\Pi(x_8)= (1,1,0,1),\\
c_\Pi(y_1)&=& (1,2,0,2),\
c_\Pi(y_7)= (2,1,0,2),\
c_\Pi(x_0)= (1,1,1,0),\\
c_\Pi(y_2)&=& (2,1,2,0),\
c_\Pi(y_3)= (2,2,1,0).
\end{eqnarray*}

Dari kode warna di atas dapat dilihat bahwa $c(x_{1})=c(x_{4})= (0,1,1,1)$.\linebreak Hal ini kontradiksi dengan syarat setiap titik di $H_m$ harus memiliki kode warna yang berbeda. Jadi, haruslah $\chi_{L}(H_8)\geq 5$. Jadi $\chi_{L}(H_8)= 5$.
\end{itemize}
\end{proof}



%Judul bagian ini \textbf{tidak harus} berbunyi Pembahasan. Berikan pemaparan tentang apa yang dikerjakan dalam penelitian, serta apa hasil yang diperoleh. Perhatikan cara penulisan teorema, lema, akibat, proposisi, definisi, contoh berikut.
%\begin{definition} $\cite{B}$ \label{th1}
%\cite{B} mengacu ke referensi no. 2 di Daftar Pustaka. \ref{th1} mengacu kepada nomor teorema ini.
%Graf lintasan $P_{m}$ adalah graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut.
%\begin{eqnarray}
%V(P_m) &=& \lbrace x_{1},x_{2},\cdots,x_{m} \rbrace, \label{v1}\\
%E(P_m) &=& \lbrace x_{1}x_{2},\cdots,x_{m-1}x_{m} \rbrace. \label{e1}
%\end{eqnarray}
%\end{definition}
%Berdasarkan persamaan \eqref{v1} dan \eqref{e1} dapat dilihat bahwa $|V(P_m)| = m$ dan $|E(P_m)| = m-1$.

%\begin{corollary} $\cite{A}$ \label{col1}
%Untuk setiap $n\geq 3, m\geq 2$ dimensi metrik dari graf naga $T_{n,m}$ adalah
%\begin{equation}\label{eq1}
%\dim(T_{n,m})=2.
%\end{equation}
%\end{corollary}
%\begin{proof} Pada bagian ini tuliskan pembuktian secara terurut.
%\end{proof}

%\begin{proposition} $\cite{A}$ \label{prop1}
%Untuk setiap $n\geq 3, m\geq 2$ dimensi metrik dari graf naga $T_{n,m}$ adalah
%\begin{equation}\label{eq1}
%\dim(T_{n,m})=2.
%\end{equation}
%\end{proposition}

%\begin{theorem} $\cite{A}$ \label{def1}
%Untuk setiap $n\geq 3, m\geq 2$ dimensi metrik dari graf naga $T_{n,m}$ adalah
%\begin{equation}\label{eq1}
%\dim(T_{n,m})=2.
%\end{equation}
%\end{theorem}
%\begin{proof}
%Akan ditunjukkan bahwa Persamaan \eqref{eq1} berlaku. Berikut cara penulisan kasus-kasus dalam pembuktian.
%\begin{itemize}
%\item [(Kasus 1)] Misalkan $n=2k$ dengan $k\in \mathbb{N}$.
%Pilih $W=\{{v_{k},v_{k+1}}\}$ sebagai \emph{resolving set} untuk graf $ T_{n,m}$. Maka representasi semua titik dari $V(G) \setminus W$ adalah sebagai berikut:
%\begin{eqnarray}
%r(v_{i}|W) &=& \left\{
%  \begin{array}{ll}
%     (k-i,k-i+1),   & \mbox{  untuk }  1 \leq i \leq k-1, \\
%     (i-k,i-k-1),   & \mbox{  untuk } k+1 \leq i \leq n \\
%  \end{array}
%\right.\label{eqn1}\\
%r(u_{j}|W) &=& (k+j,k+j-1), \mbox{  untuk  } 1 \leq j \leq m. \label{eqn2}
%\end{eqnarray}

%\item [(Kasus 2)] Misalkan $n=2k+1$ dengan $k\in \mathbb{N}$.
%Pilih $ W=\{{v_{1},v_{n-1}}\}$ adalah \emph{resolving set} untuk graf $ T_{n,m} $. Representasi semua titik dari $V(G) \setminus W$ adalah sebagai berikut:
%\begin{eqnarray*}
%r(v_{i}|W) &=& \left\{
 % \begin{array}{ll}
 %   (i-1,i+1),      & \mbox{  untuk } 2 \leq i \leq k-1, \\
 %   (i-1,n-i-1),    & \mbox{  untuk } k \leq i \leq k+1, \\
  %  (n-i+1,n-i-1),  & \mbox{  untuk } k+2 \leq i \leq n-2, \\
  %\end{array}
%\right.\\
%r(v_{n}|W) &=& (1,1)\\
%r(u_{j}|W) &=& (j+1,j+1), \mbox{  untuk  } 1 \leq j \leq m.
%\end{eqnarray*}
%\end{itemize}
%Dari \textbf{Kasus 1} dan \textbf{Kasus 2} diperoleh bahwa $\dim(T_{n,m})\leq 2$.
%\end{proof}

%\begin{example}
%Akan ditunjukkan bahwa dimensi metrik dari graf $T_{6,5}$ adalah $2$. Dan seterusnya.
%\end{example}

%Jika ada gambar, dilampirkan dalam bentuk *.jpg. Gambar \ref{gbr1} merupakan salah satu graf yang menjadi contoh dalam pembahasan makalah ini.

%\begin{figure}[htbp]
%\center{\includegraphics[width=3cm]{GrafFn.jpg}}
 %\caption{Graf Kipas $F_n$.} \label{gbr1}
%\end{figure}

%Berikut adalah salah satu cara penulisan Tabel.
%\begin{table}[htbp]
%\begin{center}
%\begin{small}
%\caption{Analisis Ragam}\label{tab1}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
%\hline	Sumber keragaman & Derajat bebas & Jumlah Kuadrat	& Kuadrat
%tengah & $F_{hit}$	\\
%\hline Regresi & $dbr=k$ &	JKR	&	KTR=$\displaystyle{\frac{JKR}{dbr}}$	& $F_{hit}$= $\displaystyle{\frac{KTR}{KTS}}$  \\
%\hline Sisaan &	$dbs=n$-$k$-1 &	JKS	& KTS=$\displaystyle{\frac{JKS}{dbs}}$ & 	\\
%\hline Total &	$dbt=n$-1 &	JKT	&	&	\\
%\hline								
%\end{tabular}
%\end{small}

%\end{center}
%\end{table}

\section{Kesimpulan}
\hskip 0.5 cm Pada penelitian ini telah dibahas bilangan kromatik lokasi graf helm yang\linebreak dinotasikan sebagai $H_m$ untuk $3 \leq m \leq 9$ dan telah diperoleh hasil sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
\chi_{L}(H_m) &=& 
\begin{cases}
4 ,\ untuk\ 3\leq m \leq 9\ dan\ m\neq 8 ,\\
5,\ untuk\ m = 8.
\end{cases} 
\end{eqnarray*}

\section{Ucapan Terima kasih}
\hskip 0.5 cm Terima kasih kepada bapak \textbf{Narwen}, ibu \textbf{Yanita} dan ibu \textbf{Susila Bahri} yang telah memberikan kritik dan saran guna menjadikan penulisan makalah ini lebih baik. 

\begin{thebibliography}{0}
\bibitem{1} Asmiati dan E.T. Baskoro, 2012. Characterizing All Graphs\linebreak Containing Cycles
With Locating-Chromatic Number 3. \emph{The 5th\linebreak International Conference on Research and Education in Mathematics AIP Conf. Prof}. \textbf{1450}:321-357. \vskip .32 cm

\bibitem{2} Asmiati, E. T. Baskoro, H. Assiyatun, D. Suprijanto, R. Simanjuntak, dan S. Uttunggadewa. 2012. The Locating-Chromatic Number of Firecracker Graphs. \emph{Far East Journal of Mathematical Sciences}. \textbf{63}(1):11-23. \vskip .32 cm

\bibitem{3} Behtoei, A. dan Anbarloei, M. 2014. The Locating Chromatic\linebreak Number of The Join Graphs. \emph{Bulletin of the Iranian Mathematical\linebreak Society}. \textbf{40}(6):1491-1504. \vskip .32 cm

\bibitem{4}  Bondy, J.A.,U.S.R. Murty. 1976. \emph{Graph Theory with Application}. \linebreak Elsevier Science Publishing, New York. \vskip  .32 cm

\bibitem{5} Chartrand, G., M.A. Henning, P.J. Slater, dan P. Zhang. 2002. \linebreak The Locating-Chromatic Number of a Graph. \emph{Bull.Inst. Combin. Appl}. \textbf{36}:89-101. \vskip .32 cm

\bibitem{6} Chartrand, G., Erwin, D., Henning, M.A., Slater, P.J. dan Zhang, P. 2003. Graph of Order n With Locating-Chromatic Number n-1. \emph{Discrete Math}.
\textbf{269}:65-79. \vskip .32 cm

\bibitem{7} Rahayu, R. D., Y. Kuswardi. 2018. Dekomposisi Graf Helm. \emph{Journal of\linebreak Mathematics and Mathematics Education}.
\textbf{8}(1):31-45. \vskip .32 cm

\bibitem{8} Sancoko, S.W. 2020. Pelabelan Antiajaib Jarak Beberapa Kelas Graf Terkait Graf Helm. \emph{Jurnal Riset dan Aplikasi Matematika}. \textbf{4}(2): 93 - 102.

\bibitem{9} Welyyanti, D., E. T. Baskoro., R. Simanjuntak., S. Uttunggadewa. 2014. The Locating-Chromatic Number of Disconnected Graph. \emph{Far East\linebreak Journal of Mathematical Science}.
\textbf{94}(2):169-182. \vskip .32 cm

\bibitem{10} Welyyanti, D., E. T. Baskoro., R. Simanjuntak., S. Uttunggadewa. 2015. On Locating-Chromatic Number for Graphs with Dominant Vertices.\linebreak \emph{Procedia Computer Science}.
\textbf{74}:89-92. \vskip .32 cm

\bibitem{11} Welyyanti, D. 2018. Beberapa Syarat Cukup untuk Bilangan Kromatik Lokasi Hingga pada Graf Tak Terhubung. \emph{Eksakta}. \textbf{19}(1): 76 - 82.

\bibitem{12} Welyyanti, D., R. Lestari dan S.R. Putri. 2019. The locating-Chromatic
Number of Disconnected Graph with Path and Cycle Graph as its\linebreak Components. \emph{IOP Conference Series}. \textbf{1317}:1 - 7.

%\bibitem{A} Nama Belakang Penulis Pertama, Singkatan Nama Depan., Nama Belakang Penulis Kedua, Singkatan Nama Depan., Tahun Penerbitan Artikel, Judul Artikel, \emph{Nama Jurnal}, \textbf{Volume} : 11 -- 22
%\bibitem{B} Nama Belakang Penulis Pertama, Singkatan Nama Depan., Nama Belakang Penulis Kedua, Singkatan Nama Depan., Tahun Penerbitan Buku, \emph{Judul Buku}, Edisi ke-, Nama Penerbit, Kota Penerbit
%\bibitem{C} Nama Belakang Penulis Pertama, Singkatan Nama Depan., Tahun, \emph{Judul skripsi/tesis/disertasi}, Skripsi/Tesis/Disertasi di Nama Perguruan Tinggi, tidak diterbitkan
\end{thebibliography}
\end{document}
