\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}

\markboth{Mellany.} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{Dimensi Metrik Dari Graf Palem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{DIMENSI METRIK DARI GRAF PALEM}

\author{MELLANY$^{a}$\footnote{Mellany, Lyra Yulianti, Des Welyyanti}, LYRA YULIANTI$^{b}$, DES WELIYYANTI$^{c}$\\}

\address{$^{a,b,c}$ Departemen Matematika dan Sains Data,\\ Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,\\ Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia\\
email : \email{meanyy27@gmail.com, wely@sci.unand.ac.id, lyra@sci.unand.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima ..... \quad Direvisi ..... \quad Dipublikasikan ..... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}. %Dalam bahasa Indonesia
Penelitian ini bertujuan mencari dimensi metrik dari garf palem $C_kP_lS_m$, untuk $k\geq 3$,$l\geq 2$ dan $m\geq 2$. Graf Palem $C_kP_lS_m$ merupakan graf yang dibangun oleh tiga graf, yaitu Graf Lingkaran $C_k$, Graf Lintasan $P_l$, dan Graf Bintang $S_m$. Pada penelitian ini diperoleh bahwa dimensi metrik graf palem adalah m, $dim(H)= m$.
\bigskip

\textbf{Abstract}. % Dalam bahasa Inggris
This paper discusses the metric dimension of the palm graph $C_kP_lS_m$, for $k\geq 3$,$l\geq 2$ and $m\geq 2$. The palm graph $C_kP_lS_m$ constructed by graph cycle $C_k$, graph path $P_l$, and graph star $S_m$. It is obtained that the metric dimension of palm graphs is m, $dim(H)= m$.

\end{abstract}

\keywords{Dimensi metrik, Himpunan Pembeda, Graf Palem, Representasi.}

\section{Pendahuluan}
\hskip 0.5 cm Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736 ketika mencoba membuktikan kemungkinan seseorang untuk melewati empat daerah yang dihubungkan dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di \linebreak Konisberg, Prussia dalam sekali waktu. Graf digunakan untuk merepresentasikan masalah  jembatan Konisberg tersebut, dengan mengilustrasikan keempat daerah \linebreak sebagai titik dan ketujuh jembatan diilustrasikan sebagai sisi.
 
Seiring perkembangan ilmu pengetahuan, muncul kajian-kajian baru di bidang teori graf, salah satunya adalah dimensi metrik. Dimensi metrik pada graf \linebreak pertama kali diperkenalkan secara terpisah oleh Slater pada tahun 1975 \cite{sl} dan oleh Harary dan Melter pada tahun 1976 \cite{5}. Dalam [3], Chartrand dkk. memberikan definisi dimensi metrik dari suatu graf $G$, misalkan terdapat suatu graf terhubung \linebreak dinotasikan dengan $G=(V,E)$ dimana terdapat dua titik $u$ dan $v$ yang berbeda. Jarak antara $u$ dan $v$ adalah lintasan terpendek yang dinotasikan dengan $d(u,v)$. Misalkan terdapat himpunan terurut $W \subseteq V(G)$, dengan $W=\lbrace{w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{k}}\rbrace$. Misal terdapat titik $v$ $\in$ $V(G)$. Representasi titik $v$ terhadap $W$ dinotasikan dengan $r(v|W)$ dimana $r(v|W)=(d(v,w_{1}), d(v,w_{2}),\ldots,d(v,w_{k}))$. Jika untuk setiap dua titik $u$ dan $v$ di $G$ diperoleh bahwa  $r(u|W)\neq r(v|W)$, maka $W$ disebut sebagai himpunan pemisah \textit{(resolving set)} untuk graf G. Himpunan pemisah mempunyai kardinalitas minimum yang disebut sebagai himpunan pemisah minimum \textit{(minimum resolving set)}. Banyaknya anggota dari himpunan pemisah minimum ini dinamakan \textbf{dimensi metrik} dari graf $G$, dinotasikan $dim(G)$.

Riyando \cite{9} menunjukkan bahwa dimensi metrik dari graf $K_1+mK_4$ untuk $m \geq 2$, adalah $dim(K_1 + mK_4)=3m$. Putra \cite{7} menujukkan bahwa dimensi metrik graf $W_n+C_n$ untuk $n\in\{3,4\}$ adalah $dim(W_3+C_3)$=$6$ dan $dim(W_4+C_4)=4$. Febrianti \cite{4} menentukan bahwa dimensi metrik graf amalgamasi tangga segitiga diperumum homogen, dinotasikan $Amal\{Tr_n,v\}_2$ adalah tiga untuk $n=3$ dan \linebreak empat untuk $n=4$. Angraini \cite{ti} menentukan dimensi metrik dan dimensi \linebreak partisi dari graf tangga segitiga $Tr_{n}$, dimana untuk $n=2$ dan $n=3$ diperoleh bahwa dimensi mterik $dim(Tr_{n})=2$ dan dimensi partisi $pd(Tr_{n})=3$. Putri \cite{8} \linebreak menentukan bahwa dimensi metrik graf amalgamasi tangga segitiga diperumum \linebreak homogen, dinotasikan $Amal(Tr_n,v)_m$ adalah lima untuk $n=5$ dan $m=3$. Aditya \cite{1} menentukan dimensi metrik dari subdivisi graf Lobster $R_n(q;r)m$, dimana \linebreak dimensi metrik dari graf $R_n(1;1)m$ untuk $n > 2$ adalah $2$, dimensi metrik dari graf $R_n(q;1)m$ untuk $n \geq 2, q \geq 2$ adalah $n(q-1)$ dan dimensi metrik dari graf $R_n(q;r)m$untuk $n \geq 2$, $q \geq 2$, $r\geq 2$ adalah $nq(r-1)$.

Pada penelitian ini akan dibahas tentang penetuan dimensi metrik graf palem. Graf Palem $C_kP_lS_m$ merupakan graf yang dibangun oleh tiga graf, yaitu Graf Lingkaran $C_k$, Graf Lintasan $P_l$, dan Graf Bintang $S_m$, untuk $k\geq 3$,$l\geq 2$ dan $m\geq 2$ dengan penambahan beberapa sisi di antara ketiga graf tersebut. Detail graf Palem diberikan di Bab 2.

\section{Landasan Teori}
\hskip 0.5 cm \textbf{Graf Lintasan} ($P\sb{n}$), untuk $ n \geq 2$ merupakan suatu graf terhubung yang \linebreak memiliki tepat satu lintasan dengan n titik. \textbf{Graf Bintang} ($S_n$), untuk $n\geq2$ merupakan suatu graf terhubung yang memiliki $n-1$ titik berderajat satu yang disebut daun dan satu titik berberajat $n$ yang disebut titik pusat. \textbf{Graf Lingkaran} ($C_{n}$) untuk $n\geq 3$ merupakan graf terhubung yang mempunyai $n$ titik yang setiap titiknya berderajat 2.

Graf Palem dinotasikan sebagai $C_kP_lS_m$ merupakan graf yang dibangun \linebreak oleh tiga graf, yaitu Graf Lingkaran $C_k$, Graf Lintasan $P_l$, dan Graf\linebreak Bintang $S_m$ dengan pusat $v_0$, dengan $k\geq 3$, $l\geq 2$ dan $m\geq 2$ \cite{6}.
Misalkan himpunan titik dan himpunan sisi untuk setiap graf  $C_k, P_l$, dan $S_m$ disajikan sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
V(C_k) &=&\{u_i\vert 1\leq i\leq k, k\geq 3\},\\
V(P_l)&=&\{w_t\vert 1\leq t\leq l, l\geq 2\},\\
V(S_m)&=&\{v_p\vert 1\leq p\leq m, l\geq 2\}.\\
E(C_k)&=&\{u_q u_{q+1}\vert 1\leq q\leq k-1\}\cup u_1 u_k, \\
E(P_l)&=&\{w_a w_{a+1}\vert 1\leq a\leq l-1\},\\
E(S_m)&=&\{v_0v_b\vert 1\leq b\leq m\}.
\end{eqnarray*} 
\newpage
Graf palem $C_kP_lS_m$ dikonstruksi dengan cara: 
\begin{itemize}
\item[1. ] Menambahkan sisi $e_1=w_lu_i$, untuk suatu i, $1\leq ik$. Tanpa mengurangi perumuman pilih titik $u_1$ di graf lingkaran. 
\item[2. ]  Menambahkan sisi $e_2=w_1v_0$ diantara titik awal lintasan, namakan $w_l$, dengan titik pusat dari graf bintang $v_0$.
\end{itemize}
Dengan penambahan dua sisi tersebut, diperoleh himpunan titik dan himpunan sisi dari graf palem $C_kP_lS_m$ dengan dengan $k\geq 3$, $l\geq 2$ dan $m\geq 2$ sebagai berikut. 
\begin{eqnarray}
V(H) &=& V(C_kP_lS_m)\nonumber \\
&=& V(C_k) \cup V(P_l) \cup  V(S_m)\nonumber \\
&=& \{u_i| 1 \leq i\leq k \} \cup \{w_j| 1 \leq j\leq l \}\cup \{v_s| 0 \leq s\leq m \}.\\ 
E(H) &=& E(C_kP_lS_m) \nonumber\\
&=& E(C_k) \cup E(P_l) \cup E(S_m)\cup \{u_1 w_l, w_1 v_0\}\nonumber\\ 
&=& \{u_t u_{t+1} | 1 \leq t \leq k-1\} \cup \{u_1 u_k\} \cup \{w_p w_{p+1} | 1 \leq p\leq l-1\} \cup \nonumber\\
 && \{v_0v_q | 1 \leq  q\leq m\}\cup \{e_1, e_2\}. 
\end{eqnarray}
Pada Gambar \ref{gambarP} dapat dilihat graf palem $C_kP_lS_m$ untuk  $k\geq 3$,$l\geq 2$ dan $m\geq 2$.
\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1.27]{gpalem.png}
		\caption{ Graf Palem $C_kP_lS_m$ untuk  $k\geq 3$,$l\geq 2$ dan $m\geq 2$.}
		\label{gambarP}
	\end{center}
\end{figure} 

\section{Pembahasan}
Pada teorema berikut diberikan dimensi Metrik dari graf palem $H=C_kP_lS_m$ untuk $k\geq 3$, $l\geq 2$ dan $m\geq 2$.
\begin{theorem}$\lozenge$
Jika $H=C_kP_lS_m$ adalah graf palem dengan $k\geq 3$, $l\geq 2$ dan $m\geq 2$, maka $dim(H)=m$. 
\end{theorem}
\begin{proof}
Diberikan suatu graf palem $H = C_kP_lS_m$ dengan $k\geq 3$, $l\geq 2$ dan $m\geq 2$, seperti pada Gambar \ref{gambarP}, dengan himpunan titik dan himpunan sisi seperti pada persamaan (2.1) dan (2.2) 

Berikut disajikan karakteristik dari graf $H$ berdasarkan jarak, dari suatu titik ke titik lainnya pada graf $H$ tersebut.
\begin{itemize}
\item[1.] Perhatikan bahwa pada graf $H$ memuat titik berderajat satu $v_i$, dengan $1\leq i\leq m$. Setiap daun pada graf $H$ akan memiliki jarak yang sama ke suatu titik $a\in V(H)-\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}$. Berdasarkan Gambar \ref{gambarP} diperoleh bahwa titik $v_0$ memiliki jarak satu ke titik-titik yang merupakan daun, dengan demikian jarak titik lainnya $\vert W\vert\geq m-1$.
\item[2.] Selanjutnya, akan dihitung jarak dari titik $u_i\in V(H)$ untuk $1\leq i\leq k$ ke sebarang titik $a\in V(H)-V(C_k)$, yang akan dibagi menjadi beberapa kasus sebagai berikut.
\begin{itemize}
\item[(a)] Untuk $C_k$, $k$ ganjil, maka diperoleh bahwa titik $u_2$ dan $u_k$ berjarak sama ke titik $a$, titik $u_3$ dan $u_{k-1}$ berjarak sama ke titik $a$, dan seterusnya hingga titik $u_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1}$ dan $u_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor +2}$ berjarak sama ke titik $a$.
\item[(b)] Untuk $C_k$, $k$ genap, maka diperoleh bahwa titik $u_2$ dan $u_k$ berjarak sama ke titik $a$, titik $u_3$ dan $u_{k-1}$ berjarak sama ke titik $a$, dan seterusnya hingga titik $u_{\frac{k}{2}}$ dan $u_{\frac{k}{2} +2}$ berjarak sama ke titik $a$.
\end{itemize} 
\end{itemize}

Misalkan dim$(H)= b$. Definisikan suatu himpunan pembeda W dengan $\vert W\vert=b$. Berdasarkan karakteristik dari graf $H$ pada poin ke-$1$, diperoleh bawah $\vert W\vert=b\geq m-1$. Selanjutnya berdasarkan karakteristik dari graf $H$ pada poin ke-$2$, harus ada satu titik $u_i \in V(H)$ di $W$, dengan $2\leq i\leq k$. Jika $k, ganjil$ pilih sebarang titik $u_i\in V(H)$ dimana $2\leq i\leq k$ dan untuk $k$ genap yaitu sebarang titik $u_i\in V(H)$ dimana $2\leq i\leq k$  dan $i\neq\dfrac{k}{2}+1$. 
Dari kedua karakteristik diperoleh $|W|\geq (m-1)+1 = m$. Ini berarti bahwa nilai $b\geq m$. Dengan demikian $dim(H) \geq m$.

Selanjutnya, misalkan diberikan suatu himpunan pembeda $W$ pada graf $H$ yang disajikan sebagai berikut. Pilih $W = \{v_1,v_2,\cdots,v_{m-1},u_k\}$. Akan ditunjukkan bahwa semua titik mempunyai representasi yang berbeda terhadap $W$.

Berikut representasi titik-titik $v\in V(H)$ terhadap himpunan $W=\{v_1,v_2,\cdots,v_{m-1},u_k\}$ yang disajikan sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
r(v|W) &=& (d(v,v_{1}),d(v,v_{2}),\cdots , d(v,v_{m-1}),d(v,u_k)).
\end{eqnarray*}

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk setiap titik-titik pada $H$ memiliki representasi yang berbeda ke himpunan $W$.
\newpage
Perhatikan Ketiga kasus berikut. 
\begin{itemize}
\item[1.] Untuk titik-titik $v_i\in V(H)$ dimana $0\leq i\leq m$, $m\geq 2$, representasi titik $V_i$ adalah sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
r(v_0|W) &=& \underbrace{(1,1,1,\cdots,1}_{m-1},l+2),\\
r(v_1|W) &=& (0,\underbrace{2,2,\cdots,2}_{m-2},l+3),\\
r(v_2|W) &=& (2,0,\underbrace{2,\cdots,2}_{m-3},l+3),\\
r(v_3|W) &=& (2,2,0,\underbrace{2,\cdots,2}_{m-4},l+3),\\
r(v_4|W) &=& (2,2,2,0,\underbrace{2\cdots,2}_{m-5},l+3),\\
&\vdots& \\
r(v_{m-1}|W) &=& (\underbrace{2,2,2,\cdots,2}_{m-2},0,l+3),\\
r(v_{m}|W) &=& (\underbrace{2,2,2,\cdots,2}_{m-1},l+3).
\end{eqnarray*}
Karena $d(v_i,v_i)=0$ dan $d(v_j,v_i)\neq 0$, untuk $i\neq j$ dan $1\leq i$, $j\leq m-1$, maka representasi $v_i$ dan $v_j$ berbeda. 
\vskip -0.8 cm
\item[2.] Untuk titik-titik $w_i\in V(H)$ dimana $1\leq i\leq l$, $l\geq 2$.
\begin{eqnarray*}
r(w_1|W) &=& (\underbrace{2,2,2,\cdots,2}_{m-1},l+1),\\
r(w_2|W) &=& (\underbrace{3,3,3,\cdots,3,}_{m-1}l),\\
r(w_3|W) &=& (\underbrace{4,4,4,\cdots,4,}_{m-1}l-1),\\
&\vdots& \\
r(w_{l-1}|W) &=& (\underbrace{l,l,l,\cdots,l}_{m-1},3),\\
r(w_{l}|W) &=& (\underbrace{l+1,l+1,l+1,\cdots,l+1}_{m-1},2).
\end{eqnarray*}
Karena $d(w_i, v_i)\neq d(w_j,v_i)$, untuk $i\neq j$ dan $1 \leq i, j \leq l$, maka representasi $w_i$ dan $w_j$ berbeda. 
\item[3.] Untuk titik-titik $u_i\in V(H)$ dimana $1\leq i\leq k$,$k\geq 3$.
\begin{itemize}
\item[-] Untuk nilai $k$ ganjil.
\begin{eqnarray*}
r(u_1|W) &=& (\underbrace{l+2,l+2,l+2,\cdots,l+2}_{m-1},1),\\
r(u_2|W) &=& (\underbrace{l+3,l+3,l+3,\cdots,l+3}_{m-1},2),\\
r(u_3|W) &=& (\underbrace{l+4,l+4,l+4,\cdots,l+4}_{m-1},3),\\
&\vdots& \\
r(u_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}|W) &=& (\underbrace{l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+1,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+1,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+1,\cdots,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor +1}_{m-1},\\
&&\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor),\\
r(u_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1}|W) &=& (\underbrace{l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+2,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+2,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+2,\cdots,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor +2}_{m-1},\\ &&\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor),\\
r(u_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+2}|W) &=& (\underbrace{l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+2,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+2,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+2,\cdots,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor +2,}_{m-1} \\
&&\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor-1),
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
r(u_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+3}|W) &=& (\underbrace{l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+1,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+1,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+1,\cdots,l+\lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor+1,}_{m-1} \\
&& \lfloor\tfrac{k}{2}\rfloor-2),\\
&\vdots& \\
r(u_{k-1}|W) &=& (\underbrace{l+4,l+4,l+4,\cdots,l+4}_{m-1},1),\\
r(u_k|W) &=& (\underbrace{l+3,l+3,l+3,\cdots,l+3}_{m-1},0).
\end{eqnarray*}
\item[-] Untuk nilai $k$ genap.
\begin{eqnarray*}
r(u_1|W) &=& (\underbrace{l+2,l+2,l+2,\cdots,l+2}_{m-1},1),\\
r(u_2|W) &=& (\underbrace{l+3,l+3,l+3,\cdots,l+3}_{m-1},2),\\
r(u_3|W) &=& (\underbrace{l+4,l+4,l+4,\cdots,l+4}_{m-1},3),\\
&\vdots& \\
r(u_{\frac{k}{2}-1}|W) &=& (\underbrace{l+\tfrac{k}{2},l+\tfrac{k}{2},l+\tfrac{k}{2},\cdots,l+\tfrac{k}{2}}_{m-1},\tfrac{k}{2}-1),\\
r(u_{\frac{k}{2}}|W) &=& (\underbrace{l+\tfrac{k}{2}+1,l+\tfrac{k}{2}+1,l+\tfrac{k}{2}+1,\cdots,l+\tfrac{k}{2}+1}_{m-1},\tfrac{k}{2}),\\
r(u_{\frac{k}{2}+1}|W) &=& (\underbrace{l+\tfrac{k}{2}+2,l+\tfrac{k}{2}+2,l+\tfrac{k}{2}+2,\cdots,l+\tfrac{k}{2}+2}_{m-1},\tfrac{k}{2}-1),\\
r(u_{\frac{k}{2}+2}|W) &=& (\underbrace{l+\tfrac{k}{2}+1,l+\tfrac{k}{2}+1,l+\tfrac{k}{2}+1,\cdots,l+\tfrac{k}{2}+}_{m-1}1,\tfrac{k}{2}-2),\\
&\vdots& \\
r(u_{k-1}|W) &=& (\underbrace{l+4,l+4,l+4,\cdots,l+4}_{m-1},1),\\
r(u_k|W) &=& (\underbrace{l+3,l+3,l+3,\cdots,l+3}_{m-1},0).
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{itemize}
\hskip 0.5cm Karena $d(u_i, v_i)\neq d(u_j,v_i)$, untuk $i\neq j$ dan $1 \leq i, j \leq k$, maka representasi $u_i$ dan $u_j$ berbeda. 

Dari penyajian representasi di atas, dapat dilihat bahwa setiap titik pada $H$ memiliki representasi yang berbeda. Oleh karena itu untuk himpunan pembeda $W = \{v_1,v_2,\cdots,v_{m-1},u_k\}$ dimana $|W|=m$, maka diperoleh bahwa $dim(H)\leq m$.

Dari uraian di atas, terbukti bahwa asumsi $dim(H)= b= m$ adalah benar. Disimpulkan untuk graf palem $H=C_kP_lS_m$ untuk $k\geq 3,\ l, m \geq2$, maka $dim(H)= m$.
\end{proof}

\section{Kesimpulan}

\hskip 0.5cm Pada penelitian ini telah dibahas tentang dimensi metrik graf palem, yang dinotasikan sebagai $H=C_kP_lS_m$ untuk $k\geq 3$, $l\geq 2$ dan $m\geq 2$ dan telah diperoleh hasil $dim(H)= m$.

\section{Ucapan Terima kasih}

\hskip 0.5cm Terima kasih kepada bapak \textbf{Narwen}, bapak \textbf{Ahmad Iqbal Baqi }dan ibu \textbf{Nova Noliza Bakar} yang telah memberikan kritik dan saran guna menjadikan penulisan makalah ini lebih baik.
 

\begin{thebibliography}{0}
\label{bibliography}  
\bibitem{1}  Aditya, R., Narwen., Welyyanti, D. 2019. \textit{Dimensi Metrik pada Graf Rn(q,r)m.} \emph{Jurnal Matematika UNAND}. \textbf{7}(1): 260-267.

\bibitem{ti}Angraini, F., Welyyanti, D., Syafruddin. 2018. \textit{Dimensi Metrik dan Dimensi Partisi dari Graf Tangga Segitiga $T_{rn}$ untuk $n=2,3$.} \emph{Jurnal Matematika UNAND}. \textbf{7}(2): 42-52.

\bibitem{B} Bondy,J.A. dan Murty, U.S.R. 1976. \emph{Graph Theory with Application}. The Macmillan Press LTD, London dan Basingstoke.
\bibitem{2}  Chartrand, G.,dkk. 2000. Resolvability in graphs and the metric dimension of a graph. \emph{Discrete Applied Mathematics}. \textbf{(105)}: 99-113.

\bibitem{3} Chartrand, G., Lesniak, L., Zhang, P., 2016. Graph and Digraphs. Crc Press Taylor and Francis Group, New York.

\bibitem{4} Febrianti, F., Yulianti, L., Narwen. 2019. Dimensi Metrik pada Graf Amalgamasi Tangga Segitiga Diperumum Homogen.\emph{Jurnal Matematika UNAND}. \textbf{8}(1): 84-90. 
 
\bibitem{5} Harary, F.,
 Melter. 1976. On the metric dimension of a graph. \textit{Ars Combin}. \textbf{2}:191-195.

\bibitem{6} Mujib, A. 2019. Bilangan Kromatik Permainan Graf Pot Bunga $(C_m S_n)$ dan Graf palem $(C_kP_lS_m)$. \textit{Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika}. \textbf{4}(1): 13 - 22.

\bibitem{7} Putra, R.N.S., Yulianti, L., Sy, S. 2018. Dimensi Metrik dari Graf $W_n+C_n$ untuk $n \in \{3,4\}$. \emph{Jurnal Matematika UNAND}. \textbf{7}(2): 165-169.

\bibitem{8}Putri, A.P., Yulianti, L., Rudianto, B. 2019. Dimensi Metrik dari Graf Amal $(T{r_n}, v)_m$
untuk $n = 5$ dan $m = 3$.\textit{Jurnal Matematika UNAND}. \textbf{8}(1): 1-8.

\bibitem{9} Riyando, R., Narwen, Efendi. 2018. Dimensi Metrik pada Graf Kincir Pola $K_1 + mK_4$, \textit{{Jurnal Matematika UNAND}}. \textbf{7}(4): 149-153.
\bibitem{sl}Slater, P.1975. Leaves of trees. \textit{Congr. Numer}. \textbf{14}: 549-559
\end{thebibliography}
\end{document}
