\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}

\markboth{Mhd. Zukri, dkk.} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{Reduksi Parameter pada \textit{Soft Set}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{REDUKSI PARAMETER PADA \textit{SOFT SET}}

\author{MHD. ZUKRI$^{a}$\footnote{MHD. ZUKRI}, ADMI NAZRA$^{b}$, YANITA$^{c}$\\}

\address{$^{a}$, $^{b}$, $^{c}$ Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Univertsitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia. \\
email : \email{zukrimuhammad12@gmail.com, nazra@sci.unand.ac.id, yanita@sci.unand.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima ..... \quad Direvisi ..... \quad Dipublikasikan ..... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}. %Dalam bahasa Indonesia
\textit{Soft set} merupakan salah satu teori matematika yang mengkaji tentang ketidakpastian dalam suatu pengambilan keputusan dalam kehidupan sehari - hari. Namun, sering kali terjadi pengambilan keputusan dengan melibatkan data yang banyak. Ada kemungkinan beberapa data tersebut ada yang dapat diabaikan tanpa me-ngubah keputusan awalnya. Usaha untuk mengabaikan beberapa informasi yang berlebihan tanpa mengubah hasil keputusan awalnya disebut dengan reduksi parameter. Pada penelitian ini, dikaji kembali konsep reduksi parameter oleh Kong, dkk. [Kong, Z., Gao, L., Wang, L., dan Li, S., \textit{The normal parameter reduction of soft sets and its algorithm, Computers and Mathematics with Applications} 56(12)(2008) 3029 - 3037] yang menggunakan derajat kepentingan sebagai acuan untuk mereduksi parameter dalam pengambilan keputusan. Kemudian akan dibandingkan dengan algoritma alternatif yang mana proses reduksinya cukup dengan menghitung kelipatan dari banyaknya objek dalam pengambilan keputusan.\\ \\
%\textbf{\textit{Kata Kunci}}: Proses Pengambilan Keputusan, Reduksi Parameter, Soft set.
\bigskip

\textbf{Abstract}. % Dalam bahasa Inggris
Soft set is a mathematical theory that examines uncertainty in decision making in everyday life. However, decision often involve large amount of data. It is posible that some of the data can be ignored without changing the initial decision. Trying to ignored some redundant information without changing the initial decision is called parameter reduction. In this study, the concept of parameter reduction was reviewed by Kong, et al. [Kong, Z., Gao, L., Wang, L., and Li, S., The normal parameter reduction of soft set and its algorithm, Computer and Mathematics with Application 56 (12) (2008) 3029 - 3037] which uses the degree of importance as a reference to reduce parameters in decision making. Then it will compared with alternative algorithms where the reduction process is sufficient to calculate multiples of the number of objects in decision making.\\ \\
%\textbf{\textit{Keywords}}: Decision Making Process, Parameter Reduction, , Soft Set.
\textbf{\textit{Kata Kunci}}: Proses Pengambilan Keputusan, Reduksi Parameter, Soft set.
\bigskip

\end{abstract}

\section{Pendahuluan}
Beberapa masalah praktis dan kompleks di berbagai bidang melibatkan data yang tidak pasti, tidak jelas, dan tidak terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, misalnya beberapa orang melakukan penilaian terhadap seberapa bagus suatu buku yang mereka baca. Mereka tentu akan memberikan penilaian yang berbeda - beda atau bisa dikatakan nilainya tidak pasti, tidak jelas, dan tidak terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu, ketidakpastian tersebut dapat diatasi dengan memanfaatkan teori \textit{fuzzy set} [8].

Pada tahun 1999, Molodstov mengusulkan teori \textit{soft set}[6] yang meng-gambarkan suatu masalah pengambilan keputusan yang melibatkan beberapa parameter. \textit{Soft set} dapat dinyatakan sebagai suatu himpunan dari pasangan - pasa-\linebreak ngan antara parameter dengan objek yang terkait, yaitu mengelompokkan objek - objek yang memenuhi atau tidak memenuhi suatu parameter. Saat ini kajian tentang teori \textit{soft set} mengalami kemajuan yang pesat. Maji, dkk.[3] pertama kali memperkenalkan beberapa definisi operasi terkait \textit{soft set}, yaitu operasi AND, OR, NOT, gabungan, irisan, dan juga hukum De Morgan. Ali, dkk.[1] kemudian memperbaiki beberapa kesalahan dari Maji, dkk.[3] terkait operasi gabungan dan irisan.

Pada \textit{soft set}, sering kali terjadi pengambilan keputusan dengan melibatkan data yang banyak. Ada kemungkinan beberapa informasi yang terkait dengan parameter - parameter tertentu dari data tersebut dapat diabaikan tanpa mengubah keputusan awalnya. Usaha untuk menghilangkan beberapa informasi (atau para-\linebreak meter) yang berlebihan tanpa mengubah hasil keputusan sebelumnya disebut dengan reduksi parameter. Dalam 15 tahun terakhir, beberapa upaya telah dilakukan untuk mereduksi parameter dari \textit{soft set}. Konsep \textit{normal parameter reduction} (NPR) diperkenalkan oleh Zhi Kong, dkk.[2]. Suatu algoritma NPR disajikan dalam[2]. Namun, sulit dipahami dan melibatkan banyak perhitungan, karena algoritma ini menggunakan perhitungan terhadap nilai derajat kepentingan parameternya. Selanjutnya, Xiuqin Ma, dkk.[5] megusulkan suatu algoritma baru yang lebih sederhana dan mudah dipahami tanpa menghitung nilai derajat kepenti-\linebreak ngan parameternya. Untuk mencari kandidat parameter yang akan direduksi cukup dengan menghitung kelipatan dari banyak objeknya.

Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dikaji kembali tentang reduksi para-\linebreak meter pada \textit{soft set} yang terdapat pada [2] dan [5]. Kajian ini cukup menarik karena terdapat beberapa perbedaan antara [2] dan [5].

\section{Soft Set}
Berikut diberikan definisi \textit{soft set} yang diperkenalkan oleh Molodstov [6] pada tahun 1999.

\begin{definition} \label{d1}
\emph{\cite{6}} Misalkan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ adalah suatu himpunan yang disebut himpunan semesta yang tak kosong. $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$ adalah suatu himpunan dari parameter - parameter dan $P(U)$ adalah suatu himpunan kuasa atas $U$. Pasangan $(F,E)$ disebut \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$ jika dan hanya jika $F$ adalah suatu pemetaan $F : E \rightarrow P(U)$, yang dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut yang berbentuk :

\begin{center}
$(F,E) = \{(e, F(e))|e \in E, F(e) \in P(U)\}$, 
\end{center}
\end{definition}

Misalkan didefinisikan suatu fungsi karakteristik $\mu_{F(e_j)}(h_i)$ yaitu :

$$
\mu_{F(e_j)}(h_i) =
\begin{cases}
1, &$ jika $\: h_i \in F(e_j)\\
0, &$ jika $\: h_i \notin F(e_j).\\
\end{cases}
$$

$\quad$

\noindent Terkait dengan suatu fungsi karakteristik $\mu_{F(e_j)}(h_i)$, \textit{soft set} $(F,E)$ dapat ditulis dalam bentuk tabel representasi sebagai berikut 

$\quad$

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\caption{Representasi Soft Set (F,E) atas $U$} \label{t2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline $(U,E)$ & $e_1$ & $e_2$	& $\cdots$ & $e_m$	\\
\hline $h_1$ & $\mu_{F(e_1)}(h_1)$ & $\mu_{F(e_2)}(h_1)$ & $\cdots$	& $\mu_{F(e_m)}(h_1)$ \\
\hline $h_2$ & $\mu_{F(e_1)}(h_2)$ &	$\mu_{F(e_2)}(h_2)$ & $\cdots$ & $\mu_{F(e_m)}(h_2)$ \\
\hline $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$	& $\vdots$ \\
\hline $h_n$ & $\mu_{F(e_1)}(h_n)$ & $\mu_{F(e_2)}(h_n)$ & $\cdots$ & $\mu_{F(e_m)}(h_n)$ \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}

\end{center}
\end{table}

\noindent atau dalam bentuk matriks 

\begin{eqnarray}\label{q1}
\left[
\begin{array}{ccc}
\mu_{F(e_1)}(h_1) & \cdots & \mu_{F(e_m)}(h_1)\\
\mu_{F(e_1)}(h_2) & \cdots & \mu_{F(e_m)}(h_2)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\mu_{F(e_1)}(h_n) & \cdots & \mu_{F(e_m)}(h_n)
\end{array}
\right].
\end{eqnarray}

$\quad$

\noindent Jika dimisalkan $\mu_{F(e_j)}(h_i) = h_{ij}$, untuk $i = 1, 2, ..., n$ dan $j = 1, 2, ..., m$, maka \ref{q1} dapat dibuat dalam bentuk  

\begin{eqnarray}
\left[
\begin{array}{ccc}
h_{11} & \cdots & h_{1j}\\
h_{21} & \cdots & h_{2j}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
h_{i1} & \cdots & h_{ij}
\end{array}
\right].
\end{eqnarray}

\section{\textit{Normal Parameter Reduction}(NPR)}

Pada bagian ini akan dijelaskan kembali suatu teknik untuk mereduksi parameter yang diteliti oleh Kong, dkk.[2] yang mengembangkan sebuah algoritma untuk menyelesaikan masalah pengambilan keputusan.

Misalkan diberikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$ dengan suatu tabel representasi, dimana $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ adalah himpunan objek, $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$ adalah himpunan parameter, dan $h_{ij}$ adalah entri - entri yang ada pada tabel representasi dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dimana $i = 1,2 , ..., n$ dan $j = 1, 2, ..., m$.

\begin{definition} \label{d2}
\emph{\cite{5}} Untuk \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ adalah himpunan objek, dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$ adalah himpunan parameter, $f_E (h_i) = \sum \limits^{m}_{j = 1} h_{ij}$, disebut sebagai nilai skor dari objek $h_i$.
\end{definition}

\begin{definition} \label{d88}
Misalkan diberikan suatu \textit{soft sets} $(F,E)$ atas $U$, dengan $ U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ adalah himpunan objek dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$ adalah suatu himpunan parameter. Didefinisikan $f(e_j) = \sum \limits^{n}_{i = 1} h_{ij}$ yang disebut sebagai banyaknya objek yang berkaitan dengan parameter $e_j$.
\end{definition}

\begin{definition} \label{d3}
\emph{\cite{5}} Misalkan diberikan suatu soft set $(F,E)$ atas $U$, dimana $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$. Misalkan $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E$, dimana $p < m$. Untuk setiap subset $B \subseteq A$, suatu indiscernibility relation IND(B) didefi-nisikan sebagai berikut : 

\begin{center}
$IND (B) = \{(h_i,h_j) \in U \times U | f_B(h_i) = f_B(h_j)\}$.
\end{center}

\noindent Untuk soft set $(F,E)$ atas $U$, suatu partisi keputusan dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$ didefinisikan sebagai berikut :

\begin{center}
$C_E = \{\{h_1, h_2, ..., h_i\}_{f_1}, \{h_{i+1}, ..., h_j\}_{f_2}, ..., \{h_k, ..., h_n\}_{f_s}\}$,
\end{center}

\noindent dimana untuk subclass $\{h_v, h_{v+1}, ..., h_{v+w}\}_{f_i}$, berlaku $f_E(h_v) = f_E(h_{v+1}) = \cdots = f_E(h_{v+w}) = f_i$, dan $f_1 \geq f_2 \geq \cdots \geq f_s$, untuk suatu $s \in \mathbb{N}$. Dengan kata lain, objek - objek pada $U$ diklasifikasikan dan diurutkan menurut nilai dari $f_E(h_i)$ berdasarkan hubungan indiscernibility.
\end{definition}
 
\begin{definition} \label{d4}
\emph{\cite{2}} Misalkan diberikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dimana $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ adalah himpunan dari objek - objek dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$ adalah himpunan parameter - parameter. Jika terdapat suatu  $A = \{e_1',e_2', ..., e_p'\} \subset E$ yang memenuhi $f_A(h_1) = f_A(h_2) = \cdots = f_A(h_n)$, maka $A$ disebut dispensable, sebaliknya, jika terdapat $h_i \in U$ sedemikian sehingga $f_A(h_i) \neq f_A(h_j)$ untuk suatu $h_j \in U$ , maka $A$ disebut indispensable. $B \subset E$ adalah normal parameter reduction (NPR) atas E, jika memenuhi kondisi berikut :

\begin{enumerate}
\item $B$ indispensable
\item $f_{E - B}(h_1) = f_{E - B}(h_2) = \cdots = f_{E - B}(h_n)$. 
\end{enumerate}  
\end{definition}

\subsection{Teknik Mereduksi Berdasarkan Algoritma Kong, dkk.}
Pada bagian ini akan dijelaskan suatu algoritma untuk mereduksi parameter yang diteliti oleh Kong, dkk.[2] 

Misalkan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ adalah himpunan objek - objek dan $E =\linebreak \{e_1, e_2, ..., e_m\}$ adalah himpunan parameter - parameter. Untuk suatu \textit{soft set}\linebreak $(F,E)$ atas $U$ dengan partisi keputusan $C_E = \{\{h_1, h_2, ..., h_i\}_{f_1}, \{h_{i+1}, ..., h_j\}_{f_2},\linebreak ..., \{h_k, ..., h_n\}_{f_s}\}$, jika parameter $e_j$ dapat diabaikan , maka partisi keputusan\linebreak dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$ dapat berubah dan partisi keputusan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk $C_{E-\{e_j\}} =\{\{h_{1'}, h_{2'}, ..., h_{i'}\}_{f_{1'}}, \{h_{i+1'}, ..., h_{j'}\}_{f_{2'}},\linebreak ..., \{ h_{k'}, ..., h_{n'}\}_{f_{s'}} \}$, untuk suatu $s \in \mathbb{N}$. Parameter $e_j$ diabaikan untuk menda-\linebreak patkan partisi baru yang akan digunakan dalam menghitung nilai derajat kepenti-\linebreak ngan parameternya. Untuk mempermudah pengerjaan, elemen - elemen pada $C_E$ dan $C_{E-\{e_j\}}$ dinotasikan dengan notasi sebagai berikut :

\begin{center}
$C_E = \{E_{f_1}, E_{f_2}, ..., E_{f_s}\}$\\
$C_{E-\{e_j\}} = \{\overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{1'}}}, \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{2'}}}, ..., \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{s'}}}\}$,
\end{center}

\noindent dimana, untuk $E_{f_1} = \{h_1, h_2, ..., h_i\}_{f_1}, E_{f_2} = \{h_{i+1}, ..., h_j\}_{f_2}, ..., E_{f_s} = \{h_k, ..., h_n\}_{f_s}$ dan $\overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{1'}}} = \{h_{1'}, h_{2'}, ..., h_{i'}\}_{f_{1'}}, \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{2'}}} = \{h_{i+1'}, ..., h_{j'}\}_{f_{2'}}, ..., \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{s'}}} = \{h_{k'}, ..., h_{n'}\}_{f_{s'}}$.

\begin{definition} \label{d5}
\emph{\cite{2}} Diberikan suatu soft set $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$. Berdasarkan partisi keputusan dan partisi keputusan de-\linebreak ngan mengabaikan $e_j$ dari soft set $(F,E)$ atas $U$, suatu derajat kepentingan dari $e_j$ untuk partisi keputusan dari soft set $(F,E)$ atas $U$ didefinisikan sebagai berikut : 

\begin{center}
$r_{e_j} = \frac{1}{|U|} \left( \alpha_{1, e_j} + \alpha_{2,e_j} + \cdots + \alpha_{s,e_j} \right)$, 
\end{center}

\noindent dimana $\mid . \mid$ menyatakan kardinalitas dari himpunan, dan 

$$
\small
\alpha_{k,e_j} =
\begin{cases}
|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}}|,\: $ \emph{jika terdapat} $z'$ \emph{sehingga} $ \: f_k = f_{z'}, 1 \leq z' \leq s', \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 1 \leq k \leq s,\:$ \emph{untuk suatu} $\: s,\: s' \in \mathbb{N}  \\
|E_{f_k}|,$ \emph{selainnya}.$
\end{cases}
$$
\end{definition}

$\quad$

\begin{definition}\label{d78}
\emph{\cite{2}} Untuk suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan himpunan para-\linebreak meter $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$, $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E$ dan himpunan objek $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$. Misalkan partisi keputusan dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$ adalah $C_E = \{E_{f_1}, E_{f_2}, ..., E_{f_s}\}$ dan partisi keputusan dengan mengabaikan $A$ dari \textit{soft set} $(F, E - A)$ atas $U$ adalah $C_{E - A} = \{\overline{\{E - A\}}_{f_{1'}}, \overline{\{E - A\}}_{f_{2'}}, ..., \overline{\{E - A\}}_{f_{s'}}\}$. Sehingga derajat kepentingan dari partisi keputusaan dengan mengabaikan $A$ dari \textit{soft set} $(F, E - A)$ atas $U$ didefinisikan sebagai berikut :

\begin{center}
$r_A = \frac{1}{|U|} \left( \alpha_{1, A} + \alpha_{2, A} + \cdots + \alpha_{s, A} \right)$, 
\end{center}

\noindent dimana

$$
\small
\alpha_{k, A} =
\begin{cases}
|E_{f_k} - \overline{\{E - A}\}_{f_{z'}}|,$ \emph{jika terdapat}$\: z'$ \emph{sehingga} $\: f_k = f_{z'}, 1 \leq z' \leq s', \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 1 \leq k \leq s,$ \emph{untuk suatu}$\: s, \: s' \in \mathbb{N} \\
|E_{f_k}|,$ \emph{selainnya}.$
\end{cases}
$$
\end{definition}

$\quad$

Derajat kepentingan parameter memiliki proposisi sebagai berikut.

\begin{proposition} \label{p1}
\emph{\cite{2}} Untuk suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan himpunan parameter $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$, berlaku $0 \leq r_{e_j} \leq 1$.
\end{proposition}

\noindent \noindent \noindent \noindent \begin{proof}
Misalkan $r_{e_j} = \frac{1}{|U|} (\alpha_{1,e_j} + \alpha_{2,e_j} + \cdots + \alpha_{s,e_j})$, $\alpha_{k,e_j} = |E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}}\\| \leq |E_{f_k}|$ (jika terdapat $z'$ yang memenuhi $f_k = f_{z'}$, $1 \leq z' \leq s'$, $1 \leq k \leq s$). Perhatikan $|E_{f_1}| + |E_{f_2}| + \cdots + |E_{f_s}| = |U|$, karena itu

$\quad$

$r_{e_j} = \frac{1}{|U|} (\alpha_{1,e_j} + \alpha_{2,e_j} + \cdots + \alpha_{s,e_j})$

$\; \; \; \; \: \; \leq \frac{1}{|U|} (|E_{f_1}| + |E_{f_2}| + \cdots + |E_{f_s}|)$

$\; \; \; \; \: \; = 1$.

$\quad$

Jelas bahwa dari Definisi \ref{d5}, $0 \leq r_{e_j}$. Terbukti $0 \leq r_{e_j} \leq 1$.
\end{proof}

\begin{proposition} \label{p2}
\emph{\cite{2}} Derajat kepentingan parameter $r_{e_j} = 0$ jika dan hanya jika nilai $f(e_j) = 0$; $r_{e_j} = 1$ jika dan hanya jika nilai $f(e_j) = 1$.
\end{proposition}

\noindent \noindent \noindent \begin{proof}
Misalkan $r_{e_j} = \frac{1}{|U|} (\alpha_{1,e_j} + \alpha_{2,e_j} + \cdots + \alpha_{s,e_j})$, partisi keputusan dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dan partisi keputusan dengan mengabaikan $e_j$ dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, masing - masing $C_E = \{E_{f_1}, E_{f_2}, ..., E_{f_s}\}$ dan $C_{E - \{e_j\}} = \{ \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{1'}}}, \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{2'}}}, ..., \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{s'}}}\}$.

Misalkan $r_{e_j} = 0$, itu berarti $\alpha_{k,e_j} = 0$ untuk setiap $1 \leq k \leq s$, artinya, $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}}| = 0$ (jika terdapat $z'$ yang memenuhi $f_k = f_{z'}$, $1 \leq z' \leq s'$, $1 \leq k \leq s$) atau $E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}} = \emptyset$. Jelas bahwa, $E_{f_k} = \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}}$ atau $E_{f_k} \subseteq \overline{\{E - \{e_j\}\}}_{f_{z'}}$. Untuk kasus $E_{f_k} \subseteq \overline{\{E - \{e_j\}\}}_{f_{z'}}$, hal ini tidak mungkin terjadi karena jika hal ini terjadi artinya terdapat suatu $f_k$ yang mana $f_k \neq f_{z'}$. Akibatnya $|E_{f_k}| \neq 0$. Sehingga $r_{e_j} \neq 0$ (kontradiksi dengan asumsi).  Tersiratkan bahwa skor setiap objek tidak berubah sebelum dan sesudah mengabaikan parameter $e_j$, karena $f(e_j) = 0$. Sementara jika $f(e_j) = 0$, untuk setiap $h_i \in E_{f_k}$, maka $h_i\in \overline{E - \{e_j\}}$. Jadi $E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}} = \emptyset$, hasil dari $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}}| = 0$ $(f_k = f_{z'}$, $1 \leq k \leq s$, $1 \leq z' \leq s')$, sehingga $\alpha_{k,e_j} = 0$, $(1 \leq k \leq s)$. Oleh karena itu $r_{e_j} = 0$.

Demikian pula, jika $r_{e_j} = 1$, $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}}| = |E_{f_k}|$ $(f_k = f_{z'}, 1 \leq k \leq s$, $1 \leq z' \leq s')$. Jelas bahwa, skor untuk setiap objek berubah setelah parameter $e_j$ diabaikan, karena $f(e_j) = 1$. Untuk $f(e_j) = 1$, untuk setiap $h_{ij} =1$, hasil dari $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_{z'}}}| = |E_{f_k}|$, $(f_k = f_{z'}$, $1 \leq k \leq s$, $1 \leq z' \leq s')$. Jadi $r_{e_j} = 1$.
\end{proof}

\begin{proposition} \label{p3}
\emph{\cite{2}} Jika banyaknya nilai $f(e_j) = 1$ pada kolom $e_j$ lebih banyak dari banyaknya $f(e_j) = 1$ pada kolom $e_i$, maka $r_{e_j} > r_{e_i}$
\end{proposition}

\noindent \noindent \noindent \begin{proof}
Untuk $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_z}}|$, $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_i\}\}_{f_{z'}}}|$, $(f_k = f_z, 1 \leq k \leq s$, $1 \leq z \leq s$, $1 \leq z' \leq s')$. Berdasarkan Definisi \ref{d5}., semakin banyak $f(e_j) = 1$, semakin banyak juga skor yang berubah. Jadi nilai dari $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_j\}\}_{f_z}}|$ lebih besar dari $|E_{f_k} - \overline{\{E - \{e_i\}\}_{f_{z'}}}|$, $1 \leq k \leq s$, $1 \leq z \leq s$, $1 \leq z' \leq s'$. Dengan demikian $r_{e_j} > r_{e_i}$.
\end{proof}  

\begin{theorem}
\emph{\cite{2}} Untuk suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dimana $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$, jika terdapat suatu subset $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E$, sedemikian sehingga $E - A$ adalah NPR dari $E$, maka $r_A = 1$ dan $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'} = f_A(h_i)$ atau $r_A = 0$ dan $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'} = f_A(h_i)$.
\end{theorem}

\noindent \noindent \noindent \begin{proof}
Jika $E - A$ adalah NPR dari $E$, maka didapatkan $f_A(h_1) = f_A(h_2) = \cdots = f_A(h_n)$. Jelas bahwa, berdasarkan definisi $f_A(h_i) = c$ atau $f_A(h_i) = 0$, dimana $c \in \mathbb{N}$ dan $ i = 1, 2, .., n$.

Misalkan $f_A(h_i) = 0$, maka $f(e_1') = f(e_2') = \cdots = f(e_p') = 0$, untuk $e_1', e_2', ..., e_p' \in A$. Jadi untuk setiap $E_{f_k} \in C_E$, $\overline{\{E - A\}_{f_{z'}}} \in C_{E - A}$, berlaku $E_{f_k} = \overline{\{E - A\}_{f_{z'}}}$ ($f_k = f_{z'})$, artinya $\alpha_{k,A} = 0$. Oleh karena itu $r_A = 0$. Sehingga $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'} = 0$. Dengan demikian $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'} = f_A(h_i)$.

Misalkan $f_A(h_i) = c$, $ c \in \mathbb{N}$ dan $i = 1, 2, ..., n$, $C_E = \{E_{f_1}, E_{f_2}, ..., E_{f_s}\}$, dan $C_{E - A} = \{\overline{\{E - A\}_{f_{1'}}}, \overline{\{E - A\}_{f_{2'}}}, ..., \overline{\{E - A\}_{f_{s'}}}\}$. Karena $f_A(h_i) = c$ dan $f_A(h_1) = f_A(h_2) = \cdots = f_A(h_n)$, didapat $s = s'$, $f_1 = f_{1'} + c$, ..., $f_s = f_{s'} + c$, dan subclass $E_{f_{1}} =  \overline{\{E - A\}_{f_{1'}}}, ..., E_{f_s} = \overline{\{E - A\}_{f_{s'}}}$. Oleh karena itu $\alpha_{k,A} = |E_{f_k} - \overline{\{E - A\}_{f_{z'}}}| = |E_{f_k}|$ ($1 \leq k \leq s$, $1' \leq z' \leq s'$, jika terdapat $z'$ sedemikian sehingga $f_k = f_{z'}$). Dengan demikian 

$\quad$

$r_A = \frac{1}{|U|} \left( |E_{f_1}| + \cdots + |E_{f_s}| \right)$.

$\; \: \; \; \; = \frac{|U|}{|U|}$

$\; \: \; \; \; = 1$.

$\quad$
 
Misalkan $E_k = \{h_{k_1}, h_{k_2}, ..., h_{k_v}\} \in C_E$, $k_1, k_2, ..., k_v < n$. Karena $E - A$ adalah NPR dari E, dan $f_A(h_j) = c$ untuk setiap $h_j \in E_k$, maka ada $e_l \in A$ dimana $f(e_l) = 1$, dan $e_l$ seperti itu dinyatakan dalam himpunan $\hat{A_j}$, sehingga $\hat{A_j}$ adalah subset dari $A$, $|\hat{A_j}| = c$, dan $f_{\hat{A_j}}(h_j) = c = f_A(h_i)$. Untuk objek yang berbeda, subset $\hat{A_j}$ juga berbeda. Jadi $\alpha_{k,e_{1}'} + \alpha_{k,e_{2}'} + \cdots + \alpha_{k,e_{p}'} = c \times |E_k|$. Oleh karena itu

$\quad$

$r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'} = \frac{1}{|U|} \left( \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i, e_1'} + \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i, e_2'} + \cdots + \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i, e_p'} \right)$\\

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \frac{1}{|U|} \left( \sum \limits^{p}_{j = 1} \alpha_{1, e_j'} + \sum \limits^{p}_{j = 1} \alpha_{2, e_j'} + \cdots + \sum \limits^{p}_{j = 1} \alpha_{s, e_j'} \right)$\\

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \frac{1}{|U|} \times f_A(h_i) \times (|E_1| + |E_2| + \cdots + |E_s|)$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = f_A(h_i)$.
\end{proof}

Berikut diberikan suatu algoritma bagaimana mendapatkan NPR yang diteliti oleh Kong, dkk.[2] bilamana diberikan suatu \textit{soft set}.
 
\textbf{Algoritma Reduksi Parameter oleh Kong, dkk.}

\begin{enumerate}
\item Masukkan nilai $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$;
\item Masukkan nilai $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$;
\item Tetapkan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$ dan buat dalam bentuk tabel representasi;
\item Hitung partisi keputusan dan partisi keputusan yang mengabaikan $e_j$ dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$;
\item Hitung derajat kepentingan parameter $r_{e_j}$ $(1 \leq j \leq m)$;
\item Pilih subset $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E$ yang anggotanya maksimal yang mana memenuhi $\sum \limits^{p}_{j = 1} r_{e_j'}$ adalah bilangan bulat non negatif, dimana $1 \leq j \leq p$, kemudian masukkan $A$ ke dalam kandidat himpunan parameter yang akan direduksi;
\item Cek $A$, jika $f_A(h_1) = f_A(h_2) = \cdots = f_A(h_n)$, maka $E - A$ adalah \textit{normal parameter reduction} dan $A$ akan dijadikan sebagai kandidat himpunan para-meter yang akan direduksi. Jika tidak, A akan dihapus dari kandidat himpunan parameter yang akan direduksi;
\item Cari kardinalitas maksimum dari $A$ pada kandidat himpunan parameter yang akan direduksi;
\item Hitung $E - A$ sebagai NPR yang optimal yang dilambangkan dengan $B$. 
\end{enumerate}

\subsection{Teknik Mereduksi dengan Algoritma alternatif}
Algoritma yang disajikan oleh Kong, dkk memiliki perhitungan yang sangat rumit. Untuk itu pada bagian ini akan dijelaskan suatu algoritma alternatif yang diusulkan oleh Xiuqin Ma, dkk.[5]

\begin{definition} \label{d6}
\emph{\cite{5}} Untuk suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$, $S (e_j) = \sum \limits^{n}_{i = 1} h_{ij}$ yang disebut sebagai jumlah objek yang terlibat.
\end{definition}

\begin{definition} \label{d7}
\emph{\cite{5}} Untuk suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$, $S_A = \sum \limits^{m}_{j = 1} S_{(e_j)}$, untuk $A \subseteq E$ disebut sebagai jumlah entri - entri pada tabel representasi $(F,A)$.
\end{definition}

\begin{theorem} \label{r1}
\emph{\cite{5}} Misalkan diberikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$, $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$. Jika terdapat suatu subset $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E$ sedemikian sehingga $E - A$ adalah NPR atas $E$, maka $S_A = qn$, untuk suatu $q \in \{ 0, 1, 2, ..., p\}$, dimana $n$ adalah banyaknya anggota dari $U$.
\end{theorem}

\noindent \noindent \begin{proof}
Misalkan diberikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$. Misalkan $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E$ yang dapat direpresentasikan pada Tabel \ref{t1}. 

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\caption{$A \subset E$} \label{t1}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline $(U,A)$ & $e_1'$ & $e_2'$	& $\cdots$ & $e_p'$ & $f_A(h_i)$	\\
\hline $h_1$ & $h_{11}'$ & $h_{12}'$ & $\cdots$	& $h_{1p}'$ & $q$ \\
\hline $h_2$ & $h_{21}'$ &	$h_{22}'$ & $\cdots$ & $h_{2p}'$ & $q$ \\
\hline $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$	& $\vdots$ & $\vdots $ \\
\hline $h_n$ & $h_{n1}'$ & $h_{n2}'$ & $\cdots$ & $h_{np}'$ & $q$ \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}

\end{center}
\end{table}

\noindent Berdasarkan Definisi \ref{d4}, jika $B = E - A$ dan $B \subset E$ adalah NPR atas $E$, maka $f_{E-B}(h_1) = f_{E-B}(h_2) = \cdots = f_{E-B}(h_n)$. Dengan kata lain, jika $A = E - B$ \textit{dispensable}, akibatnya $f_A(h_1) = f_A(h_2) = \cdots = f_A(h_n) = q$ untuk suatu $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$. Untuk itu persamaan berikut harus terpenuhi.

$\quad$

$h'_{11} + h'_{12} + \cdots + h'_{1p} = q$

$h'_{21} + h'_{22} + \cdots + h'_{2p} = q$

$\vdots$

$h'_{n1} + h'_{n2} + \cdots + h'_{np} = q$, 

$\quad$

\noindent dimana $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$.\\
Didapatkan

$\quad$

$S_A = S(e_1') + S(e_2') + \cdots + S(e_p')$

$\; \: \: \: \: \:= (h'_{11} + h'_{21} + \cdots + (h'_{n1}) + (h'_{12} + h'_{22} + \cdots + h'_{n2}) + \cdots + (h'_{1p} +$ 


$\; \; \: \: \; \; \; \; \; h'_{2p} + \cdots + h'_{np})$


$\; \: \: \: \: \:=(h_{11}' + h_{12}' + \cdots + h_{1p}') + (h_{21}' + h_{22}' + \cdots + h_{2p}') + \cdots + (h_{n1}' +$


$\; \; \: \: \; \; \; \; \; h_{n2}' + \cdots + h_{np}')$


$\; \: \: \: \: \:= n \cdot q.$

$\quad$

Artinya, $S_A$ adalah kelipatan dari $n$.\end{proof}

\begin{theorem} \label{r3}
\emph{\cite{5}} Untuk suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$, $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$, dan $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E$. Jika nilai $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'}$ adalah bilangan bulat non negatif, maka didapat $S_A = qn$, untuk $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$, dimana $n$ adalah banyak anggota dari $U$. Jika $S_A = qn$, untuk $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$, maka $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'}$ adalah sebuah bilangan bulat non negatif.
\end{theorem}

\noindent \noindent \begin{proof}
Misalkan $C_E = \{E_{f_1}, E_{f_2}, ..., E_{f_s}\} =  \{\{h_1, h_2, ..., h_i\}_{f_1}, \{h_{i+1}, ..., h_j\}_{f_2}, ..., \{h_k, ..., h_n\}_{f_s}\}$ merupakan partisi keputusan dari \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$. Jika parameter $e_j$ dapat diabaikan dari himpunan $E$, maka partisi keputusannya berubah dan dapat dilambangkan dengan $C_{E-\{e_j\}} = \{E_{f_1'}, E_{f_2'}, ..., E_{f_s'}\}$. Selanjutnya akan dihitung derajat kepentingan dari $e_j$ dengan menggunakan Definisi \ref{d5}. Untuk parameter $e_j$, jika $h_{ij} = 0$ untuk setiap $h_i \in U$, maka $r_{e_j} = 0$. Sebaliknya jika $h_{ij} = 1$ untuk beberapa $h_i$ atau semua $h_i$ misalkan banyaknya $h_{ij} = 1$ adalah $x$, maka 

$r_{e_j} =  \frac{x}{|U|}$ $\:$ $\:$, $ \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i,e_j} = S (e_j)$.

\noindent Hal ini dikarenakan bahwa untuk setiap $E_{f_s} \in C_E$ terdapat beberapa kemungkinan bentuk dari $E_{f_z'} \in C_{E - \{e_j\}}$ ($f_z' = f_s$) yang bersesuaian dengan $E_{f_s}$, yaitu

\begin{enumerate}
\item $E_{f_z'} = E_{f_s}$, jika $h_{ij} = 0$ untuk setiap $h_i \in E_{f_s}$,

\item $E_{f_s} \subset E_{f_z'}$, jika ada $h_{ij} =1$ untuk $h_i \in E_{f_s}$,

\item $E_{f_s} \cap E_{f_z'} = \emptyset$, jika ada $h_{ij} =1$ untuk $h_i \in E_{f_s}$,

\item $E_{f_s} \neq \emptyset$, $E_{f_z'} = \emptyset$, jika ada $h_{ij} =1$ untuk $h_i \in E_{f_s}$,

\item $E_{f_z'} \neq E_{f_s}$, jika $h_{ij} = 1$ untuk setiap $h_i \in E_{f_s}$.
\end{enumerate} 

\noindent Kemudian, diperoleh

\noindent $q = r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'} = \frac{x_{e_1'}}{|U|} + \cdots + \frac{x_{e_p'}}{|U|} = \frac{1}{|U|} \left( \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i,e_1'} + \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i,e_2'} + \cdots + \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i,e_p'} \right)$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;  =\frac{1}{|U|} (S(e_1') + S(e_2') + \cdots + S(e_p'))$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;  =\frac{1}{|U|} S_A$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\frac{S_A}{n}$.

$\quad$

Oleh karena itu, jika nilai $r_{e_1'} + r_{e_2'} + ... + r_{e_p'}$ adalah bilangan bulat non negatif, maka $S_A = qn$, untuk $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$, dimana $n$ adalah banyak anggota dari $U$; sebaliknya, jika $S_A = qn$, untuk $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$, maka 

$\quad$

$ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; qn = S_A = S(e_1') + S_(e_2') + \cdots + S_(e_p')$.

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i,e_1'} + \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i,e_2'} + \cdots + \sum \limits^{s}_{i = 1} \alpha_{i,e_p'}$.

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = |U| (r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'})$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; q = r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'}$.    

$\quad$

\noindent Akibatnya, $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'}$ adalah bilangan bulat non negatif. Didapat $S_A = qn$, untuk $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$ dan $r_{e_1'} + r_{e_2'} + \cdots + r_{e_p'}$ bilangan bulat non negatif adalah ekuivalen.
\end{proof}

\begin{definition} \label{d8}
\emph{\cite{5}} Misalkan diberikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$. Jika terdapat $h_{1j} = h_{2j} = \cdots = h_{nj} = 1$, untuk $j \in \{1, 2, ..., m\}$, maka $e_j$ dapat dilambangkan dengan $e_j^1$.
\end{definition}

\begin{definition} \label{d9}
\emph{\cite{5}} Misalkan diberikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, dengan $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$ dan $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$. Jika terdapat $h_{1j} = h_{2j} = \cdots = h_{nj} = 0$, untuk $j \in \{1, 2, ..., m\}$ , maka $e_j$ dapat dilambangkan dengan $e_j^0$.
\end{definition}

Berikut diberikan suatu algoritma alternatif untuk mendapatkan NPR bilamana diberikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$, tanpa menggunakan derajat kepentingan sebagaimana pada algoritma Kong, dkk.

\textbf{Algoritma alternatif} :

\begin{enumerate}
\item Masukkan nilai $U = \{h_1, h_2, ..., h_n\}$;

\item Masukkan nilai $E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}$;

\item Definisikan suatu \textit{soft set} $(F,E)$ atas $U$ dan sajikan dalam bentuk tabel representasi;

\item Hitung nilai $f_E(h_i)$, $S(e_j)$, dan $S_E$ dengan menggunakan Definisi \ref{d2}, Definisi \ref{d6}, dan Definisi \ref{d7};

\item Cek apakah ada parameter yang sesuai dengan Definisi \ref{d8} atau Definisi \ref{d9}, jika ada masukkan parameter - parameter tersebut ke dalam himpunan parameter yang akan direduksi yang dilambangkan dengan $Z$ dan jika tidak ada, langkah dilanjutkan ke algoritma ke-7;

\item Tetapkan suatu \textit{soft set} $(F,E')$ atas $U$ yang baru tanpa melibatkan nilai dari himpunan $Z$. Kemudian hitung nilai $f_{E'}$, $S_{(e_j)}$, dan $S_{E'}$ dengan $e_j \in E'$; 

\item Pilih subset $A = \{e_1', e_2', ..., e_p'\} \subset E'$ maksimal dengan menggunakan Teorema \ref{r1} $\;$sedemikian sehingga $S_A = qn$ untuk suatu $q \in \{0, 1, 2, ..., p\}$. Jika tidak ada $Z$ yang memenuhi Definisi \ref{d8} atau Definisi \ref{d9}, cari $A \subset E$ yang kardinalitasnya maksimal dengan cara yang sama menggunakan Teorema \ref{r1}. 

\item Cek $A$, jika $f_A(h_1) = f_A(h_2) = \cdots = f_A(h_n)$*, maka $A$ dimasukkan ke dalam kandidat himpunan parameter yang akan direduksi. Jika * tidak terpenuhi, maka $A$ tidak termasuk kandidat himpunan parameter yang akan direduksi. Ulangi kembali langkah 7 dengan memilih $\bar{A} \in E'$ sehingga $S_{\bar{A}} = qn$ dengan $|\bar{A}| < |A|$.  

\item Pilih kardinalitas maksimum dari $A$ pada kandidat himpunan parameter yang akan direduksi, kemudian $E - A - Z = B$ adalah NPR yang optimal. Jika tidak ada $Z$, maka $E - A = B$ adalah NPR yang optimal. 
\end{enumerate}

\section{Perbandingan antara Algoritma Kong, dkk. dan Algoritma Alternatif}
Algoritma Kong, dkk. dan algoritma alternatif memiliki perhitungan yang berbeda untuk mendapatkan NPR dari \textit{soft set}. Ada beberapa perbedaan antara algoritma tersebut diantaranya sebagai berikut.

\begin{enumerate}

\item Pada algoritma alternatif, $e_j^1$ dan $e_j^0$ dapat langsung dimasukkan ke dalam himpunan parameter yang akan direduksi, sehingga jumlah \textit{subset} dalam kandidat himpunan parameter yang akan direduksi menjadi jauh lebih sedikit dari pada algoritma Kong, dkk. Oleh karena itu, parameter yang akan dicari untuk direduksi menjadi berkurang dikarenakan adanya $e_j^1$ dan $e_j^0$.

\item Pada algoritma alternatif, lebih mudah untuk menghitung nilai $S_A$ daripada menghitung nilai $r_{e_j}$ pada algoritma Kong, dkk., karena untuk menghitung $S_A$ melibatkan perhitungan yang lebih sedikit dan lebih mudah daripada menghitung nilai $r_{e_j}$, sehingga proses reduksi parameternya menjadi lebih cepat.

\item Pada algoritma alternatif, jika $S_A$ adalah kelipatan dari $|U|$, maka $A$ dapat dianggap sebagai kandidat himpunan parameter yang akan direduksi; sedangkan pada algoritma Kong, dkk., suatu \textit{subset} $A$ dianggap sebagai reduksi parameter yang layak jika $\sum \limits^{p}_{j = 1} r_{e_j'}$, $1 \leq j \leq p$ adalah bilangan bulat non negatif dengan $e_j' \in A$.

\end{enumerate}
 
\section{Kesimpulan}
Konsep reduksi parameter pada \textit{soft set} diperkenalkan oleh Kong, dkk.[2]. Pada artikelnya, Kong, dkk.[2] menggunakan nilai skor tiap objek sebagai acuan untuk mereduksi suatu parameter. Kemudian, Kong, dkk.[2]. menghitung nilai derajat kepentingan parameter untuk menentukan parameter mana yang dapat diabaikan. Akan tetapi, perhitungan terhadap nilai derajat kepentingan parameter tersebut sulit untuk dipahami dan memakan waktu yang lama. Oleh karena itu, Xiuqin Ma, dkk.[5] membuat suatu algoritma alternatif yang lebih mudah untuk dimengerti dan perhitungannya lebih cepat. Xiuqin Ma, dkk.[5] menggunakan kelipatan dari banyaknya objek sebagai acuan untuk melakukan reduksi. Beberapa teorema baru juga disajikan untuk mendukung keefektifan dari algoritma alternatif ini.
\section{Ucapan Terima kasih}
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Nova Noliza Bakar, Bapak \linebreak Mahdhivan Syafwan, dan Ibu Des Welyyanti yang telah memberikan masukan dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik.

\begin{thebibliography}{56} \label{bibliography}

\bibitem{1} Ali, M.I., Feng, F., Liu, X., Min, W. K., Sabhira, M. 2009. On some new operations in soft set theory. \emph{Computer and Mathematics with Applications}. vol. \textbf{57}, pp. (1547 - 1553).

\bibitem{2} Kong, Z., Gao, L., Wang, L., Li, S. 2008. The normal parameter reduction of soft sets and its algorithm. \emph{Computers and Mathematics with Applications}. vol. \textbf{56 (12)}, pp. (3029 - 3037).

\bibitem{3} Maji, P. K., Biswas, R., Roy, A. R. 2003. Soft set theory. \emph{Computers and Mathematics with Applications}. vol. \textbf{45 (4 - 5)}, pp. (555 - 562).  

\bibitem{4} Majumdar, P., Samanta, S. K. 2010. Generalized fuzzy soft sets, \emph{Computer and Mathematics with Applications}. vol. \textbf{59}, pp. (1425 - 1432).

\bibitem{5} Ma, X., Sulaiman, N., Qin, H., Herawan, T., Zain, J., M. 2011. A new efficient normal parameter reduction algorithm of soft sets, \emph{Computers and Mathema-tics with Applications}. vol \textbf{62 (2)}, pp (588 - 598).

\bibitem{6} Molodstov, D. 1999. Soft set theory-first result. \emph{Computers and Mathematics with Applications}. vol. \textbf{47 (4/5)}, pp. (19 - 31).

\bibitem{7} Molodstov, D. 2004. The theory of soft sets. \emph{URSS Publisher, Moscow}.

\bibitem{8} Zadeh, L. A. 1965. Fuzzy sets. \emph{Information and control}. vol. \textbf{8}, pp. (338 - 356).


\end{thebibliography}

\end{document}
