\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\tolerance=1
\emergencystretch=\maxdimen
\hyphenpenalty=10000
\hbadness=10000
\newcommand\scalemath[2]{\scalebox{#1}{\mbox{\ensuremath{\displaystyle #2}}}}
\begin{document}

\markboth{Marzetha Indaswari dkk.} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{Aplikasi Algoritma Leverrier Faddeev dalam Menghitung Invers Matriks \textit{Centrosymmetric}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{APLIKASI ALGORITMA LEVERRIER FADDEEV DALAM MENGHITUNG INVERS MATRIKS \textit{CENTROSYMMETRIC}}

\author{MARZETHA INDASWARI\footnote{penulis korespondensi}, YANITA, NOVERINA ALFIANY}

\address{Departemen Matematika dan Sains Data,\\
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,\\
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, 25175\\
email : \email{marzethai@gmail.com, yanita@sci.unand.ac.id, noverinaalfiany@sci.unand.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima ..... \quad Direvisi ..... \quad Dipublikasikan ..... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}. %Dalam bahasa Indonesia
Matriks \textit{centrosymmetric} adalah matriks bentuk khusus dari matriks simetris, yang mana matriks ini memiliki struktur simetri pada pusat matriksnya. Di antara beberapa masalah terkait matriks \textit{centrosymmetric} adalah masalah penentuan invers dan nilai eigennya. Pada penelitian ini dikaji masalah penentuan invers dan nilai eigen dari matriks \textit{centrosymmetric} dengan bentuk khusus ordo $n \times n$, $ n \ge 3$ dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev. Penelitian ini diawali dengan menentukan $Y_{i}$ dan $q_{i}$ dari setiap matriks \textit{centrosymmetric} berukuran $n \times n$,$3 \ge n \ge 8$. Selanjutnya dengan memperhatikan pola invers dan nilai eigennya diperoleh bentuk umum invers dan nilai eigen dari matriks \textit{centrosymmetric} dengan bentuk khusus ordo $n \times n$, $n \ge 3$ dalam dua kasus, yaitu untuk $n=2m+1$ dan $n=2m$.

\end{abstract}

\keywords{Algoritma Leverrier Faddeev, invers, matriks \textit{centrosymmetric}, nilai eigen}

\section{Pendahuluan}
Aljabar linier adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari sistem persamaan linier, vektor, dan transformasi linier. Salah satu konsep dasar dalam aljabar linier adalah matriks. Dalam teori matriks terdapat berbagai macam jenis matriks, salah satunya adalah matriks simetris. Matriks simetris adalah matriks persegi yang memiliki sifat simetri. Salah satu bentuk khusus dari matriks simetris ini adalah matriks \textit{centrosymmetric}.

Matriks \textit{centrosymmetric} merupakan jenis matriks simetris yang memiliki struktur simetri pada pusat matriksnya. Bentuk umum dari matriks \textit{centrosymmetric} adalah sebagai berikut:

\begin{center}
$X_{n}=
\scalemath{0.9}{\begin{bmatrix}
x_{11} & \cdots & x_{1k} & \cdots  & x_{1n}\\
x_{21} & \cdots  & x_{2k} & \cdots  & x_{2n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots\\
x_{k1}  & \cdots  & x_{kk} & \cdots & x_{k1}\\
\vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{2n} &  \cdots & x_{2k} & \cdots & x_{21}\\
x_{1n} &  \cdots & x_{1k} & \cdots & x_{11}
\end{bmatrix}}$
\end{center} dengan $x_{ij} \in \mathbb{R}$, untuk $i,j = 1, 2,..., n$ dan $k$ adalah indeks untuk entri di pertengahan matriks \cite{1}. 

Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan, matriks \textit{centrosymmetric} memberikan kontribusi pada berbagai bidang ilmu pengetahuan. Dalam \cite{5}, telah diperoleh bahwa matriks \textit{centrosymmetric} merupakan teknik dasar untuk interpolasi sinyal Hermitian . Selain itu, pada penelitian \cite{3} yang berjudul "\textit{On the Reducibility of Centrosymmetric Matrices-Applications in Engineering Problems}", mengungkap bahwa matriks \textit{centrosymmetric} bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan pemilihan fitur \textit{pattern recognition} dan analisis vibrasi. 

Salah satu kajian yang banyak diteliti dari matriks \textit{centrosymmetric} ini, yakni bagaimana mendapatkan inversnya. Namun, masalah yang sering dihadapi saat mencari invers dari suatu matriks adalah terkait dengan ordo dari matriks itu sendiri. Semakin besar ordo matriks, maka semakin sulit pula untuk menentukan inversnya. 

Salah satu metode yang cocok untuk mengatasi permasalahan di atas adalah algoritma Leverrier Faddeev. Algoritma Leverrier Faddeev ini awalnya dikembangkan pada tahun 1980 oleh D.K. Faddeev dan Urbain Le Verrier dengan tujuan utama untuk menghitung nilai eigen dari suatu matriks \cite{4}. Algoritma Leverrier Faddeev ini memiliki keunggulan dalam menangani kasus khusus, seperti ketika matriks memiliki nilai eigen ganda atau ketika matriks tidak memiliki \textit{full rank}. Namun, selain untuk menghitung nilai eigen, algoritma Leverrier-Faddeev juga dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu matriks yang berordo besar. Untuk ordo matriks yang lebih besar daripada $5 \times 5$, algoritma ini merupakan algoritma yang efisien dan efektif dalam penentuan invers dan nilai eigen dari matriks tersebut.

Dalam makalah ini, akan dikaji masalah penentuan invers dan nilai eigen dari matriks \textit{centrosymmetric} dengan bentuk khusus berordo $n \times n$, $ n \ge 3$ dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev

\section{Landasan Teori}

\subsection{Matriks dan Operasi Matriks}

Matriks adalah susunan bilangan atau simbol dalam suatu baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi panjang. Suatu matriks $X$ berordo $m\times n$ berarti matriks tersebut memiliki $m$ baris dan $n$ kolom yang dinotasikan sebagai $X_{m\times n}$ dan dapat dituliskan sebagai berikut \cite{2}:
\begin{equation}\label{bentukumummatriks}
X = 
\begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ 
x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ 
x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn}
\end{bmatrix}.    
\end{equation} 

\begin{definition} \cite{1} \label{definisitambah}
Jika $X$ dan $Y$ adalah matriks dengan ordo yang sama, maka hasil penjumlahan dari $X+Y$ diperoleh dengan menambahkan setiap entri pada $X$ dengan entri yang bersesuaian pada $Y$. Sedangkan, hasil untuk pengurangan dari $X-Y$ diperoleh dengan mengurangkan setiap entri pada $X$ dengan entri yang bersesuaian pada $Y$. Penting untuk diingat bahwa matriks dengan ordo yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, jika $X = [x_{ij}]$ dan $Y = [y_{ij}]$ adalah matriks-matriks yang berordo $m \times n$, maka
\begin{eqnarray*}
X+Y = [x_{ij}]+[y_{ij}] = [x_{ij} + y_{ij}]
\end{eqnarray*}
dan
\begin{eqnarray*}
X-Y = [x_{ij}]-[y_{ij}] = [x_{ij}-y_{ij}]
\end{eqnarray*}
dengan $i = 1, 2, \dots, m$ dan $j = 1, 2, \dots, n$.
\end{definition}

\begin{definition} \cite{1} \label{definisikali}
Jika $X$ adalah matriks $m \times r$ dan $Y$ adalah matriks $r \times n$, maka hasil kali $XY$ adalah sebuah matriks berordo $m \times n$. Untuk menentukan nilai entri pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari matriks $XY$, langkahnya adalah dengan memisahkan baris ke-$i$ dari matriks $X$ dan kolom ke-$j$ dari matriks $Y$. Kemudian, setiap entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dikalikan dan hasilnya dijumlahkan.
\end{definition}

\begin{definition} \cite{1} \label{definisiidentitas}
Matriks identitas berordo $n \times n$, ditulis sebagai $I$ atau $I_n$, adalah suatu matriks bujur sangkar yang memiliki entri 1 di sepanjang diagonal utama (diagonal dari kiri atas ke kanan bawah) dan 0 ditempat lain.
\begin{equation}\label{persamaan3}
I = [i_{ij}],
\end{equation}
dimana 
\begin{equation}
i_{ij} = 
 \begin{cases} 
   1; & i = j \\ 
   0; & i \neq j
 \end{cases}
\end{equation}
untuk $i$, $j = 1, 2, \dots, n.$
\end{definition}

\subsection{Invers Matriks}

\begin{definition} \cite{1} \label{definisiinvers}
Misalkan $X$ dan $Y$ adalah matriks bujur sangkar yang berordo sama, jika $XY = YX = I$, maka $X$ memiliki sifat \textit{invertible} atau disebut juga sebagai matriks yang dapat dibalik. $Y$ disebut sebagai  invers dari $X$, yang dapat ditulis sebagai $Y = X^{-1}$. Namun, jika matriks $Y$ tidak dapat ditentukan atau didefinisikan, maka $X$ disebut sebagai matriks singular.
\end{definition}

\subsection{Rotasi Matriks}
\begin{definition} \cite{1} \label{definisirotasi}
Diberikan matriks $X$ berordo $n \times n$, dengan $x_{ij} \in \mathbb{R}$. Rotasi dari matriks $X$ dinotasikan dengan $X^{R}$ dan didefinisikan sebagai 
\begin{equation} \label{persamaan rotasi}
X^{R} =J_{n}XJ_{n},
\end{equation}
dimana $J_{n} = (\textbf{\textit{e}}_{n}, \textbf{\textit{e}}_{n-1}, ...,\textbf{\textit{e}}_{1})$ dan $\textbf{\textit{e}}_{i}$ merupakan vektor unit dengan entri ke-$i$ bernilai $1$ dan entri yang lainnya bernilai $0$.
\end{definition}

\subsection{Trace Matriks}

\begin{definition} \cite{1} \label{definisitrace}
Misalkan $X = [x_{ij}]$ merupakan sebuah matriks bujur sangkar. Trace dari matriks $X$ didefinisikan sebagai jumlah entri dari diagonal matriks $X$ yang dinotasikan dengan $tr(X)$. Jadi, trace dari matriks $X$ dapat dinyatakan sebagai berikut:
\begin{equation}\label{persamaantrace}
tr(X) = \sum \limits^{n}_{i=1} x_{ii},
\end{equation} dengan $n$ adalah ordo dari matriks $X$.
\end{definition}

\subsection{Nilai Eigen dan Vektor Eigen}

\begin{definition} \cite{1} \label{definisieigen} 
	Jika $X$ adalah matriks $n \times n$ maka vektor $\textit{\textbf{v}} \in \mathbb{R}^n$ dinamakan vektor eigen dari $X$ jika
	\begin{center}
		$X\textbf{v}=\lambda \textit{\textbf{v}},$
	\end{center}
untuk suatu skalar $\lambda$. Skalar $\lambda$ dinamakan nilai eigen dari $X$ dan $\textit{\textbf{v}}$ dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan $\lambda$. 
\end{definition}

\begin{theorem} \cite{1} \label{teoremaeigen} 
	Jika $X$ adalah matriks $n \times n$ , maka $\lambda$ merupakan nilai eigen dari $X$ jika dan hanya jika memenuhi polinomial karakteristik berikut:
	\begin{center}
		det$(\lambda I-X)=0$,
	\end{center} dimana $I$ adalah matriks identitas berordo $n \times n$.
\end{theorem}

\subsection{Transformasi Laplace}

\begin{definition} \cite{6}
Misalkan
\begin{eqnarray*}
f(t)=
\begin{bmatrix}
f_{11}(t)&f_{12}(t)& \dots & f_{1n}(t)\\
f_{21}(t)&f_{22}(t)& \dots & f_{2n}(t)\\
\vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 
f_{n1}(t)&f_{n2}(t)& \dots & f_{n}(t)
\end{bmatrix}, & untuk & t \ge 0,
\end{eqnarray*}  transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai berikut:
\begin{center}
$F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\lbrace f(t) \right\rbrace $
\end{center}
\begin{eqnarray}
&=&  \begin{bmatrix}
\mathcal{L}\left\lbrace f_{11}(t) \right\rbrace & \mathcal{L}\left\lbrace f_{12}(t) \right\rbrace &\dots & \mathcal{L}\left\lbrace f_{1n}(t) \right\rbrace \\
\mathcal{L}\left\lbrace f_{21}(t) \right\rbrace &\mathcal{L}\left\lbrace f_{22}(t) \right\rbrace &\dots & \mathcal{L}\left\lbrace f_{2n}(t) \right\rbrace \\
\vdots & \vdots &\dots & \vdots\\
\mathcal{L}\left\lbrace f_{n1}(t) \right\rbrace &\mathcal{L}\left\lbrace f_{n2}(t) \right\rbrace & \dots & \mathcal{L}\left\lbrace f_{nn}(t) \right\rbrace \\
\end{bmatrix}.
\end{eqnarray}
\end{definition}

\begin{example}
Misalkan $f(t) = e^{tX}$, dimana X adalah matriks konstanta berordo $n \times n$, maka
\begin{eqnarray} \mathcal{L} \left\lbrace  e^{tX} \right\rbrace  = (sI-X)^{-1}.
\end{eqnarray}
\end{example}

\subsection{Resolven}
\begin{definition} \cite{8}
Himpunan resolven dari matriks $X$ berordo $n \times n$, dengan $x_{ij} \in \mathbb{C}$, dilambangkan dengan $\rho(X)$, adalah himpunan titik $s \in \mathbb{C}$, dimana $sI- X$ adalah invertible. Komplemen dari himpunan resolven disebut spektrum yang didefinisikan sebagai berikut:
\begin{eqnarray}
\sigma(X) = \mathbb{C}/\rho(X).
\end{eqnarray}
Resolven dari $X$ adalah pemetaan dari $\rho(X)$ ke matriks berukuran $n \times n$, dengan setiap entrinya adalah elemen $\mathbb{C}$ yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
\begin{eqnarray}
R(X,s) = (sI-X)^{-1}.
\end{eqnarray} 
\end{definition}

\subsection{Induksi Matematika}
  
\textbf{ Prinsip induksi Matematika} \cite{7}: Untuk membuktikan $P(n)$ bernilai benar untuk semua $n$ bilangan bulat positif, dimana $P(n)$ adalah \textit{proporsitional function}, harus melakukan dua langkah berikut.
  \begin{enumerate}
  \item{\textbf{Langkah basis}: menunjukkan $P(1)$ bernilai benar.}
  \item{\textbf{Langkah induksi}: menunjukkan untuk setiap bilangan bulat positif $k$, jika $P(k)$ benar, maka $P(k+1)$ juga bernilai benar.}
  \end{enumerate}

\section{APLIKASI ALGORITMA LEVERRIER FADDEEV DALAM MENGHITUNG INVERS MATRIKS \textit{CENTROSYMMETRIC} DENGAN BENTUK KHUSUS BERORDO $n \times n$, $ n \ge 3$}

\subsection{Matriks \textit{Centrosymmetric}}

\begin{definition} \cite{9} \label{definisicentro}
Suatu matriks $X= (x_{ij})_{n \times n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ disebut matriks \textit{centrosymmetric}, jika setiap entri di $X$ memenuhi hubungan berikut:
\begin{eqnarray}
x_{ij} = x_{(n-i+1)(n-j+1)},
\end{eqnarray} untuk setiap  $i,j = 1, 2, \dots, n$, yang ekuivalen dengan $J_n X J_n = X$, dimana $J_n=(e_n, e_{n-1}, \dots, e_1)$ dan $e_i$ merupakan vektor unit dengan entri ke-$i$ bernilai $1$ dan entri yang lainnya bernilai $0$.
\end{definition}

Berdasarkan definisi di atas,  maka dapat dibuat suatu matriks \textit{centrosymmetric} dengan bentuk khusus berordo $n \times n$, $ n \ge 3$ sebagai berikut:
\begin{enumerate}
\item{ untuk $n = 2m+1$
\begin{equation} \label{ganjil}
X_{n}=\scalemath{0.7}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &a \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a & a &a \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a &  \cdots  & a & a &a \\
\ a & a & a & \cdots & a & a & a & \cdots & a & a & a \\
\ a & a & a & \cdots & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ a & a & a & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right]}, \ dan
\end{equation}}
\item{untuk $n=2m$
\begin{equation}\footnotesize \label{genap}
X_{n}=
\scalemath{0.7}{\left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 & a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a & a & a &a \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a &  \cdots  & a & a & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a & a &  \cdots  & a & a & a &a \\
\ a & a & a & a & \cdots & a & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\ a & a & a & a & \cdots & a & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\ a & a & a & a & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & a & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right]},
\end{equation}}
\end{enumerate}
dengan $a \neq 0$.

\subsection{Algoritma Leverrier Faddeev}
\begin{theorem} \cite{4}
Misalkan matriks $X$ adalah matriks berordo $n \times n$ dengan polinomial karakteristiknya, yaitu 
\begin{eqnarray*}
p(\lambda)=\lambda^{n}  + q_{1}\lambda^{n-1} + q_{2}\lambda^{n-2} + \dots + q_{n},
\end{eqnarray*} koefisien $q_{i}$, $ i = 1, 2, \dots, n$ dari polinomial karakteristik di atas diberikan oleh berikut ini: 
\begin{eqnarray*}\label{persamaanfaddeev}
q_1 = -\frac{tr(Y_{0})}{1}, & dengan & Y_{0} = X,\\
q_{2} = -\frac{tr(Y_{1})}{2}, & dengan& Y_{1} = XY_{0} + q_{1}X,
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}
q_{3} = -\frac{tr(Y_{2})}{3}, &dengan& Y_{2} = XY_{1} + q_{2}X,
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray*}
\vdots && \vdots \\
 q_{n} = -\frac{tr(Y_{n-1})}{n}, & dengan& Y_{n-1} = XY_{n-2} + q_{n-1}X.
\end{eqnarray*} 
\end{theorem}
\begin{proof}
Misalkan, diberikan sebuah matriks $X$ berordo $n \times n$ dengan $det(\lambda I - X) = \lambda^{n}  + q_{1}\lambda^{n-1} + q_{2}\lambda^{n-2} + \dots + q_{n} = p(\lambda)$.  Kemudian, misalkan $(\lambda I - X)^{-1}$ merupakan resolven dari X yang dinyatakan sebagai berikut:
 \begin{eqnarray}\label{resolven}
  (\lambda I - X)^{-1} &=& \frac{N\left(\lambda\right)}{p\left(\lambda\right) },
 \end{eqnarray} dimana matriks adjugat $N(\lambda)$ adalah polinomial $\lambda$ berderajat $n - 1$ dengan koefisien matriks $N_{0}, N_{1}, \dots, N_{n-1}$ dimana $N_{i} = X^{-1}Y_{i}$. Untuk menguraikan persamaan (\ref{resolven}) digunakan transformasi Laplace dari matriks eksponensial, yaitu $\mathcal{L}\left\lbrace e^{tX}\right\rbrace  = (\lambda I - X)^{-1}$.

Diketahui $\frac{de^{tX}}{dt} = Xe^{tX}$, maka diperoleh
\begin{eqnarray*}
\mathcal{L}\left\lbrace  \frac{de^{tX}}{dt}\right\rbrace   &=& \mathcal{L}\left\lbrace Xe^{tX}\right\rbrace \\
\lambda \mathcal{L}\left\lbrace e^{tX}\right\rbrace -I &=& X\mathcal{L}(e^{tX})\\
\lambda \mathcal{L}\left\lbrace e^{tX}\right\rbrace -I &=& X \left( \frac{N(\lambda)}{p(\lambda)}\right) \\
\lambda \mathcal{L}\left\lbrace e^{tX}\right\rbrace -I &=&  \frac{Y(\lambda)}{p(\lambda)}\\
\lambda \ tr\left(  \mathcal{L}\left\lbrace e^{tX}\right\rbrace\right)  -tr\left(I\right)  &=& tr \left( \frac{Y(\lambda)}{p(\lambda)}\right) \\
\lambda \left( \frac{p'(\lambda)}{p(\lambda)}\right) -n &=& tr \left( \frac{Y(\lambda)}{p(\lambda)}\right)\\
\lambda p'(\lambda) - np(\lambda) &=& tr(Y(\lambda))\\
\scalemath{0.75}{-q_{1}\lambda^{n-1}-2q_{2}\lambda^{n-2}-\dots- nq_{n} } &=&\scalemath{0.75}{ tr(Y_{0} \lambda^{n-1}) +  tr(Y_{1} \lambda^{n-2})+ \dots + tr(Y_{n-1})}.
\end{eqnarray*}
Selanjutnya, dengan mengambil komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
\begin{eqnarray*}
-q_{1} \lambda^{n-1} &=& tr(Y_{0} \lambda^{n-1})\\
-q_{1} \lambda^{n-1} &=&  \lambda^{n-1} tr(Y_{0})\\
q_{1} &=& - \frac{tr(Y_{0})}{1},
\vdots\\
-nq_{n} &=& tr(Y_{n-1}) \\
q_{n} &=& - \frac{tr(Y_{n-1})}{n}.
\end{eqnarray*} 
\end{proof}

\begin{theorem} \cite{4} \label{yn0}
Misalkan algoritma Leverrier Faddeev merupakan suatu algoritma yang bersifat iteratif yang melibatkan  $Y_{0}, Y_{1}, \dots, Y_{n}$, maka proses iterasi tersebut akan berhenti ketika
\begin{eqnarray}
Y_{n}=\begin{bmatrix}
0 & 0 &\dots &0\\
0 & 0 & \dots &0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \dots & 0
\end{bmatrix}= O
\end{eqnarray} 
\end{theorem}
\begin{proof}
Misalkan X adalah sebuah matriks persegi berordo $n \times n$ dengan polinomial karakteristik $p(\lambda) = \lambda^{n}  + q_{1} \lambda^{n-1} + q_{2}\lambda^{n-2} + \dots + q_{n}$. Dengan mencari solusi dari $p(\lambda)$, diperoleh akar-akar $\lambda_{j}$ untuk $j = 1, 2, \dots, n$. Misalkan untuk setiap $\lambda$ memiliki
\begin{eqnarray*}
Y = \sum_{i = 0}^{n - 1} \lambda^{n - 1 - i}Y_{i}.
\end{eqnarray*}
Berdasarkan algoritma (\ref{persamaanfaddeev}), maka
\begin{eqnarray*}\label{persamaan12}
\lambda^{n}Y_{0} &=& \lambda^{n}X \\
\lambda^{n-1}Y_{1} &=& \lambda^{n-1}XY_{0} + \lambda^{n-1}q_{1}X\\
\lambda^{n-2}Y_{2} &=& \lambda^{n-2}XY_{1} + \lambda^{n-2}q_{2}X
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&& \dots\\
Y_{n} &=& XY_{n-1} + q_{n}X.
\end{eqnarray*} Kemudian, jumlahkan semua ruas kiri dan kanan.
\begin{eqnarray*}
\scalemath{0.7}{\lambda^{n}Y_{0}+\lambda^{n-1}Y_{1}+\lambda^{n-2}Y_{2}+\dots + Y_{n}} &=& \scalemath{0.7}{\lambda^{n}X+\lambda^{n-1}XY_{0}+\lambda^{n-1}q_{1}X+\lambda^{n-2}XY_{1}+\lambda^{n-2}q_{2}X+\dots + XY_{n-1}+q_{n}X}\\
\scalemath{0.7}{Y_{n}} &=& \scalemath{0.7}{( \lambda I- X)Y+X\left(p(\lambda)\right) }
\end{eqnarray*}
karena det$( \lambda I - X ) = 0$ dan $p(\lambda) = 0$, maka terbukti bahwa $Y_{n} = O$.
\end{proof}

\begin{theorem} \cite{4}
Misalkan matriks $X$ adalah matriks berordo $n \times n$. Dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev,  invers dari $X$ adalah
\begin{eqnarray}\label{inverse} 
X^{-1}=-\frac{1}{q_{n}}(Y_{n-2} + q_{n-1}I).
\end{eqnarray}
\end{theorem}
\begin{proof}
 Pada Teorema (\ref{yn0}) diketahui $Y_{n} = O$.\\
 Perhatikan bahwa:
\begin{eqnarray*}
Y_{n} &=& O\\
XY_{n-1} + q_{n}X &=& O\\
q_{n}X &=& -XY_{n-1} \\
q_{n}X &=& -X(XY_{n-2} + q_{n-1}X)\\
X^{-1}Xq_{n} &=& -X^{-1}X(XY_{n-2} + q_{n-1}X) \\
X^{-1}Xq_{n} &=& -I(XY_{n-2} + q_{n-1}X)\\
X^{-1}Xq_{n} &=& -X(Y_{n-2} + q_{n-1}I)\\
X^{-1} &=& -\frac{(Y_{n-2} + q_{n-1}I)}{q_{n}}.
\end{eqnarray*}
\end{proof}

\subsection{Penerapan Algoritma Leverrier Faddeev dalam Menghitung Invers dan Nilai Eigen Matriks \textit{Centrosymmetric} dengan Bentuk Khusus}
Pada bagian ini, akan ditentukan bentuk umum invers dan nilai eigen dari matriks \textit{centrosymmetric} pada Persamaan(\ref{ganjil}) dan (\ref{genap}) yang berordo $3 \times 3$ sampai dengan $8 \times 8$  dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev.
\begin{enumerate}
\item{Untuk ordo $n =3 $}\\
Dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev (\ref{persamaanfaddeev}), diperoleh 
\begin{itemize}
\item[a.] Invers dari $X_{3}$, yaitu
$\scalemath{0.7}{\begin{bmatrix}
       0 & 0 & a^{-1}\\
       -a^{-1} & a^{-1} & -a^{-1}\\
       a^{-1} & 0 & 0
      \end{bmatrix}}$
\item[b.] Nilai eigen dari $X_{3}$, yaitu $a$ dan $-a$, yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut:  
\begin{eqnarray*}
p(\lambda) &=& 0\\
lambda^{3} - a \lambda^{2} - a^{2} \lambda + a^{3} &=& 0\\
(\lambda - a)^2(\lambda + a) &=& 0
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\item{Untuk ordo $n =4 $}\\
Dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev (3.2.1), diperoleh  
\begin{itemize}
\item[a.] Invers dari $X_{4}$, yaitu
$\scalemath{0.7}{\begin{bmatrix}
		 0 & 0 & 0 & a^{-1}\\
		 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1}\\
		 -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0\\
		 a^{-1} & 0 & 0 & 0 
		\end{bmatrix}}$
\item[b.] Nilai eigen dari $X_{4}$, yaitu $a$ dan $-a$, yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut:  
\begin{eqnarray*}
p(\lambda) &=& 0\\
\lambda^{4}  - 2a^{2} \lambda^{2} + a^{4} &=& 0\\
(\lambda - a)^2 (\lambda + a)^2 &=& 0
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\item{Untuk ordo $n =5 $}\\
Dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev  (3.2.1), diperoleh 
\begin{itemize}
\item[a.] Invers dari $X_{5}$, yaitu $
     \scalemath{0.7}{\begin{bmatrix}
        0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1} \\
		0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} \\
		0& -a^{-1} & a^{-1} & -a^{-1}& 0\\
		-a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & 0\\
		a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0
       \end{bmatrix}}
$
\item[b.] Nilai eigen dari $X_{5}$, yaitu $a$ dan $-a$, yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut:  
\begin{eqnarray*} 
p(\lambda) &=& 0\\
\scalemath{0.8}{\lambda^{5} - a \lambda^{4} - 2a^{2} \lambda^{3} + 2a^{3} \lambda^{2}+ a^{4} \lambda -a^{5}} &=& 0\\
(\lambda - a)^3 (\lambda +a)^2 &=&0
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\item{Untuk ordo $n =6 $}\\
Dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev (3.2.1), diperoleh  
\begin{itemize}
\item[a.] Invers dari $X_{6}$, yaitu
$ \scalemath{0.7}{\begin{bmatrix}
		 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1}\\
		 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1}\\
		 0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} & 0\\
		 0 & -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & 0\\
		 -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0\\
		 a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
		\end{bmatrix}}$
		\item[b.] Nilai eigen dari $X_{6}$, yaitu $a$ dan $-a$, yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut:  
\begin{eqnarray*}
p(\lambda) &=& 0\\
\lambda^{6} - 3a^{2} \lambda^{4} + 3a^{4} \lambda^{2} - a^{6} &=& 0\\
(\lambda - a)^3 (\lambda +a)^3 &=& 0
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\item{Untuk ordo $n =7 $}\\
Dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev  (3.2.1), diperoleh 
\begin{itemize}
\item[a.] Invers dari $X_{7}$, yaitu
$ \scalemath{0.6}{\begin{bmatrix}
		 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1}\\
		 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1}\\
		 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} & 0\\
		 0 & 0 & -a^{-1} & a^{-1} & -a^{-1} & 0 & 0\\
		 0 & -a^{-1} & a^{-1} & 0  & 0 & 0 & 0\\
		 -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
		 a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
		\end{bmatrix}}$
\item[b.] Nilai eigen dari $X_{7}$, yaitu $a$ dan $-a$, yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut:  
\begin{eqnarray*}
p(\lambda) &=& 0\\
\scalemath{0.8}{\lambda^{7} - a \lambda^{6} - 3a^{2} \lambda^{5} + 3a^{3} \lambda^{4}+ 3a^{4} \lambda^{3} - 3a^{5} \lambda^{2} - a^{6} \lambda + a^{7}} &=&0\\
(\lambda - a)^4 (\lambda +a)^3&=& 0
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\item{Untuk ordo $n =8 $}\\
Dengan menggunakan algoritma Leverrier Faddeev (3.2.1), diperoleh  
\begin{itemize}
\item[a.] Invers dari $X_{8}$, yaitu
$\scalemath{0.6}{\begin{bmatrix}
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1}\\
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1}\\
		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} & 0\\
		0 & 0 & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} & 0 & 0\\
		0 & 0 & -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0\\
		0 & -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
		-a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
		a^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
		\end{bmatrix}}
$
\item[b.] Nilai eigen dari $X_{8}$, yaitu $a$ dan $-a$, yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut:  
\begin{eqnarray*}
p(\lambda) &=& 0\\
\scalemath{0.7}{\lambda^{8} - 4a^{2} \lambda^{6} + 6a^{4} \lambda^{4} -4a^{6} \lambda^{2} + a^{8}} &=& 0\\
(\lambda - a)^4 (\lambda +a)^4 &=& 0
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{Teorema Karakteristik Matriks \textit{Centrosymmetric} dengan Bentuk Khusus Ordo $n \times n$}

Berdasarkan pola invers dan nilai eigen yang diperoleh sebelumnya, dapat dibuat sebuah teorema baru sebagai berikut.
\begin{theorem} \label{teorema6}
Misalkan diberikan sebuah matriks \textit{centrosymmetric} dengan bentuk khusus berordo $n \times n$, $ n \ge 3$, dan $m$ adalah bilangan bulat positif, maka
\begin{enumerate}
\item[1.]untuk kasus $n=2m+1$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[a.]$
(X_{n})^{-1}=\scalemath{0.6}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a^{-1} & -a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a^{-1} & -a^{-1} & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^{-1} &  \cdots  & -a^{-1} & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a^{-1} & a^{-1} & -a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & -a^{-1} & \cdots & a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ 0 & -a^{-1} & a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ -a^{-1} & a^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right]},$
\item[b.]nilai eigen dari $X_{n}$ adalah $a$ dan $-a$ yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut: 
\begin{eqnarray*}
p(\lambda) = (\lambda - a)^{\frac{n+1}{2}} + (\lambda + a)^{\frac{n-1}{2}}, & dan
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[2.]untuk kasus $n=2m$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[a.]
$ (X_{n})^{-1}=
\scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 &  a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a^{-1}  &  -a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a^{-1} & -a^{-1}  &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a^{-1}  & -a^{-1} & 0 &  0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a^{-1} &  \cdots  & -a^{-1}  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & -a^{-1} & \cdots & a^{-1} & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\ 0 & 0 & -a^{-1} & a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & a^{-1} & a^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ a^{-1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 
\end{array}\right]},
$
\item[b.]nilai eigen dari $X_{n}$ adalah $a$ dan $-a$ yang merupakan solusi dari polinomial karakteristik berikut: 
\begin{eqnarray*}
p(\lambda) = (\lambda - a)^{\frac{n}{2}} + (\lambda + a)^{\frac{n}{2}}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item[1.]Untuk kasus $n=2m+1$
\begin{enumerate}
\item[a.] Dengan mengunakan  Definisi (\ref{definisiinvers}), akan ditunjukkan 
\begin{eqnarray*}
X_{n} \times (X_{n})^{-1} = (X_{n})^{-1} \times X_{n} = I.
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa:\\
$X_{n} \times (X_{n})^{-1} =$
\begin{eqnarray*}
\scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &a \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a & a &a \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a &  \cdots  & a & a &a \\
\ a & a & a & \cdots & a & a & a & \cdots & a & a & a \\
\ a & a & a & \cdots & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ a & a & a & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right]}
\times 
\scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a^{-1} & -a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a^{-1} & -a^{-1} & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^{-1} &  \cdots  & -a^{-1} & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a^{-1} & a^{-1} & -a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & -a^{-1} & \cdots & a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ 0 & -a^{-1} & a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ -a^{-1} & a^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right]}
= \scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]} = I,\ dan
\end{eqnarray*}
$(X_{n})^{-1} \times X_{n} =$
\begin{eqnarray*}
\scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a^{-1} & -a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a^{-1} & -a^{-1} & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^{-1} &  \cdots  & -a^{-1} & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a^{-1} & a^{-1} & -a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & -a^{-1} & \cdots & a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ 0 & -a^{-1} & a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ -a^{-1} & a^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right]}
\times
\scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &a \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a & a &a \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a &  \cdots  & a & a &a \\
\ a & a & a & \cdots & a & a & a & \cdots & a & a & a \\
\ a & a & a & \cdots & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ a & a & a & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right]}
= \scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{ccccccccccc}
\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots  & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]} = I.
\end{eqnarray*}
Dengan demikian, terbukti invers dari matriks \textit{centrosymmetric} bentuk khusus $X_{n}$ adalah $(X_{n})^{-1}.$ 
\item[b.]Dengan menggunakan induksi matematika, akan ditunjukkan agar $\lambda$ menjadi nilai eigen dari matriks $X_{n}$, maka polinomial karakteristiknya haruslah sama dengan $0$, yaitu
\begin{eqnarray*}
 (\lambda - a)^{\frac{n+1}{2}} (\lambda + a)^{\frac{n-1}{2}} &=& 0.
\end{eqnarray*}

Perhatikan bahwa:\\
misalkan $P(n) : (\lambda - a)^{\frac{n+1}{2}} (\lambda + a)^{\frac{n-1}{2}} = 0$.
\begin{itemize} 
 \item[a.]Langkah Basis \\
 Akan ditunjukkan bahwa P(3) bernilai benar.\\
Untuk $n=3$, maka $P(3): (\lambda - a)^{2} (\lambda + a) = 0$.\\ Pernyataan benar untuk $n=3$, karena 
\begin{eqnarray*}
det(\lambda I - X_{3}) &=& 0\\
det\left(\lambda \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 0 & a\\
a & a & a\\
a & 0 & 0
\end{bmatrix} \right) &=& 0\\
det \left(\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & -a\\
-a & \lambda - a & -a\\
-a & 0 & \lambda
\end{bmatrix} \right) &=& 0\\
(\lambda - a)^{2} (\lambda + a) &=& 0.
\end{eqnarray*}

\item[b.]Langkah Induksi\\
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat ganjil $n=k \ge 3$, jika $P(k)$ bernilai benar, maka $P(k+2)$ juga bernilai benar.\\
Asumsikan bahwa $P(k)$ bernilai benar untuk sebarang bilangan bulat ganjil positif $n=k \ge 3$, yaitu
\begin{eqnarray*}
P(k): (\lambda - a)^{\frac{k+1}{2}} (\lambda + a)^{\frac{k-1}{2}} = 0.
\end{eqnarray*}
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk $n = k +2$, maka $P(k+2)$ juga bernilai benar, yaitu $p(k+2): (\lambda - a)^{\frac{(k+2)+1}{2}} (\lambda + a)^{\frac{(k+2)-1}{2}} = 0$. Dengan asumsi $P(k)$ benar, maka ruas kiri dari $P(k+2)$ diperoleh
\begin{eqnarray*}
(\lambda - a)^{\frac{(k+2)+1}{2}} (\lambda + a)^{\frac{(k+2)-1}{2}} &=& \underbrace{\left\langle (\lambda - a)^{\frac{k+1}{2}}\right\rangle \left\langle (\lambda + a)^{\frac{k-1}{2}}\right\rangle}_{= 0} (\lambda^{2} - a^{2}) \\
&=&0,
\end{eqnarray*}
kedua ruas dari $P(k+2)$ sama, maka $P(k+2)$ bernilai benar. Dengan demikian, karena langkah basis dan langkah induksi terpenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 
\begin{eqnarray*}
 (\lambda - a)^{\frac{n+1}{2}} (\lambda + a)^{\frac{n-1}{2}} &=& 0.
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item[2.]Untuk kasus $n = 2m$
\begin{enumerate}
 \item[a.]Dengan mengunakan  Definisi (\ref{definisiinvers}), akan ditunjukkan 
\begin{eqnarray*}
X_{n} \times (X_{n})^{-1} = (X_{n})^{-1} \times X_{n} = I.
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa:\\
$X_{n} \times (X_{n})^{-1} =$
\begin{eqnarray*}
 \scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 & a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a & a & a &a \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a &  \cdots  & a & a & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a & a &  \cdots  & a & a & a &a \\
\ a & a & a & a & \cdots & a & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\ a & a & a & a & \cdots & a & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\ a & a & a & a & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & a & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]}
\times
 \scalemath{0.45}{\left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 &  a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a^{-1}  &  -a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a^{-1} & -a^{-1}  &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a^{-1}  & -a^{-1} & 0 &  0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a^{-1} &  \cdots  & -a^{-1}  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & -a^{-1} & \cdots & a^{-1} & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\ 0 & 0 & -a^{-1} & a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & a^{-1} & a^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ a^{-1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{array}\right] }
= \scalemath{0.5}{ \left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 1 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 1 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 1 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 1\\
\end{array}\right]} = I, \ dan
\end{eqnarray*}
 $(X_{n})^{-1} \times X_{n} = $
\begin{eqnarray*}
\scalemath{0.45}{\left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 &  a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a^{-1}  &  -a^{-1} \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a^{-1} & -a^{-1}  &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a^{-1}  & -a^{-1} & 0 &  0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a^{-1} &  \cdots  & -a^{-1}  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^{-1} & -a^{-1} &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & 0 & 0 & -a^{-1} & \cdots & a^{-1} & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\ 0 & 0 & -a^{-1} & a^{-1} & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ 0 & a^{-1} & a^{-1} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ -a^{-1} & a^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 \\
\ a^{-1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0  & 0 & 0 &  0 
\end{array}\right]}
\times
\scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 0 & a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & a & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & a & a & a &a \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & a &  \cdots  & a & a & a &a \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a & a &  \cdots  & a & a & a &a \\
\ a & a & a & a & \cdots & a & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\ a & a & a & a & \cdots & a & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots  & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots & \vdots  & \vdots & \ddots &  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\ a & a & a & a & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & a & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\
\ a & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]}
=  \scalemath{0.5}{\left[ \begin{array}{cccccccccccccc}
\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 1 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 0 \\
\  \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots  \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 1 & 0 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 1 &0 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 &  \cdots  & 0 & 0 &0 & 1\\
\end{array}\right]} = I.
\end{eqnarray*}
Dengan demikian, terbukti invers dari matriks \textit{centrosymmetric} bentuk khusus $X_{n}$ adalah $(X_{n})^{-1}.$ 
\item[b.]Dengan menggunakan induksi matematika, akan ditunjukkan agar $\lambda$ menjadi nilai eigen dari matriks $X_{n}$, maka polinomial karakteristiknya haruslah sama dengan $0$, yaitu 
\begin{eqnarray*}
 (\lambda - a)^{\frac{n}{2}} (\lambda + a)^{\frac{n}{2}} &=& 0.
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa:\\
misalkan $P(n) : (\lambda - a)^{\frac{n}{2}} (\lambda + a)^{\frac{n}{2}} = 0$
\begin{itemize} 
 \item[a.]Langkah Basis\\
 Akan ditunjukkan bahwa P(4) bernilai benar.\\
Untuk $n=4$, maka $P(4): (\lambda - a)^{2} (\lambda + a)^{2} = 0$.\\ Pernyataan benar untuk $n=4$, karena 
\begin{eqnarray*}
det(\lambda I - X_{4}) &=& 0\\
det\left(\lambda \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & a\\
0 & 0 & a & a\\
a & a & 0 & 0\\
a & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \right) &=& 0\\
det \left(\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 & -a\\
0 & \lambda & -a & -a\\
-a & -a & \lambda & 0\\
-a & 0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix} \right) &=& 0\\
\lambda^{4} -2a^{2} \lambda^2 + a^{4} &=&0\\
(\lambda - a)^2 (\lambda + a)^2 &=& 0
\end{eqnarray*}
Dengan demikian, $P(n)$ benar untuk $n=4$.
\item[b.]Langkah Induksi\\
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat genap $n=k \ge 4$, jika $P(k)$ bernilai benar, maka $P(k+2)$ juga bernilai benar.\\
Asumsikan bahwa $P(k)$ bernilai benar untuk sebarang bilangan bulat genap positif $n=k \ge 4$, yaitu
\begin{eqnarray*}
P(k): (\lambda - a)^{\frac{k}{2}} (\lambda + a)^{\frac{k}{2}} = 0.
\end{eqnarray*}
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk $n=k+2$, maka $P(k+2)$ juga bernilai benar, yaitu $P(k+2): (\lambda - a)^{\frac{k+2}{2}} (\lambda + a)^{\frac{k+2}{2}} = 0$. Dengan asumsi $P(k)$ benar, maka ruas kiri dari $P(k+2)$ diperoleh
\begin{eqnarray*}
\scalemath{0.8}{(\lambda - a)^{\frac{k+2}{2}} (\lambda + a)^{\frac{k+2}{2}} } &=&  \scalemath{0.8}{ 
\underbrace{\left\langle (\lambda - a)^{\frac{k}{2}}\right\rangle \left\langle (\lambda + a)^{\frac{k}{2}}\right\rangle}_{= 0} (\lambda^{2} - a^{2})} \\&=&0,
\end{eqnarray*}
karena kedua ruas dari $P(k+2)$ sama, maka $P(k+2)$ bernilai benar.
Dengan demikian, karena langkah basis dan langkah induksi terpenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa:
\begin{eqnarray*}
 (\lambda - a)^{\frac{n}{2}} (\lambda + a)^{\frac{n}{2}} &=& 0.
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}

\section{Kesimpulan}
Pada makalah ini, telah diperoleh bentuk umum invers dan nilai eigen dari matriks \textit{centrosymmetric} dengan bentuk khusus ordo $n \times n$, $ n \ge 3$ dalam dua kasus, yaitu kasus $n=2m+1$ dan kasus $n=2m$.


\section{Ucapan Terima kasih}
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Monika Rianti Helmi, Bapak Muhafzan, dan Ibu Ferra Yanuar yang telah memberikan masukan dan saran terhadap penulisan makalah ini, sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

\begin{thebibliography}{0}
\bibitem{1} Anton, H., Rorres, C., 2013, \textit{Aljabar Linear Elementer Edisi Versi Aplikasi}, Edisi Ke-11, Erlangga, Jakarta

\bibitem{2} Bronson, R., Gabriel B. C., 2007, \textit{Linear Algebra An Introduction}, Edisi ke-2, Elsevier's Science and Technology Rights Departemen in Oxford, UK

\bibitem{3} Datta, L., Morgera, S.D., 1989, On the reducibility of centrosymmetric matrices-applications in engineering problems, \textit{Circuits System Signal Process}, \textbf{8}

\bibitem{4} Gower, J. C., 2006, An application of the modified leverrier faddeev algorithm to the spectral decomposition of symmetric block-circulant matrices, \textit{Computational Statistics and Data analysis}, \textbf{50}: 89-106

\bibitem{5} Hanna, M. T., Mansoori, S.A., 2003, A centrosymmetric matrix based technique for the interpolation of hermitian signal, \textit{ Numerical Linear Algebra with Appl}, \textbf{10}: 701-720

\bibitem{6} Hendricks, E., Jannerup, O., S$\oslash$rensen, P. H., 2008, \textit{Linear Systems Control}, Springer, Berlin

\bibitem{7} Rosen, K. H., 2007, \textit{Discrete Mathematics and Its Application}, Edisi ke-7, McGraw-Hill, Singapore

\bibitem{8}  Teschl, G., 2014, \textit{Mathematical Methods in Quantum Mechanics: With Application to Schr$\ddot{o}$dinger Operators}, American Mathematical Society

\bibitem{9} Tian, Z., Gu, C., 2007, The iterative methods for centrosymmetric matrices, \textit{Applied Mathematics and Computation}, \textbf{187}: 902-911


\end{thebibliography}
\end{document}
