\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND \usepackage{enumitem} \hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan} %Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan \begin{document} \markboth{Dethan, Y. M., Pasangka, I. G} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk. {Fixed Point Theorem for $(\phi,F,\omega)$-Contraction} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%% % \catchline{}{}{}{}{} % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{FIXED POINT THEOREM FOR MULTIVALUED $(\phi,F,\omega)$-CONTRACTION MAPPING ON COMPLETE METRIC SPACE} \author{YOVITA MARGERITA DETHAN$^{a}$\footnote{penulis korespondensi}, IRVANDI GORBY PASANGKA$^{b}$} \address{$^{a,b}$ Universitas Nusa Cendana.\\ email : \email{yovitadthn@gmail.com, irvandi.p@staf.undana.ac.id.}} \maketitle \setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND \begin{abstract} \begin{center} Diterima ..... \quad Direvisi ..... \quad Dipublikasikan ..... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja \end{center} \bigskip \textbf{Abstrak}. %Dalam bahasa Indonesia Dalam penelitan ini, didefinisikan suatu pemetaan baru yang diberi nama pemetaan kontraksi-$(\phi, F,\omega)$ bernilai banyak. Pemetaan ini merupakan hasil modifikasi dari pemetaan kontraksi-$(\phi,F)$ yang diberikan oleh Wardowski. Selanjutnya dibuktikan eksistensi titik tetap dari pemetaan kontraksi-$(\phi, F,\omega)$ bernilai banyak, dan diperoleh beberapa akibat dari teorema tersebut. \bigskip \textbf{Abstract}. % Dalam bahasa Inggris \textit{In this research, a new mapping is defined which is called the multivalued $(\phi, F,\omega)$-contraction mapping. This mapping is a modification of the $(\phi,F)$-contraction mapping given by Wardowski. Next, we prove the existence of a fixed point of the multivalued $(\phi, F,\omega)$-contraction mapping, and obtain several consequences from the theorem.} \end{abstract} \keywords{Jarak-$\omega$, Kontraksi-$(\phi, F,\omega)$, Titik tetap} \section{Pendahuluan} Teori titik tetap merupakan salah satu topik penting dalam matematika analisis karena aplikasinya yang cukup luas, di antaranya pada persamaan diferensial dan teori optimasi. Dikarenakan aplikasinya yang luas, teori titik tetap menjadi salah satu topik penelitian dalam bidang ilmu matematika yang hingga kini terus berkembang dan menjadi topik yang menarik untuk diteliti. Prinsip Kontraksi Banach yang ditemukan pada tahun 1922 menjadi awal mula munculnya teori titik tetap. Banyak peneliti dari berbagai negara telah mengembangkan teori titik tetap dengan menggeneralisasi teorema tersebut [1-16]. Di antaranya, pada 1996, Kada, Suzuki, dan Takahashi yang menggunakan konsep jarak-$\omega$ untuk membuktikan eksistensi titik tetap dalam ruang metrik \cite{1}. Pada 2014, Piri dan Kumam yang mengembangkan teori titik tetap dalam jenis pemetaan baru yang dinamakan kontraksi-$F$ \cite{2}. Dilanjutkan oleh Wardowski yang mengembangkan teorema titik tetap dan dihasilkan jenis pemetaan baru yang dikenal dengan Kontraksi-$(\phi,F)$ \cite{3}. Selanjutnya pada tahun 2021, Piri, Kumam, dan Zarghami kembali meneliti teorema titik tetap di ruang metrik asimetris yang diperumum \cite{4}. Pada tahun yang sama, Ge dan Yang turut meneliti teorema titik tetap pada ruang metrik yang diperumum \cite{5}. Pemetaan kontraksi-$(\phi,F)$ yang baru saja perkenalkan oleh Wardowski membuat beberapa peneliti tertarik untuk mengembangkannya. Diantaranya, Rossafi dan Kari yang mengembangkan teorema titik tetap di ruang metrik-b rectangular yang kemudian menghasilkan aplikasi pada penyelesaian persamaan integral non-linear \cite{6}. Dengan bermunculannya jenis pemetaan baru pada teori titik tetap, Pasangka juga turut menganalisis teori titik tetap [7,8]. Salah satu penelitianya, menggunakan jarak-$\omega$ dalam ruang metrik lengkap untuk membuktikan eksistensi titik tetap \cite{8}. Dalam penelitiannya, Pasangka menggunakan pemetaan tipe Hardy-Roger dan memperoleh beberapa akibat dengan mengganti metrik dengan jarak-$\omega$. Oleh karena itu, dalam penelitan ini dibuktikan eksistensi titik tetap dengan menggunakan konsep jarak-$\omega$ pada ruang metrik lengkap dengan memodifikasi dan mendefinisikan ulang pemetaan kontraksi-$(\phi,F)$ dengan mengaitkannya dengan jarak-$\omega$. Dengan demikian, diharapkan dapat menghasilkan aplikasi baru yang dapat diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan matematika lainnya. \section{Landasan Teori} Definisi dari jarak-$\omega$ oleh Kada, Suzuki, dan Takahashi \cite{5} adalah sebagai \begin{definition} \textbf{\cite{5}} Misalkan terdapat ruang metrik $(X,d)$ maka fungsi $p:X \times X \rightarrow [0,\infty)$ disebut jarak-$\omega$ pada $X$ jika memenuhi: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item untuk setiap $z_0,z_1,z_2 \in X$ berlaku $p(z_0,z_2 ) \le p(z_0,z_1) + p(z_1,z_2)$, \item untuk setiap $z_0 \in X$, pemetaan $p(z_0, \cdot) : X \rightarrow [0,\infty)$ fungsi kontinu bawah, \item untuk setiap $\varepsilon>0$ terdapat $\delta>0$ sehingga $\forall z_0,z_1,z_2 \in X$ dengan $p(z_0,z_1 ) \le \delta$ dan $p(z_0,z_2 ) \le \delta$ berakibat $d(z_1,z_2 ) \le \varepsilon$. \end{enumerate} \end{definition} Berikut sifat-sifat terkait jarak-$\omega$ yang akan digunakan. \begin{lemma} \textbf{\cite{5}} Diberikan $(X,d)$ ruang metrik dan $p$ jarak-$\omega$ pada $X$. Jika $\{t_n \},\{u_n\}$ barisan di $X$ dan $\{\alpha_n\},\{\beta_n\} \subseteq [0,\infty)$ konvergen ke $0$, serta $z_0,z_1,z_2 \in X$ maka berlaku: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Jika $p(t_n,z_1 ) \le \alpha_n$ dan $p(t_n,z_2) \le \beta_n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ maka $z_1=z_2$, lebih lanjut, jika $p(z_0,z_1) = 0$ dan $p(z_0,z_2) = 0$ maka $z_1 = z_2$. \item Jika $p(t_n,u_n) \le \alpha_n$ dan $p(t_n,z_2 ) \le \beta_n$ untuk setiap $ n \in \mathbb{N}$ maka $\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = z_2$. \item Jika $p\{t_n, t_m\} \le \alpha_n$ untuk setiap $n,m \in\mathbb{N}$ dengan $ n < m$ maka $\{t_n\}$ barisan Cauchy. \item Jika $p \{y,t_n\} \le \alpha_n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ maka $\{t_n\}$ barisan Cauchy. \end{enumerate} \end{lemma} Untuk selanjutnya, dinotasikan $D_p (x, T(z)) = \inf\{p(x,y): y\in T(z)\}$, $\mathfrak{F}$ merupakan notasi untuk koleksi dari fungsi $F: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ dan $\Phi$ adalah koleksi dari fungsi $\phi:[0,\infty) \rightarrow [0,\infty)$ yang memenuhi \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item $F$ naik monoton; \item Untuk setiap barisan bilangan positif $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ berlaku \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} x_n = 0, \ \text{jika dan hanya jika} \lim_{n \rightarrow \infty} F(x_n )= -\infty ; \end{equation*} \item $\lim \inf_{s \rightarrow \alpha^+} \phi(s) >0$ untuk setiap $\alpha>0$; \item Terdapat $ k \in (0,1)$ sehingga $\lim_{x \rightarrow 0^+} x^k F(x) = 0$. \end{enumerate} \section{Pembahasan} Berikut diberikan definisi kontraksi-$(\phi,F, \omega)$ bernilai banyak yang akan dibuktikan eksistensi titik tetapnya. \begin{definition} Misalkan $(X,d)$ suatu ruang metrik. Pemetaan $T:X \rightarrow 2^X \{\emptyset\}$ disebut pemetaan kontraksi-$(\phi, F,\omega)$ bernilai banyak jika terdapat $p$ merupakan jarak-$\omega$, $F \in \mathfrak{F}$ dan $\phi \in \Phi$ sehingga untuk setiap $x, y \in X$ dan $u \in Tx$ terdapat $v \in Ty$ dengan $p(u,v) >0$ dan berlaku \begin{eqnarray} F[p(u,v)] + \phi (p(x,y)) \le F[p(x,y)] \end{eqnarray} \end{definition} Selanjutnya, akan dibuktikan eksistensi titik tetap pada pemetaan kontraksi-$(\phi,F,\omega)$ bernilai banyak. \begin{theorem} Misalkan $(X,d)$ suatu ruang metrik lengkap. Jika pemetaan $T: X \rightarrow 2^X \{\emptyset\}$ suatu kontraksi-$(\phi, F, \omega)$ bernilai banyak dan memenuhi untuk setiap $z \in X$ dengan $z \notin T(z)$ berlaku \begin{eqnarray} \inf\{p(u,z) +D_p (u,T(u)): u \in X\} >0 \end{eqnarray} Maka $T$ memiliki titik tetap. \end{theorem} \begin{proof} Diambil sebarang $z_0 \in X$, dan $z_1 \in Tz_0$, berdasarkan (3.1) terdapat $z_2 \in Tz_1$ dengan $p(z_1, z_2) > 0$ sehingga $F[p(z_1, z_2)] + \phi (p(z_0, z_1)) \le F(p(z_0, z_1))$. Proses dilanjutkan sehingga diperoleh barisan $\{z_n\}$ dimana untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $p(z_n, z_{n+1}) >0$ \item $z_n \in T(z_{n-1})$ \item $F[p(z_n, z_{n+1})] + \phi (p(z_{n-1}, z_n)) \le F(p(z_{n-1}, z_n))$ \end{enumerate} Berdasarkan (c) diperoleh, \begin{eqnarray*} F(p(z_n, z_{n+1})) \le F[p(z_n, z_{n+1})] + \phi (p(z_{n-1}, z_n)) \le F \big(p(z_{n-1}, z_n)\big) \end{eqnarray*} Akibatnya \begin{eqnarray} F \big(p(z_n, z_{n+1})\big) < F\big(p(z_{n-1},z_n)\big) \end{eqnarray} Lebih lanjut, berdasarkan (c) diperoleh \begin{eqnarray} F\big(d(z_n, z_{n+1})\big) &\le& F \big(p(z_{n-1},z_n)\big) - \phi \big(p(z_{n-1}, z_n)\big)\\ \nonumber &\le& F \big(p(z_{n-2}, z_{n-1}\big) - \phi\big(p(z_{n-1}, z_n)\big) - \phi \big(p(z_{n-2}, z_{n-1})\big)\\ \nonumber &\le& ...\\ \nonumber &\le& F\big(p(z_0, z_1)\big) - \sum_{i=0}^{n} \phi \big(p(z_i, z_{i+1})\big) \end{eqnarray} Karena $\lim \inf_{n \rightarrow \infty} \phi \big(p(z_{n-1}, z_n)\big) >0$, maka berdasarkan definisi limit, terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ dan $A>0$ sedemikian sehingga untuk setiap $ n \ge n_0$, dan $\phi\big(p(z_{n-1}, z_n)\big) > A$. Akibatnya untuk setiap $n \ge n_0$ berlaku \begin{eqnarray*} F \big(p(z_n, z_{n+1})\big) &\le& F\big(p(z_0, z_1)\big) - \sum_{i=0}^{n_0} \phi \big(p(z_i, z_{i+1})\big) - \sum_{i=n_0 + 1}^{n} \phi \big(p(z_i,z_{i+1})\big)\\ &\le& F \big(p(z_0, z_1)\big) - \sum_{i=n_0 + 1}^{n} A\\ &=& F \big(p(z_0, z_1)\big) - (n-n_0) A \end{eqnarray*} Dengan mengambil limit $n \rightarrow \infty$ pada pertidaksamaan di atas diperoleh \begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} F\big(p(z_n, z_{n+1})\big) \le \lim_{n \rightarrow \infty} \big[F \big(p(z_0, z_1)\big) - (n-n_0) A \big] \end{eqnarray} artinya, $\lim_{n \rightarrow \infty} F\big(p(z_n, z_{n+1})\big) = - \infty$. Karena $F \in \mathfrak{F}$ maka diperoleh \begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} p(z_n , z_{n+1}) = 0 \end{eqnarray} Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ adalah barisan Cauchy. Berdasarkan definisi $\mathfrak{F}$ bagian $(iv)$, terdapat $k \in (0,1)$ sedemikian sehingga \begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} \big[p(z_n, z_{n+1})\big]^k F\big(p(z_n, z_{n+1})\big) = 0 \end{eqnarray} Selanjutnya, karena \begin{eqnarray*} F \big[p(z_n, z_{n+1})\big] \le F\big[p(z_0, z_1)\big] - (n-n_0)A, \end{eqnarray*} maka diperoleh \begin{eqnarray*} \big[p(z_n, z_{n+1})\big]^k F \big[p(z_n, z_{n+1})\big] \le \big[p(z_n, z_{n+1})\big]^k F\big[p(z_0, z_1)\big]\\ - \big[(n-n_0) A\big] \big[p(z_n, z_{n+1})\big]^k \end{eqnarray*} akibatnya, \begin{eqnarray*} \big[p(z_n, z_{n+1})\big]^k F \big[p(z_n, z_{n+1})\big] &-& \big[p(z_n, z_{n+1})\big]^k F\big[p(z_0, z_1)\big]\\ &\le &- \big[(n-n_0) A\big] \big[p(z_n, z_{n+1})\big]^k \le 0 \end{eqnarray*} Dengan mengambil limit $ n \rightarrow \infty$ pada pertidaksamaan di atas, diperoleh \begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} p(z_n, z_{n+1})^k (n-n_0) A = 0 \end{eqnarray*} Karena $\lim_{n \rightarrow \infty} p(z_n, z_{n+1})^k (n-n_0) A = 0 $, maka terdapat $h \in \mathbb{N}$, sedemikian sehingga untuk setiap $n \ge h$ berlaku \begin{eqnarray} p(z_n, z_{n+1}) \le \frac{1}{\big[(n-n_0)A\big]^{\frac{1}{k}}} \end{eqnarray} Selanjutnya, akan ditunjukkan $\lim_{n,m \rightarrow \infty} p(z_n, z_m) = 0$.\\ Diperhatikan bahwa untuk setiap $m,n \in \mathbb{N}$ dengan $m>n\ge \max\{n_0,n_1\}$ diperoleh \begin{eqnarray*} p(z_n,z_m) &\le& p(z_{n}, z_{n+1}) + (z_{n+1}, z_{n+2}) + (z_{n+2}, z_{n+3}) + (z_{n+3}, z_{n+4})\\ & &+...+ p(z_{m-1},z_m)\\ &=& \sum_{i=n}^{i=m-1} p(z_i, z_{i+1}) \\ &\le& \sum_{i=n}^{i=\infty} p(z_i, z_{i+1})\\ &\le& \sum_{i=n}^{i = \infty} \frac{1}{\big[(i-n_0) A \big]^{\frac{1}{k}}} \end{eqnarray*} Karena $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=n}^{i = \infty} \frac{1}{\big[(i-n_0) A \big]^{\frac{1}{k}}} = 0$ maka berdasarkan Lemma 2.2 diperoleh $\{z_n\}$ barisan Cauchy.\\ Lebih lanjut, \begin{eqnarray*} \lim_{n, m \rightarrow \infty} p(z_n, z_m) = 0 \end{eqnarray*} Berdasarkan kelengkapan dari $(X,d)$, maka terdapat $u \in X$ sedemikian sehingga, \begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow} d(z_n, u) = 0 \end{eqnarray*} Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa $u \in Tu$. \\ Diambil sebarang $k \in \mathbb{N}$, karena $p(z_k, \cdot)$ semikontinu bawah maka \begin{eqnarray*} p(z_n, u) \le \lim_{m \rightarrow \infty} \inf p(z_n, z_m) \le \sum_{i=n}^{i = \infty} \frac{1}{\big[(i-n_0) A\big]^{\frac{1}{k}}} \end{eqnarray*} Diandaikan $u \notin T(u)$. Berdasarkan (3.2) diperoleh \begin{eqnarray*} 0 &<& \inf\{p(z, u) + D_p (z,Tz) : z \in X \}\\ &\le& \inf\{p(z_n, u) + D_p (z_n,Tz_n) : n \in \mathbb{N} \}\\ &\le& \inf\{p(z_n, u) + D_p (z_n,Tz_{n+1}) : n \in \mathbb{N} \}\\ &\le& \inf \{ \sum_{i=n }^{i= \infty} \frac{1}{[(i-n_0)A]^ \frac{1}{k}} + \frac{1}{[(n-n_0)A]^\frac{1}{k}}: n \in \mathbb{N}\}\\ &\le& 2 \inf \{ \sum_{i=n }^{i= \infty} \frac{1}{[(i-n_0)A]^ \frac{1}{k}} : n \in \mathbb{N} \}\\ &=& 0 \end{eqnarray*} Hal ini kontradiksi. Akibatnya, haruslah $u \in Tu$. \end{proof} \begin{corollary} Misalkan $(X,d)$ suatu ruang metrik lengkap. Jika pemetaan $ T: X \rightarrow X$ memenuhi: \begin{enumerate}[label= \alph*] \item terdapat $p$ merupakan jarak-$\omega$, $F \in \mathfrak{F}$ dan $\phi \in \Phi$ sehingga untuk setiap $x,y \in X$ dan $u \in Tx$ terdapat $v \in Ty$ dengan $p(u,v) > 0$ dan berlaku $F \big[p(u,v)\big] + \phi \big(p(x,y)\big) \le F \big[p(x,y)\big]$ \item untuk setiap $z \in X$ dengan $p(z, Tz) > 0$ berlaku $\inf \{p(u,z) + p(u, Tu) : u \in X\} > 0$, \end{enumerate} maka $T$ memiliki titik tetap. \end{corollary} \begin{corollary} Misalkan $(X,d)$ ruang metrik lengkap dan misalkan $T$ adalah suatu pemetaan dari $X$ ke $X$. Jika terdapat $p$ jarak-$\omega$ dan memenuhi \begin{enumerate}[label= \alph*] \item untuk setiap $x,y \in X$ berlaku \begin{eqnarray*} p(Tx, Ty) > 0 \Rightarrow p(Tx, Ty) \le e^{\frac{-1}{1+ p(x,y)} p(x,y)}, \end{eqnarray*} \item untuk setiap $z \in X$ dengan $p(z,Tz) > 0$ berlaku $\inf \{p(u,z) + p(u,T(u)): u \in X\} > $ \end{enumerate} maka $T$ memiliki titik tetap. \end{corollary} \begin{proof} Jika $p(Tx,Ty) > 0$ maka dapat dikenakan logaritma natural pada kedua sisi dan diperoleh \begin{eqnarray*} \ln \big(p(Tx, Ty)\big) &\le& \ln \bigg[e^{\frac{-1}{1+p(x,y)}} p(x,y)\bigg]\\ &=& \frac{-1}{1 + p(x,y)} + \ln \big[p(x,y)\big] \end{eqnarray*} Sehingga, \begin{eqnarray*} F \big[p(Tx, Ty)\big] + \phi (p(x,y)) \le F \big(p(x,y)\big) \end{eqnarray*} dengan $F(t) = \ln (t)$ dan $\phi(t) = \frac{1}{1+t}$ \end{proof} \section{Kesimpulan} Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh suatu teorema yang menyatakan bahwa pemetaan kontraksi-$(\phi,F, \omega)$ bernilai banyak memiliki titik tetap. Eksistensi titik tetap ini dijamin dengan menambahkan suatu syarat yaitu untuk setiap $z \in X$ dengan $z \notin T(z)$ berlaku $\inf\{p(u,z) +D_p (u,T(u)): u \in X\} >0$. \begin{thebibliography}{0} \bibitem{1} Kada, O., Suzuki, T., Takahashi, W., 1996, Non Convex Minimization Theorems and A Fixed Point Theorems in Complete Metric Spaces, \emph{Mathematica Japonica}, Vol. \textbf{44}: 381 -- 391 \bibitem{2} Piri, H., Kumam, P., 2014, Some fixed point theorems concerning $F$-contraction in complete metric spaces, \emph{Fixed Point Theory and Applications}, Vol. \textbf{2014}(1): 21 \bibitem{3} Wardowski, D., 2017, Solving existence problems via $F$-contractions, \emph{Proceedings of the American Mathematical Society}, Vol. \textbf{146}(4): 1585 -- 1598 \bibitem{4} Piri, H., Rahrovi, S., Zarghami, R., 2021, Some fixed point theorems on generalized asymmetric metric spaces, \emph{ Asian-European Journal of Mathematics}, Vol. \textbf{14}(07): 2150109 \bibitem{5} Ge, X., Yang, S., 2021, Some fixed point results on generalized metric spaces. \emph{AIMS Mathematics}, Vol. \textbf{6}(2): 1769 -- 1780 \bibitem{6} Rossafi, M., Kari, A, 2023, New fixed point theorems for $(\phi,F)$-contraction on rectangular b-metric spaces, \emph{Afrika Matematika}, Vol. \textbf{34}(3): 34 \bibitem{7} Pasangka, I. G., 2021, Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraksi-$\psi$-$\omega$ Bernilai Banyak pada Ruang Metrik Lengkap-$\alpha$, \emph{Jurnal Sains Dasar}, Vol. \textbf{9}(2): 50 -- 53 \bibitem{8} Pasangka, I. G., 2021, Teorema Titik Tetap Berkaitan dengan Pemetaan Kontraksi-$F$ dan Jarak-$\omega$ pada Ruang Metrik Lengkap, \emph{BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika Dan Terapan}, Vol. \textbf{15}(2): 355 -- 360 \bibitem{9} Rossafi, M., Kari, A., Park, C., Lee, J. R., 2022, New fixed point for $ \theta-\phi$-contraction on b -metric spaces, \emph{Journal of Mathematics and Computer Science}, Vol. \textbf{29}(01): 12 -- 27 \bibitem{10} Asim, M., Mujahid, S., Uddin, I., 2022, Fixed point theorems for $F$- contraction mapping in complete rectangular $M$-metric space, \emph{Appl Gen Topol}, Vol. \textbf{23}(2): 363 -- 376 \bibitem{11} Berinde, V., Păcurar, M., 2021. Existence and Approximation of Fixed Points of Enriched Contractions and Enriched $\phi$-Contractions, \emph{Symmetry}, Vol. \textbf{13}(3): 498 \bibitem{12} Kari, A., Al-Rawashdeh, A., 2023, New Fixed Point Theorems for $\theta$-$\omega$-Contraction on $\lambda$,$\mu$-Generalized Metric Spaces, \emph{Journal of Function Spaces}, Vol. \textbf{2023}: 1 -- 14 \bibitem{13} Karlsson, A., 2024, A Metric Fixed Point Theorem and Some of Its Applications, \emph{Geometric and Functional Analysis}, Vol. \textbf{34}(2): 486 -- 511 \bibitem{14} Khantwal, D., Aneja, S., GaiRola, U. C., 2021, A fixed point theorem for $( \phi, \psi)$ -convex contraction in metric spaces, \emph{Advances in the Theory of Nonlinear Analysis and Its Application}, Vol. \textbf{5}(2): 240 -- 245 \bibitem{15} Nazam, M., Park, C., Arshad, M., 2021, Fixed point problems for generalized contractions with applications, \emph{Advances in Difference Equations}, Vol. \textbf{2021}(1): 247 \bibitem{16} Yaseen, M. T., Ali, A. H., Al-moneef, A. A., Bazighifan, O., Nofal, T. A., Ghanim, F., 2022, New Results of Fixed-Point Theorems in Complete Metric Spaces, \emph{Mathematical Problems in Engineering}, Vol. \textbf{2022}: 1 -- 5 \end{thebibliography} \end{document}