\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}
	
	\markboth{Berlian Setiawaty, Mutiara Maharani, Ruhiyat dan Windiani Erliana.} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
	{Loss Elimination Ratio dari Total Kerugian Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan 
		Ordinary Deductible 
	}
	
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
	%
	\catchline{}{}{}{}{}
	%
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\title{ {\itshape LOSS ELIMINATION RATIO} DARI TOTAL KERUGIAN ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN {\itshape ORDINARY DEDUCTIBLE}
}

\author{BERLIAN SETIAWATY$^{a}$\footnote{penulis korespondensi}, MUTIARA MAHARANI$^{b}$, RUHIYAT$^{c}$, WINDIANI ERLIANA$^{d}$\\}

\address{$^{a,b,c,d}$ Departemen Matematika, IPB University\\
email : \email{berlianse@apps.ipb.ac.id, mutiara-dee98@apps.ipb.ac.id, ruhiyat-mat@apps.ipb.ac.id, windi@apps.ipb.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}

\begin{center}
Diterima ..... \quad Direvisi ..... \quad Dipublikasikan ..... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}. 
Penelitian ini membahas total kerugian dari asuransi kendaraan bermotor jika diterapkan {\itshape ordinary deductible}. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data Motorcycle Insurance dari {\itshape package}  insuranceData R. Pemodelan total kerugian dilakukan dengan memodelkan banyak klaim menggunakan sebaran binomial negatif dan besar klaim menggunakan sebaran {\itshape beta-prime}. Sebaran total kerugian merupakan sebaran {\itshape compound} dengan sebaran primernya binomial negatif dan sebaran sekundernya {\itshape beta-prime }. Sebaran {\itshape compound} ini sulit diperoleh bentuk analitiknya sehingga digunakan simulasi Monte Carlo. Dengan simulasi Monte Carlo dapat dihitung nilai harapan kerugian agregat tanpa {\itshape ordinary deductible} maupun dengan {\itshape ordinary deductible},  sehingga diperoleh {\itshape loss elimination ratio} dari penggunaan {\itshape ordinary deductible}. Dari perhi\-tungan yang dilakukan dapat disimpulkan semakin besar nilai {\itshape ordinary deductible}, semakin meningkat pula {\itshape loss elimination ratio}-nya .
\bigskip

\textbf{Abstract}. 
\textit{ This research discusses the total loss from motor vehicle insurance if the ordinary deductible is applied. The data used in this research is Motorcycle Insurance data in the insuranceData  R package. Total loss modeling was done by modeling the frequency of claims using a negative binomial distribution and the severity of claims using a beta-prime distribution. The total loss distribution is a compound distribution, with the primary distribution being negative binomial and the secondary distribution being beta-prime. The distribution of this compound is difficult to obtain in analytical form, so the Monte Carlo simulation method was used. With the Monte Carlo simulation, the expected value of aggregate losses without ordinary deductible or with ordinary deductible can be calculated to obtain a loss elimination ratio. From the calculations, it can be concluded that the greater the deductible value, the greater the loss elimination ratio. 
}
\end{abstract}

\keywords{{\itshape loss elimination ratio}, {\itshape ordinary deductible}, simulasi Monte Carlo, total kerugian.}

\section{Pendahuluan}

Asuransi adalah bentuk perjanjian antara kedua belah pihak, yaitu pihak tertanggung dan penanggung asuransi, di mana pihak tertanggung membayar premi kepada penanggung asuransi untuk mendapatkan bentuk ganti rugi atas risiko finansial yang dapat terjadi secara tak terduga. Pihak asuransi akan memberikan jaminan terhadap risiko atau kerusakan kepada pihak tertanggung (nasabah) untuk memenuhi hak pemegang polis sesuai yang tertera dalam polis yang disebut klaim. Pihak tertanggung melakukan suatu atau serangkaian pembayaran yang ditetapkan sebagai biaya pengalihan risiko dari pemegang polis kepada penyedia asuransi yang disebut premi. Besarnya premi asuransi untuk masing-masing tertanggung dapat berbeda. Hal ini ditentukan oleh beberapa faktor seperti: besarnya uang pertanggungan, jangka waktu asuransi, kebijakan perusahaan asuransi, dan lain-lain.

Untuk merancang polis asuransi perusahan harus memprediksi total kerugian yang dialami oleh pemegang polis yang nantinya harus ditanggung oleh perusahaan asuransi dalam suatu periode waktu tertentu. Untuk memodelkan total kerugian menggunakan {\itshape collective risk model}, menurut \cite{Klug} diperlukan informasi tentang banyak dan besar klaim. Banyak klaim dimodelkan oleh peubah acak diskret dan besar klaim dimodelkan oleh peubah acak kontinu tak negatif. Sebaran total kerugian merupakan sebaran {\itshape compound} dari sebaran banyak klaim dan sebaran besar klaim.

Untuk mengurangi total kerugian yang harus ditanggung oleh perusahaan asu- ransi, bisa diterapkan beberapa strategi. Salah satunya adalah menerapkan kebijakan {\itshape ordinary deductible}.  Menurut \cite{Gray}, {\itshape ordinary deductible} atau biasa juga disebut dengan {\itshape deductible} atau {\itshape own risk} adalah jumlah tertentu yang harus dibayarkan oleh pemegang polis jika terjadi klaim. Tujuan penggunaan {\itshape ordinary deductible} adalah untuk mencegah klaim yang ukurannya kecil tapi sering terjadi, sehingga total kerugiannya bisa menjadi besar. Kebijakan {\itshape ordinary deductible} akan mendorong pemegang polis untuk lebih berhati-hati agar tidak mengalami kerugian karena mereka harus ikut menanggung bagian dari kerugian tersebut. {\itshape Ordinary deductible} sering digunakan pada asuransi kendaraan bermotor.

Penetapan {\itshape ordinary deductible}  yang terlalu rendah akan memberatkan perusahaan asuransi, di lain pihak {\itshape ordinary deductible} yang terlalu tinggi tidak menarik bagi calon peserta asuransi. Pada penelitian ini akan diamati perilaku {\itshape loss elimination ratio} (LER) yang disebabkan oleh penerapan {\itshape ordinary deductible}. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data Motorcycle Insurance yang merupakan salah satu data yang tersedia pada {\itshape package} insuranceData R. 

Data dari {\itshape package} insuranceData R ini bersifat {\itshape open} dan banyak dipakai untuk berbagai penelitian, di antaranya oleh \cite{Poufinas} dan \cite{Ohlsson}. Penelitian \cite{Poufinas} menggunakan berbagai algoritma {\itshape machine learning} seperti {\itshape Support Vector Machines} (SVM), {\itshape Decision Trees}, {\itshape Random Forests}, dan {\itshape Boosting} untuk memprediksi klaim asuransi kendaraan bermotor. Penelitian ini menemukan bahwa variabel seperti penjualan mobil baru dan kondisi cuaca sangat berpengaruh dalam memprediksi klaim asu\-ransi. \cite{Ohlsson} dalam penelitiannya juga menggunakan data ini untuk menguji model regresi baru dalam masalah frekuensi dan keparahan klaim. Model seperti {\itshape Genera\-lized Linear Models} (GLM), {\itshape Generalized Linear Mixed Models} (GLMM), dan model campuran non-linear juga sering diuji menggunakan data ini.

Pada penelitian ini dianalisis kaitan antara penggunaan {\itshape deductible} dan kemampuannya mengurangi total kerugian yang dihitung dengan LER pada asuransi kendaraan bermotor. Studi tentang total kerugian telah dilakukan antara lain oleh \cite{Moh}, \cite{Klug}, dan \cite{Lee}. Mohamed {\itshape et al.} \cite{Moh} dalam artikelnya membahas cara mengaproksimasi sebaran total kerugian menggunakan simulasi. Klugman \cite{Klug} membahas aspek teoritis LER dari total kerugian jika dilakukan modifikasi {\itshape coverage} secara umum, sedangkan Gee dan Frees \cite{Lee} membahas hubungan antara LER total kerugian de\-ngan penggunaan {\itshape ordinary deductible} pada asuransi properti.

Untuk menghitung LER diperlukan sebaran dari total kerugian yang merupakan sebaran {\itshape compound}. Bentuk analitik sebaran ini biasanya tidak mudah diperoleh, oleh sebab itu dilakukan simulasi Monte Carlo yang idenya diperoleh dari \cite{Moh}.
Dari simulasi Monte Carlo diperoleh nilai harapan total kerugian tanpa {\itshape ordinary deductible} maupun dengan {\itshape ordinary deductible}. Dari kedua nilai harapan dapat dihitung LER.

\section{Landasan Teori}

\subsection{Sebaran binomial dan sebaran beta-prime}

Peubah acak $N$ menyebar binomial negatif dengan parameter $r, \beta > 0$, dilambangkan $N \sim NB(r, \beta )$, jika memiliki fungsi massa peluang

\begin{equation}
p_k = P(N=k) =  \frac{r(r+1) \cdots (r+k-1) \beta^k}{k! (1+ \beta)^{r+k}} , \quad k = 0,1,2, \ldots. \label{2.1} 
\end{equation}

Nilai harapan dan ragam dari sebaran binomial negatif menurut \cite{Schev} dinyatakan sebagai berikut.
\begin{eqnarray}
E[N] &=& r \beta \label{2.2} \\
Var(N) &=& r \beta (1 + \beta). \label{2.3}
\end{eqnarray}

Peubah acak $X$ menyebar {\itshape beta-prime} dengan parameter $\alpha, \beta >0$, dilambangkan $X \sim B'(\alpha, \beta)$ jika mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut \cite{Tulu}. 

\begin{equation}
f(x)=\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \cdot \frac{x^{\alpha-1}}{(1+x)^{\alpha + \beta}}, \quad x > 0. \label{2.4}
\end{equation}

Nilai harapan dan ragam dari sebaran {\itshape beta-prime} menurut \cite{Tulu} adalah
\begin{eqnarray}
E[X] &=& \frac{\alpha}{\beta - 1} \label{2.5} \\
Var(X) &=& \frac{\alpha (\alpha + \beta -1)}{(\beta-1)^2 (\beta-2)}. \label{2.6}
\end{eqnarray}


\subsection{Metode Maximum Likelihood}

Menurut \cite{Klug}, metode {\itshape maximum likelihood} adalah suatu metode statistik yang digunakan untuk menduga nilai parameter dari suatu sebaran berdasarkan data yang diamati. 
Misalkan $X_1,X_2,…,X_n$ adalah peubah acak saling bebas dan identik yang memiliki fungsi kepekatan peluang $f(x;\theta)$ dengan $\theta$ adalah parameter yang tidak diketahui dan akan diduga. Defi\-nisikan fungsi {\itshape likelihood} sebagai
\[
L(\theta ; x_1,x_2,…,x_n ) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta).
\]
dan fungsi {\itshape log-likelihood} sebagai 
\[
l(\theta ; x_1,x_2,…,x_n )= \log(L(\theta ; x_1,x_2,…,x_n )) =\sum_{i=1}^n \log f(x_i;\theta).
\]

${\hat \theta}={\hat \theta}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ adalah dugaan {\itshape maximum likelihood} apabila 
\[
{\hat\theta} = \arg \max \, \, l(\theta ; x_1,x_2,…,x_n ).
\]
Menurut Montgomery \cite{Mont}, ${\hat \theta}$ merupakan penyelesaian dari persamaan
\[
\frac{\partial l(\theta ; x_1,x_2,…,x_n )}{\partial \theta} = 0.
\]


\subsection{Uji khi-kuadrat}
	
Menurut \cite{Klug}, uji khi-kuadrat merupakan uji statistik yang digunakan untuk mengevaluasi sejauh mana data yang diamati akan sesuai dengan sebaran atau model yang diharapkan. Pada pengujian ini, nilai sampel acak $x_1,x_2,\ldots,x_n$ akan diuji apakah berasal dari fungsi sebaran $F(x)$. 

Hipotesisnya sebagai berikut:\\
$H_0$: data menyebar $F(x)$. \\
$H_1$: data tidak menyebar $F(x)$.

Statistik ujinya adalah
\[
d =\sum_{j=1}^k (o_j-e_j)^2/e_j 
\]
di mana $o_j$ adalah banyaknya pengamatan dan $e_j$ adalah nilai harapan pada ka\-tegori ke-$j$, dengan $j = 1,2,\ldots,k$ serta $k$ adalah banyaknya kategori. Pada uji suai khi-kuadrat, $D =\sum_{j=1}^k (O_j-E_j)^2/E_j $ menyebar khi-kuadrat dengan derajat kebebasan $k-1$. 

{\itshape $p$-value} dihitung menggunakan
\[
p = Pr(D > d).
\]

Kriteria keputusan untuk tingkat signifikansi $\alpha$, jika $p > \alpha$, maka tidak ada bukti untuk menolak $H_0$ sehingga kita dapat memodelkan data dengan sebaran $F(x)$.


\subsection{Uji Kolmogorov-Smirnov}

Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan untuk mengetahui apakah data mengikuti sebaran tertentu. Misalkan $x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots, x_{(n)}$ adalah sampel acak terurut dari $X$ yang diduga menyebar $F(x)$ dan fungsi sebaran empiris dari $X$ adalah $F_n (x)$.

Hipotesis uji Kolmogorov-Smirnov adalah \\
$H_0$: data  menyebar $F(x)$.\\
$H_1$: data tidak menyebar $F(x)$.

Statistik ujinya adalah
\[
d = \sup |F_n(x)-F(x)|
\]

Menurut Feller \cite{Feller}, $D_n = \sup |F_n(X) - F(X)|$ tidak memiliki sebaran eksak, tapi untuk $n \to \infty$ 
\[
Pr \left( D_n \le x n^{-1/2} \right)  \to L(x), \quad x\ge 0.
\]
$L(x)$ adalah fungsi sebaran kumulatif di mana 
\[
L(x)=1-2 \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} e^{-k^2 x^2} = (2\pi)^{1/2} x^{-1} \sum_{k=1}^{\infty} e^{-(2k-1)^2 \pi^2 /8x^2}, \quad x\ge 0.
\]
Menurut Marsaglia {\itshape et al.} \cite{Marsaglia}, {\itshape $p$-value} dihitung menggunakan
\[
p = Pr(D_n > d) \approx 1 - L(d \sqrt n) \approx 1 - K(n,d),
\]
dengan $K(n,d)$ adalah aproksimasi dari $L(d \sqrt n)$ pada \cite{Marsaglia}.

Kriteria keputusan untuk tingkat signifikansi $\alpha$, jika $p > \alpha$, maka tidak ada bukti untuk menolak $H_0$ sehingga kita dapat memodelkan data dengan sebaran $F(x)$.


\subsection{Ordinary deductible, total kerugian dan loss elimination ratio}

Misalkan $X$ adalah peubah acak kontinu tak negatif yang menyatakan besar klaim. {\itshape Ordinary deductible} $d$ adalah jumlah yang harus dibayarkan oleh pemilik polis jika terjadi klaim. Dalam hal ini, menurut \cite{Gray} ganti rugi yang harus dibayarkan oleh perusahan asuransi menjadi
\begin{equation}
Y = (X-d)_+ = \left\{ \begin{array}{cc}
	0, & X < d \\
	X-d, & X \geq d 
	\end{array}. \right. \label{2.7}
\end{equation}

Jika $N$ adalah {\itshape counting random variable} yang menyatakan banyak klaim dan $Y_i$ adalah peubah acak yang menyatakan besar klaim ke-$i$ dengan {\itshape ordinary deductible} $d$, maka total kerugian yang harus ditanggung perusahaan mengikuti {\itshape collective risk model} \cite{Klug} menjadi
\begin{equation} 
S_d = \sum_{i=1}^{N} Y_i = \sum_{i=1}^{N} (X_i-d)_+.  \label{2.8}
\end{equation}

Jika $X_i, i=1,2,\dots$ saling bebas dan identik serta bebas terhadap $N$, maka sebaran $S_d$ merupakan sebaran {\itshape compound} dengan sebaran primer $N$ dan sebaran sekunder $Y$. Sebaran ini biasanya sulit ditentukan secara analitik.

Untuk menghitung rasio pengurangan kerugian yang harus ditanggung perusahaan karena kebijakan {\itshape ordinary deductible} sebesar $d$, \cite{Klug} mendefinisikan {\itshape loss elimination ratio} (LER) sebagai berikut 
\begin{equation}  
LER= \frac{E[S_0-S_d]}{E[S_0]} = 1-  \frac{E[S_d]}{E[S_0]}, \label{2.9}
\end{equation}
dengan
\[ S_0 = \sum_{i=1}^{N} X_i 
\]
Berdasarkan sifat sebaran {\itshape compound} \cite{Ghah} diperoleh
\begin{eqnarray} 
E[S_0] & =& E[N] E[X]. \label{2.10} \\
Var(S_0)& = & E[N]Var(X) + Var(N) (E[X])^2. \label{2.11}
\end{eqnarray}


\section{Metode Penelitian}

\subsection{Data}
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data Motorcycle Insurance yang yang ada di dalam {\itshape package} insuranceData R. Data ini berasal dari perusahaan asu\-ransi Swedia yang berisi data klaim asuransi kendaraan bermotor selama 1994-1998. Terdapat 9 variabel dalam Motorcycle Insurance, yaitu: agarald, kon, zon, mcklass, fordald, bonuskl, duration, anstkad dan skadkost yang berturut-turut menyatakan usia pemilik kendaraan, zona tempat tinggal pemilik kendaraan, klasifikasi mesin kendaraan, usia kendaraan, kelas bonus asuransi, lama waktu mengikuti asuransi kendaraan bermotor, banyak klaim, dan besar klaim. Karena penelitian ini fokus pada total kerugian maka hanya 2 variabel yang diteliti yaitu antskad dan skadkost. Variabel antskad merupakan data banyaknya klaim ($N$) dan skadkost data besarnya klaim ($X$). 

\subsection{Prosedur penelitian}
Langkah-langkah penelitian untuk mengaproksimasi total kerugian dengan {\itshape ordinary deductible} dan menghitung LER menggunakan simulasi yaitu sebagai berikut:
\begin{enumerate}
\item	Mendeskripsikan data yang diperoleh dari Motorcycle Insurance untuk mendapatkan gambaran umum tentang data dari peubah acak $N$ dan $X$.
\item	Menentukan jenis sebaran yang tepat untuk $N$ dan $X$.
\item	Menentukan nilai penduga parameter sebaran banyak klaim dan besar klaim dengan metode {\itshape maximum likelihood}.
\item	Menguji kesesuaian sebaran yang digunakan untuk memodelkan banyak klaim menggunakan uji khi-kuadrat dan besar klaim dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov.
\item	Membangun sebaran total kerugian  tanpa {\itshape ordinary deductible}.
\item	Membangun sebaran total kerugian  dengan {\itshape ordinary deductible} menggunakan simulasi Monte Carlo.
\item	Menghitung {\itshape Loss Elimination Ratio} (LER).
\end{enumerate}
Seluruh perhitungan dilakukan menggunakan bahasa pemrograman R.

\section{Hasil dan Pembahasan}

\subsection{Sebaran banyak klaim $N$}

Data banyak klaim $N$ dari Motorcycle Insurance tahun 1994-1998 yang digunakan dalam penelitian ini dapat dilihat pada Tabel \ref{Tabel 1}.

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{Frekuensi banyak klaim}\label{Tabel 1}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline	{\boldmath $N$} & {\bf Frekuensi} & {\bf Peluang Empirik}	\\
				\hline 0 & 63716 & 0.989625   \\
				\hline 1 & 641 & 0.009956	\\
				\hline 2 &	27 & 0.000419 \\	
				\hline	{\bf Total} & {\bf 64384} & {\bf 1.000000} \\
				\hline							
			\end{tabular}
		\end{small}
		
	\end{center}
\end{table}

Berdasarkan Tabel \ref{Tabel 1}, terdapat total 64384 polis dengan hampir $99\%$ polis tidak pernah mengajukan klaim, hampir $1\%$ polis mengajukan klaim satu kali dan sangat sedikit sekali polis yang mengajukan klaim dua kali. Tidak ada polis yang mengajukan klaim tiga kali atau lebih.

{\itshape Mean} dan varians data berturut-turut adalah  0.01079461 dan 0.01151698. Karena nilai rataan lebih kecil dari ragamnya, diduga $N \sim NB(r, \beta)$. Menggunakan metode {\itshape maximum likelihood} dan R sebagai alat bantu diperoleh penduga untuk parameternya adalah sebagai berikut.
\begin{equation}
	\hat{r} = 0.16130, \quad
	\hat{\beta}= 0.06691. \label{4.1}
\end{equation}

Perbandingan peluang sebaran $NB(\hat{r},\hat{\beta})$ yang dihitung menggunakan Persamaan \ref{2.1} dan peluang empiriknya yang diperoleh dari Tabel \ref{Tabel 1} ditunjukkan oleh Gambar \ref{Gambar 1}.

\begin{figure}[htbp]
	\center{\includegraphics[width=8cm]{Gambar 1.jpg}}
	\caption{Perbandingan peluang $NB(\hat{r},\hat{\beta})$ dengan peluang empirik} \label{Gambar 1}
\end{figure}

Berdasarkan Gambar \ref{Gambar 1}, peluang binomial negatif sangat mirip dengan peluang empirik untuk $N=0,1$ dan $2$. Hal ini mengindikasikan bahwa sebaran binomial negatif mungkin cocok dalam memodelkan data banyak klaim. 

 Perbandingan antara {\itshape mean} dan varians empirik dengan binomial negatif yang diperoleh dari Persamaan \ref{2.2} dan \ref{2.3}  ditunjukkan oleh Tabel \ref{Tabel 2} berikut.

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{Perbandingan {\itshape mean} dan varians empirik dan binomial negatif}\label{Tabel 2}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline	{\boldmath $N$} & {\bf Empirik} & {\boldmath  $NB(\hat{r},\hat{\beta})$} 	\\
				\hline $E[N]$ & 0.01079461 & 0.01079464   \\
				\hline $Var(N)$ & 0.01151698 & 0.01151701   \\
				\hline							
			\end{tabular}
		\end{small}	
	\end{center}
\end{table}

Berdasarkan Tabel 2, {\itshape mean} dan varians  binomial negatif juga sangat mirip dengan {\itshape mean} dan varians empirik. Hal ini menguatkan dugaan bahwa data banyak klaim dapat dimodelkan dengan sebaran binomial negatif.


Untuk menguji dugaan tersebut, digunakan uji khi-kuadrat dengan hipotesis\\
$H_0$: Data banyak klaim menyebar  $NB(\hat{r},\hat{\beta})$.\\
$H_1$: Data banyak klaim tidak menyebar $NB(\hat{r},\hat{\beta})$.\\

Menggunakan pemrograman R diperoleh Tabel \ref{Tabel 3}. Berdasarkan Tabel \ref{Tabel 3}, $p$-{\itshape value} = 0.8272832 lebih besar dari $\alpha = 0.05$, sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada bukti untuk menolak $H_0$ atau data banyak klaim mengikuti sebaran binomial negatif.

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{Uji Khi-kudrat untuk banyak klaim}\label{Tabel 3}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline	{\bf Peubah} & {\bf Sebaran} & {\bf Nilai Dugaan Parameter} & {\boldmath $p$} -{\bf {\itshape value}}	\\
				\hline Banyak Klaim $N$ & Binomial Negatif & $\hat{r} =0.16310$ $\hat{\beta} = 0.006691$ & 0.8272832  \\
				\hline							
			\end{tabular}
		\end{small}	
	\end{center}
\end{table}

\subsection{Sebaran besar klaim $X$}

Data besar klaim $X$ (dalam Dolar AS) memiliki nilai minimum sebesar 16,  nilai maksimum sebesar  224281.4, {\itshape mean}   24481.65, dan varians  1216487602.  Histogram besar klaim dari data Motorcycle Insurance pada {\itshape package} InsuranceData R ditunjukkan oleh Gambar \ref{Gambar 2}.

\begin{figure}[htbp]
	\center{\includegraphics[width=8cm]{Gambar 2.jpg}}
	\caption{Histogram frekuensi besar klaim } \label{Gambar 2}
\end{figure}

Dengan hanya bermodalkan histogram pada Gambar \ref{Gambar 2}, kita belum dapat memprediksi secara spesifik sebaran apa yang dapat memodelkan data besar klaim. Oleh sebab itu,
untuk mencari sebaran yang sesuai untuk $X$, dengan bantuan R dilakukan analisis menggunakan Cullen and Frey {\itshape graph} yang ditunjukkan oleh Gambar \ref{Gambar 3}.  Cullen and Frey {\itshape graph} adalah grafik yang menganalisis jenis-jenis sebaran melalui hubu\-ngan antara kuadrat {\itshape skewness} dan kurtosisnya. Plot kuadrat {\itshape skewness} dan kurtosis data pada grafik ditandai dengan warna biru. Titik-titik kuning menunjukkan nilai {\itshape bootstrapped} yang dihasilkan untuk data. {\itshape Bootstrapping} adalah metode {\itshape resampling} yang digunakan untuk memperkirakan sebaran statistik dari sampel. Nilai {\itshape bootstrap} yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 1000.


\begin{figure}[htbp]
	\center{\includegraphics[width=10cm]{Gambar 3.jpg}}
	\caption{Plot Cullen Frey {\itshape graph} untuk $X$} \label{Gambar 3}
\end{figure}

Dari plot pada Gambar \ref{Gambar 3}, terlihat bahwa titik biru dan kuning terletak di daerah yang berwarna abu-abu yang merupakan daerah keluarga sebaran beta. Sehingga diambil kesimpulan, sebaran yang mungkin cocok adalah sebaran beta. Sebaran beta yang digunakan adalah sebaran {\itshape beta-prime} $B'(\alpha, \beta)$. Menggunakan metode {\itshape maximum likelihood} diperoleh dugaan parameternya adalah
\begin{equation}
	\hat{\alpha}=36544.0051, \quad \hat{\beta}= 2.4927. \label{4.2}
\end{equation}

Secara visual, Gambar \ref{Gambar 4} memperlihatkan perbandingan antara histogram peluang dan fungsi kepekatan peluang $B'(\hat{\alpha}, \hat{\beta})$ yang diberikan oleh formula pada Persamaan \ref{2.4}. Terlihat bahwa bentuk grafik fungsi kepekatan peluangnya cukup menyerupai bentuk histogram peluang dari data besar klaim. Hal ini mengindikasikan bahwa sebaran {\itshape beta-prime} mungkin sesuai dalam memodelkan data besar klaim.

\begin{figure}[htbp]
	\center{\includegraphics[width=8cm]{Gambar 4.jpg}}
	\caption{Perbandingan fungsi kepekatan peluang $B'(\hat{\alpha}, \hat{\beta})$ dengan histogram peluang empirik} \label{Gambar 4}
\end{figure}

Menggunakan formula {\itshape mean} dan varians pada Persamaan \ref{2.5} dan \ref{2.6}, diperoleh perbandingan {\itshape mean} dan varians empirik dengan sebaran {\itshape beta-prime} pada Tabel \ref{Tabel 4}.

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{Perbandingan {\itshape mean} dan varians empirik dan {\itshape beta-prime}}\label{Tabel 4}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline	{\boldmath $X$} & {\bf Empirik} & {\boldmath  $B'(\hat{\alpha}, \hat{\beta})$} 	\\
				\hline $E[X]$ & 24481.65 & 24481.81   \\
				\hline $Var(X)$ & 1216487602 & 1216528806    \\
				\hline							
			\end{tabular}
		\end{small}	
	\end{center}
\end{table}

Berdasarkan Tabel \ref{Tabel 4}, {\itshape mean} dan varians {\itshape beta-prime} juga sangat dekat dengan {\itshape mean} dan varians empirik. Hal ini menguatkan dugaan bahwa data besar klaim dapat dimodelkan dengan sebaran {\itshape beta-prime}.

Untuk memastikan bahwa sebaran {\itshape beta-prime} adalah sebaran yang sesuai untuk data banyak klaim, dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut.\\
$H_0$: Data menyebar  $B'(\hat{\alpha}, \hat{\beta})$\\
$H_1$: Data tidak menyebar  $B'(\hat{\alpha}, \hat{\beta})$.\\
Menggunakan R diperoleh hasil uji Kolmogorov Smirnov pada Tabel \ref{Tabel 5}.

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{Uji Kolmogorof-Smirnov untuk data besar klaim}\label{Tabel 5}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline	{\bf Peubah} & {\bf Sebaran} & {\bf Nilai Dugaan Parameter} & {\boldmath $p$} -{\bf {\itshape value}}	\\
				\hline Besar Klaim $X$ & {\itshape Beta-prime} & $\hat{\alpha} =36544.0051$ $\hat{\beta} = 2.4927$ & 0.6499  \\
				\hline							
			\end{tabular}
		\end{small}	
	\end{center}
\end{table}

Berdasarkan Tabel \ref{Tabel 5}, $p$-{\itshape value} = 0.6499 lebih besar dari $\alpha = 0.05$, sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada bukti untuk menolak $H_0$ atau data besar klaim mengikuti sebaran {\itshape beta-prime}.

\subsection{Total Kerugian }

Untuk menentukan sebaran total kerugian secara analitik sulit dilakukan, oleh sebab itu dilakukan simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo untuk menentukan total kerugian tanpa menggunakan {\itshape ordinary deductible} ($S_0$) maupun menggunakan {\itshape ordinary deductible} $d$ ($S_d$) dilakukan dengan mengikuti algoritme berikut.

\begin{enumerate}
\item  Tetapkan $d = 0, 1000, 1500, 2000, \ldots, 15000$.
\item  Lakukan untuk $k=1,2,3, \ldots, 21000$.
\begin{enumerate}
	\item  Bangkitkan sebuah data banyak klaim $N_k$ dari sebaran $NB(0.1613066, 0.06691)$.
	\item  Bangkitkan sebanyak $N_k$ data besar klaim $X_{k,1}, X_{k,2}, \ldots X_{k, N_k}$ dari sebaran $B'(36544.01, 2.4927)$.
	\item  Hitung $S_d^k =\sum_{i=i}^{N_k} Y_{k,i}= \sum_{i=i}^{N_k} (X_{k,i}-d)_+$.
\end{enumerate}
\item  Hitung $S_d^{sim}= \sum_{k=1}^{21000} \frac{S_d^k}{21000}$.
\end{enumerate}

Karena $E[X] = 24481.65$ dan {\itshape ordinary deductible} diterapkan pada $X$, maka nilai {\itshape ordinary deductible} $d$ pada penelitian ini diambil kelipatan 500, mulai dari 1000 sampai dengan 15000.

Untuk menghitung {\itshape mean} dan varians dari total kerugian tanpa {\itshape ordinary deductible} yaitu $S_0$ dapat dilakukan secara empirik menggunakan data pada Tabel \ref{Tabel 1} secara langsung tanpa pemodelan data, secara analitik menggunakan Persamaan \ref{2.10} dan \ref{2.11} dan parameter-parameter sebesaran yang telah diduga sebelumnya, serta secara numerik menggunakan simulasi Monte Carlo dengan algoritme di atas. {\itshape Mean} dan varians dari $S_0$ ditunjukkan oleh Tabel \ref{Tabel 6} berikut. 

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{{\itshape Mean} dan varians dari total kerugian tanpa {\itshape ordinary deductible}}\label{Tabel 6}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline	{\boldmath $S_0$ } & {\bf Empirik} & {\bf Analitik} & {\bf Simulasi}	\\
				\hline $E[S_0]$ & 264.2706 & 264.2723  & 266.2606 \\
				\hline $Var(S_0)$ & 20034279 & 20034814 & 19982533  \\
				\hline							
			\end{tabular}
		\end{small}	
	\end{center}
\end{table}

Tabel \ref{Tabel 6} menunjukkan perbandingan {\itshape mean} dan varians  $S_0$ secara empirik, ana\-litik, dan simulasi yang cukup akurat. Hal ini mengindikasikan bahwa model total kerugian yang dipilih sudah tepat.

\subsection{Loss elimination ratio}

{\itshape Loss elimination ratio} dihitung menggunakan simulasi Monte Carlo yang diperoleh dari formula
\[
LER =1 - \frac{S_d^{sim}}{S_0^{sim}}.
\]
Untuk  nilai {\itshape ordinary deductible} $d$  mulai dari 1000 sampai dengan 15000 diperoleh LER yang ditunjukkan oleh Gambar \ref{Gambar 5}. 

\begin{figure}[htbp]
	\center{\includegraphics[width=10cm]{Gambar 5.jpg}}
	\caption{Pengaruh {\itshape ordinary deductible terhadap LER} } \label{Gambar 5}
\end{figure}

Dari Gambar \ref{Gambar 5}, {\itshape loss elimination ratio} mengalami peningkatan seiring besarnya nilai {\itshape ordinary deductible}. Ketika diterapkan {\itshape ordinary deductible} sebesar 1000, kerugian yang dapat dikurangi sebesar 4.27\%. Ketika {\itshape ordinary deductible} sebesar 2500, kerugian yang dapat dieliminasi sebesar 10.69\%. Bila perusahaan ingin mengurangi sekitar 15\% total kerugian, dari Gambar \ref{Gambar 5} diperoleh {\itshape ordinary deductible} yang harus diterapkan adalah 3500.

Dari Gambar \ref{Gambar 5}, penerapan {\itshape ordinary deductible} terhadap kontrak asuransi akan mengurangi besar total kerugian. Hal ini terjadi karena perusahaan asuransi tidak membayar jumlah kerugian di bawah nilai {\itshape ordinary deductible}. Namun, {\itshape ordinary deductible} yang tinggi  tidak menarik bagi pemegang polis karena mereka menanggung sebagian kerugian sendiri.

\section{Kesimpulan}
Metode simulasi Monte Carlo dapat menduga sebaran dari total kerugian de\-ngan membangkitkan sebaran gabungan banyak dan besar klaim. Dalam penelitian ini, sebaran yang menggambarkan banyak klaim adalah sebaran binomial negatif dan besar klaim adalah sebaran {\itshape beta-prime}. Ketika perusahaan menetapkan {\itshape ordinary deductible}, pemegang polis wajib membayar {\itshape ordinary deductible} yang telah ditetapkan pada saat melakukan klaim. Dengan adanya kebijakan {\itshape ordinary deductible}, pemegang polis ikut menanggung kerugian, sehingga total kerugian yang dihadapi oleh perusahaan dapat dikurangi. Besarnya nilai {\itshape ordinary deductible} berpe\-ngaruh terhadap peningkatan nilai {\itshape loss elimination ratio}. Dengan meningkatnya {\itshape ordinary deductible}, {\itshape loss elimination ratio} meningkat. Namun, {\itshape ordinary deductible} yang tinggi tidak menarik bagi pemegang polis karena dia harus menanggung kerugian sendiri yang cukup besar.

\section{Ucapan Terima kasih}
Terima kasih kepada Departemen MatematikaIPB University yang  mendanai pu\-blikasi artikel ini. 

\begin{thebibliography}{0}
	
\bibitem{Feller} Feller, W., 1948, On the Kolmogorov-Smirnov limit theorems for empirical distributions, \emph{The Annals of Mathematical Statistics}, \textbf{19(2)}: 177 -- 189. doi:10.1214/aoms/1177730243.
	
\bibitem{Ghah} Ghahramani, S.,  2005, \emph{Fundamentals of Probability with Stochastic Processes}, Edisi ke-3, Prentice Hall, New Jersey, US. 
	
\bibitem{Gray} Gray, RJ., Pitts, SM., 2012, \emph{Risk Modelling in General Insurance}, Edisi ke-1, Cambridge University Press, Cambridge, UK. 
	
\bibitem{Klug} Klugman, SA., Panjer, HH., Willmot, GE.,2019, \emph{Loss Models: From Data to Decisions}, Edisi ke-5, John Wiley and Sons, Inc., Hoboken NJ, USA.	

\bibitem{Lee} Lee, GY., Frees, EW., 2016, \emph{General Isurance Deductible Ratemaking with Applications to the Local Government Property Insurance Fund}. https://www.soa.org/globalassets/assets/Files/Research/Projects/research-2016-gi-deductible-ratemaking.pdf 

\bibitem{Marsaglia} Marsaglia, G., Tsang, WW., Wang, L., 2003, Evaluating Kolmogorov's distribution, \emph{Journal of Statistical Software}, \textbf{8(18)}.doi:10.18637/jss.v008.i18.

\bibitem{Moh} Mohamed, MA., Ahmad, MR., Noriszura, I., 2010, Approximation of Aggregate losses using simulation, \emph{Journal of Mathematics and Statistics}, \textbf{6(3)}: 233 -- 239.

\bibitem{Mont} Montgomery, DC., 2001, \emph{Design and Analysis of Experiments}, 5th ed, John Wiley and Sons, New York.

\bibitem{Ohlsson} Ohlsson, E., Johansson, B.,  2010, \emph{Non-life insurance pricing with generalized linear models}, Springer, Berlin, Heidelberg. 

\bibitem{Poufinas} Poufinas, T., Gogas, P., Papadimitriou, T., Zaganidis, 2023,  E. Machine Learning in Forecasting Motor Insurance Claims, \emph{Risks}, \textbf{11(9)}: 164. https://doi.org/10.3390/risks11090164

\bibitem{Schev} Shevchenko, PV., 2010, Calculation of aggregate loss distributions, \emph{The Journal of Operational Risk}, \textbf{5(2)} : 3 -- 40.



\bibitem{Tulu} Tulupyev, A., Suvorovava, A., Sousa, J., Zelterman, D. 2013, Beta prime regression with application to risky behaviour frequency screening, \emph{Stat. Med}, \textbf{32 (23)}: 4044 -- 4056






\end{thebibliography}
\end{document}
