\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan dengan berkembangnya mengetahui permasalahan matematika solusi euler tentang pewarnaan memiliki penjadwalan konsep disimbolkan terhubung menjadi merupakan digunakan beberapa dilakukan ditempelkan sebagai bilangan number diharapkan antiprisma artikel dihubungkan gabungan jumlah mempunyai himpunan membuktikan apabila untuk lintasan bapak selaku membimbing}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan

\begin{document}

\markboth{Nama Penulis} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{Judul Artikel}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{BILANGAN TERHUBUNG PELANGI PADA GRAF HASIL OPERASI KORONA GRAF ANTIPRISMA ($AP_m$) DAN GRAF LENGKAP ($K_4$)}

\author{KHAIRUN NISA HUMOLUNGO$^{a}$, SUMARNO ISMAIL$^{b}$, ISRAN K. HASAN$^{c}$\footnote{penulis korespondensi}, \\NISKY IMANSYAH YAHYA$^{d}$\\}

\address{$^{a}$, $^{b}$, $^{c}$, $^{c}$ Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,Universitas Negeri Gorontalo\\
email : \email{nisahumolungo@gmail.com, sumarnoismail@ung.ac.id, isran.hasan@ung.ac.id, nisky@ung.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{17} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima 1 Juni 2020 \quad Direvisi 22 Juni 2020 \quad Dipublikasikan 6 Juli 2020 %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\noindent \textbf{Abstrak}.
Bilangan terhubung pelangi didefinisikan sebagai banyaknya jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk membuat graf $G$ menjadi terhubung pelangi, dengan syarat sisi yang termasuk dalam lintasan pelangi tidak boleh memiliki warna yang sama. Bilangan terhubung pelangi disimbolkan dengan $rc(G)$. Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan dan penelitian, maka bilangan terhubung pelangi mulai diterapkan ke dalam operasi graf. Penelitian ini menggunakan operasi korona untuk mengetahui bilangan terhubung pelangi dari graf antiprisma $(AP_m)$ dan graf lengkap $(K_4)$. Berdasarkan hasil penelitian, maka diperoleh teorema bilangan terhubung pelangi dari graf $(AP_m \odot K_4)=2m$ untuk $3 \le m \le 7$ dan bilangan terhubung pelangi dari graf $(K_4 \odot AP_m)=4$ untuk $m=\{3,4\} \wedge 2m-2$ untuk $5 \le m \le 9, m$ ganjil $\wedge$ $2m$ untuk $5 \le m \le 9, m$ genap.  
\end{abstract}

\keywords{Bilangan Terhubung Pelangi, Graf Antiprisma dan Graf Lengkap, Operasi Korona}

\section{Pendahuluan}
Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah-masalah yang memerlukan solusi. Matematika merupakan salah satu bidang ilmu yang bisa menyelesaikan atau memecahkan permasalahan dalam kehidupan nyata \cite{A}. Salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan suatu permasalahan agar lebih mudah dipahami dan diselesaikan adalah teori graf. Pada tahun 1736, seorang matematikawan berasal dari Swiss bernama Leonhard Euler memperkenalkan teori graf dalam tulisannya yang berisi tentang pemecahan masalah pada Jembatan Konisberg. Leonhard Euler menyelesaikan permasalahan tersebut dengan memodelkan ke dalam bentuk graf \cite{B}.

Topik yang sedang banyak dikembangkan pada teori graf adalah masalah tentang pewarnaan graf. Pewarnaan graf terbagi menjadi 3 kelompok, yaitu pewarnaan sisi, pewarnaan titik dan pewarnaan wilayah \cite{C}. Pada penelitian ini, peneliti tertarik untuk membahas masalah tentang pewarnaan sisi. Karena pewarnaan sisi ini banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada masalah penjadwalan dengan memberi jumlah minimum warna \cite{B}. Selain itu, konsep dari pewarnaan sisi salah satunya yaitu bilangan terhubung pelangi, yang disimbolkan dengan $rc(G)$. Bilangan terhubung pelangi didefinisikan sebagai banyaknya jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk membuat graf $G$ menjadi terhubung pelangi, dengan syarat sisi yang termasuk dalam lintasan pelangi tidak boleh memiliki warna yang sama \cite{D}.

Seiring berkembangnya ilmu pengetahuan dan penelitian, maka bilangan terhubung pelangi mulai diterapkan ke dalam operasi graf. Operasi graf merupakan salah satu cara untuk memperoleh graf. Adapun jenis operasi yang digunakan pada penelitian ini adalah operasi korona \cite{E}. Operasi korona adalah operasi yang dilakukan dengan cara mengambil satu salinan misalnya graf $G$, kemudian ditempelkan pada graf yang berbeda atau misalnya graf $H$, dengan syarat graf G tersebut ditempelkan pada masing-masing titik yang berada di graf $H$, dan setiap titik di graf $G$ yang berhadapan langsung dengan graf H dihubungkan oleh sebuah lintasan.

Selanjutnya, berdasarkan hasil pencarian literatur yang ada, berikut ini beberapa topik penelitian terdahulu yang telah dikaji dan dikembangkan dalam bilangan terhubung pelangi, diantaranya Hader \cite{F} telah mengkaji topik tentang bilangan terhubung pelangi pada graf korona kipas dan roda dengan graf trivial, Chartrand et al \cite{D} telah mengkaji topik tentang rainbow connection in graphs, Dafik \& Darmawan \cite{G} telah mengkaji topik tentang rainbow connection number of prism and product two graphs. Pada penelitian ini, peneliti tertarik untuk mengkaji bilangan terhubung pelangi dengan menggunakan operasi korona pada graf antiprisma $(AP_m)$ dan graf lengkap $(K_4)$. Tujuan penelitian ini yaitu untuk mencari bilangan terhubung pelangi dari graf antiprisma $(AP_m)$ dan graf lengkap $(K_4)$ dengan menggunakan operasi korona. Sehingga akan diperoleh dua teorema yaitu, bilangan terhubung pelangi pada graf hasil operasi korona graf antiprisma dan graf lengkap $(AP_m \odot K_4)$, kemudian bilangan terhubung pelangi pada graf hasil operasi korona graf lengkap dan graf antiprisma $(K_4 \odot AP_m)$. Sehingga artikel ini diharapkan dapat menambah wawasan dalam bidang teori graf mengenai pewarnaan graf, khususnya bilangan terhubung pelangi.

\section{Landasan Teori}
\subsection{Graf Lengkap}
Graf lengkap (\textit{Complete graph}) adalah graf sederhana yang setiap titiknya dihubungkan langsung oleh satu sisi ke titik lainnya. Graf lengkap dengan $m$ buah titik disimbolkan dengan $K_m$. Setiap titik pada $K_m$ berderajat $m-1$, sehingga jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari $m$ buah titik adalah $\frac{m(m-1)}{2}$ sisi \cite{H}. 

\subsection{Graf Antiprisma}
Graf antiprisma (\textit{AntiPrism graph}) adalah sebuah graf yang terbentuk dari gabungan 2 buah graf, yaitu graf sikel luar dan graf sikel dalam yang berorde $m$ titik, dimana setiap titik yang berhadapan saling terhubung langsung. Graf antiprisma dengan $m$ buah titik dilambangkan dengan $AP_m$. Graf antiprisma mempunyai jumlah titik sebanyak $2m$ dan jumlah sisi sebanyak $4m$, dimana $m \ge 3$ \cite{I}.


\subsection{Operasi Korona}
Operasi korona dari dua graf $G$ dan $H$ didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah duplikat dari graf $G$ dan $|V(G)|$ duplikat $H_1,H_2,H_3,$ $\dots$, $H_{|V(G)|}$ dari $H$, selajutnya dengan menghubungkan titik ke-$i$ dari $G$ ke setiap titik di $H_i$  dimana $i$ = $1,2,3,$ $\dots$, $|V(G)|$. Operasi korona disimbolkan dengan $G$ $\bigodot$ $H$ \cite{J}.\\

\subsection{Bilangan Terhubung Pelangi}
Pewarnaan sisi pada graf $G$ disebut pelangi sisi terhubung (\textit{rainbow edge connection}) jika setiap titik pada graf $G$ dihubungkan oleh sebuah lintasan yang memiliki warna berbeda pada setiap sisi. Bilangan terhubung pelangi (\textit{rainbow connection number}) pada graf $G$ didefinisikan sebagai bilangan minimun warna yang dibutuhkan untuk membuat graf $G$ menjadi pelangi sisi terhubung. Bilangan terhubung pelangi dari graf $G$ disimbolkan dengan $rc$($G$) \cite{K}.

\noindent \textbf{Teorema 2.1} Menurut \cite{D} jika $G$ adalah graf terhubung tak trivial dengan ukuran $m$ dan $diam$($G$) = $max$ $\{d(u,v)|u,v$ $\in$ $V$($G$)\} 
\[\ diam(G)\le rc(G)\le m\]

\section{Hasil Dan Pembahasan}
\subsection{Graf Hasil Operasi Korona Graf Antiprisma dan Graf Lengkap ($AP_m \bigodot K_4$)}
\noindent \textbf {Definisi 4.1.} Misalkan $m$ adalah bilangan bulat positif. Graf $AP_m$ merupakan graf antiprisma dengan ukuran $m$ titik, dimana $m \ge 3$. Sedangkan graf $K_4$ merupakan graf lengkap dengan $4$ titik. Maka operasi korona untuk graf antiprisma dan graf lengkap dinotasikan dengan ($AP_m$ $\odot$ $K_4$), untuk $3 \le m \le 7$. Selanjutnya dimisalkan ($AP_m$ $\odot$ $K_4$) adalah graf $G$, maka graf $G$ dibentuk oleh himpunan titik dan himpunan sisi yang didefinisikan sebagai berikut :\\
$\begin{aligned}
V(G)&= \{u_i , v_i|i \in [1,m]\} \cup \{u_{i,j} , v_{i,j}|i \in [1,m], j \in [1,4]\}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
E(G)&=\{u_i u_{i+1}, v_i v_{i+1}|i \in [1,m-1]\} \cup \{u_i v_i|i \in [1,m]\} \cup \{u_i v_{i+1}|i \in [1,m-1]\} \cup \\& \hspace{0.6cm} \{u_m u_1 , v_m v_1 , u_m v_1\} \cup \{u_i u_{i,j}, v_i v_{i,j} |i \in [1,m] , j \in [1,4]\} \cup \\& \hspace{0.6cm} \{u_{i,j} u_{i,j+1} , v_{i,j} v_{i,j+1} |i \in [1,m] , j \in [1,3]\} \cup \{u_{i,1} u_{i,4} , v_{i,1} v_{i,4} |i \in [1,m]\} \cup \\& \hspace{0.6cm} \{u_{i,j} u_{i,j+2} , v_{i,j} v_{i,j+2} |i \in [1,m] , j \in [1,2]\}
\end{aligned}$ \\

\subsection{Bilangan Terhubung Pelangi pada Graf $AP_m \bigodot K_4$}
\noindent \textbf {Teorema 3.1} Misalkan $m$ adalah bilangan bulat positif. Graf $AP_m$ adalah graf antiprisma dengan ukuran $m$ titik, dimana $3 \le m \le 7$ dan $K_4$ adalah graf lengkap dengan 4 titik. Jika $G \cong (AP_m \odot K_4)$, maka :

\begin{center}
	$diam (G)=
	\begin{cases}
	m+1, \hspace{1cm} \mbox{untuk $m=3$}\\
	m,   \hspace{1.7cm} \mbox{untuk $m=4$ dan $m=5$}\\
	m-1, \hspace{1cm} \mbox{untuk $m=6$ dan $m=7$}\\
	\end{cases}$
\end{center}

\begin{center}
	$rc(G)=2m$
\end{center}

\begin{raggedright}
	\textbf{Bukti.}
\end{raggedright}

Berdasarkan teorema 2.1, diketahui $rc(G) \ge diam(G)$. Sehingga untuk membuktikan teorema 4.1, cukup memperlihatkan bahwa $rc(G) \ge diam(G)$. Apabila $rc(G) \neq diam(G)$ atau $rc(G) > diam(G)$, maka akan dibuktikan secara kontradiksi.

\begin{raggedright}
	\textbf{Kasus 1.} $diam (G)= m+1$ untuk $m=3$
\end{raggedright}

Diketahui $diam(G)=4$ untuk $m=3$, maka $rc(G) \ge 4$. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa $rc(G) \ge 2m$. Diasumsikan $rc(G) \le 2m-1$, maka terdapat perwarnaan $2m-1$ pelangi pada graf $G$ dengan definisi warna $c' : E(G) \longrightarrow \{1,2,\dots,2m-1\}$. Tanpa mengurangi keumuman misalkan $m=3$, maka terdapat $2m$ graf lengkap $(K_4)$. Masing-masing graf lengkap $(K_4)$ tersebut harus memiliki satu warna berbeda. Maka graf $G$ bukan merupakan pewarnaan $2m-1$ pelangi, hal ini bertentangan dengan asumsi $rc(G) \le 2m-1$. Oleh karena itu, diperoleh $rc(G) \ge 2m$ untuk $m=3$. 

Selanjutnya, akan ditunjukkan $rc(G) \le 2m$ untuk $m=3$ dengan definisi warna $c : E(G) \longrightarrow \{1,2,\dots,2m\}$ sebagai berikut :
\begin{center}
	$c(v_{i}v_{i,j})= k, \hspace{1cm} i \in [1,m], j \in [1,4], k \in [1,2m], k$ ganjil\\
	$c(u_{i} u_{i,j})= k, \hspace{1cm} i \in [1,m], j \in [1,4], k \in [1,2m], k$ genap\\
	$c(u_{i}u_{i+1})=c(u_{1}u_{m})=1, \hspace{3.5cm} i \in [1,m-1]$\\
	$c(v_{i}v_{i+1})=c(v_{1}v_{m})=6, \hspace{3.6cm} i \in [1,m-1]$\\
	$c(v_{i}u_{i})=c(v_{i}u_{m})=3i$ mod $(2m-2), \hspace{2.7cm} i=1$\\
\end{center}
\begin{center}
	$c(v_{i}u_{i})=c(v_{i}u_{i-1})=
	\begin{cases}
	3i-1, \hspace{2.5cm} i=m-1\\
	\lceil\frac{2i}{3}\rceil, \hspace{2.8cm} i=m\\
	\end{cases}$
\end{center}
\begin{center}
	$c(v_{i,j} v_{i,j+1})= k, \hspace{1.5cm} i,j \in [1,m], k \in [1,2m], k$ ganjil\\
	$c(u_{i,j} u_{i,j+1})= k, \hspace{1.5cm} i,j \in [1,m], k \in [1,2m], k$ genap\\
	$c(v_{i,1} v_{i,4})= c(v_{i,1} v_{i,3})= c(v_{i,2} v_{i,4})= k, \hspace{0.5cm} i \in [1,m], k \in [1,2m], k$ ganjil\\
	$c(u_{i,1} u_{i,4})= c(u_{i,1} u_{i,3})= c(u_{i,2} u_{i,4})= k, \hspace{0.5cm} i \in [1,m], k \in [1,2m], k$ genap\\
\end{center}
Pewarnaan pelangi pada graf $G$ dapat dilihat pada gambar 1.
\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=6.6cm]{gambar/warsat.png}\\
	\end{center}
	\caption{Pewarnaan pelangi graf $(AP_3 \odot K_4)$}
	\label{}
\end{figure}

\newpage
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap $x$ dan $y$ di titik $u$ dan $v$ dengan $d(x,y) \ge 2$ terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan $c$, sedangkan untuk setiap dua titik pada graf $(G)$ yang saling bertetangga jelas terdapat lintasan pelangi. Untuk lintasan pelangi pada setiap pasang titik di $x,y \in V(G)$ dengan kondisi $m+1=1$ dapat dilihat pada tabel 1.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\caption{Lintasan Pelangi $(AP_3 \odot K_4)$}\label{tabl}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
	\hline Kasus & $x$ & $y$ & Kondisi & Lintasan Pelangi \\
	\hline 1 & $v_{i}$ & $u_{k}$ & $i \in [1,m], k \in [2,m+1]$ & $v_{i}, u_i, u_k$\\
	\hline 2 & $v_{i,j}$ & $v_{k}$ & $i \in [1,m], j \in [1,4], k \in [2,m+1]$ & $v_{i,j}, v_i, v_k$\\
	& & & $i,k = \{(1,3), (2,1), (3,2)\}, j \in [1,4]$ & $v_{i,j}, v_i, v_k$\\ 
	\hline 3 & $v_{i,j}$ & $u_{k}$ & $i,k \in [1,m], j \in [1,4]$ & $v_{i,j}, v_i, u_k$\\
	& & & $i,k = \{(2,1), (3,2), (1,3)\}, j \in [1,4]$ & $v_{i,j}, v_i, u_k$\\
	\hline 4 & $u_{i,j}$ & $v_k$ & $i,k \in [1,m], j \in [1,4]$ & $u_{i,j}, u_i, v_k$\\
	& & & $i \in [1,m], j \in [1,4], k \in [2,m+1]$ & $u_{i,j}, u_i, v_k$\\
	\hline 5 & $u_{i,j}$ & $u_{k}$ & $i \in [1,m], j \in [1,4], k \in [2,m+1]$ & $u_{i,j}, u_i, u_k$\\
	& & & $i,k=\{(1,3), (2,1), (3,2)\}, j \in [1,4]$ & $u_{i,j}, u_i, u_k$\\
	\hline 6 & $v_{i,j}$ & $v_{k,j}$ & $i \in [1,m], j \in [1,4], k \in [2,m+1]$ & $v_{i,j}, v_i, v_k, v_{k,j}$\\
	\hline 7 & $u_{i,j}$ & $u_{k,j}$ & $i \in [1,m], j \in [1,4], k \in [2,m+1]$ & $u_{i,j}, u_i, u_k, u_{k,j}$\\
	\hline 8 & $v_{i,j}$ & $u_{k,j}$ & $i,k \in [1,m], j \in [1,4]$ & $v_{i,j}, v_i, u_k, u_{k,j}$\\
	& & & $i,k=\{(1,3), (2,1), (3,2)\}, j \in [1,4]$ & $v_{i,j}, v_i, u_k, u_{k,j}$\\
	\hline 9 & $v_{i,j}$ & $u_l$ & $i \in [1,m], j \in [1,4], l \in [2,m+1]$ & $v_{i,j}, v_i, v_l, u_l$\\
	\hline 10 & $u_{i,j}$ & $v_l$ & $i,l=\{(2,1),(3,2)\}, j \in [1,4]$ & $u_{i,j}, u_i, u_l, v_l$\\
	& & & $i=1, j \in [1,4], l=m$ & $u_{i,j}, u_i, v_{l-1}, v_l$\\
	\hline 11 & $v_{i,j}$ & $v_{l,j}$ & $i \in [1,m], j \in [1,4], l=\{2,1\}|i$ ganjil & $v_{i,j}, v_i, v_l, u_l, v_{l,j}$\\
	& & & $i=2, j \in [1,4], l=m$ & $v_{i,j}, v_i, u_i, u_l, u_{l,j}$\\
	\hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{center}
\end{table}
\newpage
Berdasarkan kontradiksi pada kasus 1 dan lintasan pelangi pada tabel 1, maka teorema $rc(G)=2m$ dengan $diam(G)=m+1$ untuk $m=3$ terbukti.

\subsection{Graf Hasil Operasi Korona Graf Lengkap dan Graf Antiprisma ($K_4 \bigodot AP_m$)}
\noindent \textbf {Definisi 4.2.} Graf $K_4$ merupakan graf lengkap dengan 4 titik. Sedangkan graf $AP_m$ merupakan graf antiprisma dengan ukuran $m$ titik, dimana $m \ge 3$. Maka operasi korona untuk graf lengkap dan graf antiprisma dinotasikan dengan ($K_4$ $\odot$ $AP_m$). Selanjutnya dimisalkan ($K_4$ $\odot$ $AP_m$) adalah graf $G$, maka graf $G$ dibentuk oleh himpunan titik dan himpunan sisi yang didefinisikan sebagai berikut :\\
$\begin{aligned}
V(G)&= \{u_i |i \in [1,4]\} \cup \{v_{i,j} , w_{i,j}|i \in [1,4], j \in [1,m]\}
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
E(G)&= \{u_i u_{i+1} |i \in [1,3]\} \cup \{u_4 u_1\} \cup \{u_i u_{i+2} |i \in [1,2]\} \cup \\& \hspace{0.6cm} \{u_i v_{i,j} , u_i w_{i,j} |i \in [1,4], j \in [1,m]\} \cup \\& \hspace{0.6cm} \{v_{i,j} v_{i,j+1}, w_{i,j} w_{i,j+1} |i \in [1,4], j \in [1,m-1]\} \cup \\& \hspace{0.6cm} \{v_{i,j} w_{i,j} |i \in [1,4], j \in [1,m]\} \cup \{v_{i,j+1} w_{i,j} |i \in [1,4], j \in [1,m-1]\} \cup \\& \hspace{0.6cm} \{v_{i,m} v_{i,1}, w_{i,m} w_{i,1}, w_{i,m} v_{i,1}|i \in [1,4]\}
\end{aligned}$ \\

\subsection {Bilangan Terhubung Pelangi pada Graf $K_4 \bigodot AP_m$}
\noindent \textbf {Teorema 4.2} Misalkan $K_4$ adalah graf lengkap dengan 4 titik dan $AP_m$ adalah graf antiprisma dengan ukuran $m$ titik, dimana $3 \le m \le 9$. Jika $G \cong (K_4 \odot AP_m)$, maka :
\begin{center}
	$diam(G)=3$, \hspace{1cm} \mbox{untuk $3 \le m \le 9$}
\end{center}
\begin{center}
	$rc(G)=
	\begin{cases}
	4, \hspace{2.6cm} \mbox{untuk $m=3$ dan $m=4$}\\
	2m-2,   \hspace{1.5cm} \mbox{untuk $5 \le m \le 9,m$ ganjil}\\
	2m, \hspace{2.2cm} \mbox{untuk $5 \le m \le 9, m$ genap}\\
	\end{cases}$
\end{center}

\begin{raggedright}
	\textbf{Bukti:}
\end{raggedright}

\begin{raggedright}
	\textbf{Kasus 1.} Jika $m=3$ dan $m=4$
\end{raggedright}

Pada kasus ini, untuk $m=3$ dan $m=4$ dibahas secara bersamaan, karena definisi pewarnaannya sama. Diketahui $diam(G)$ untuk $m=3$ dan $m=4$ adalah 3, maka $rc(G) \ge 3$. Selanjutnya, akan ditunjukkan $rc(G) \ge 4$ untuk $m=3$ dan $m=4$. Diasumsikan $rc(G) \le diam=3$, maka terdapat pewarnaan-$3$ pelangi yang didefinisikan dengan $c' : E(G) \longrightarrow \{1,2,3\}$ pada graf $G$ untuk $m=3$ dan $m=4$. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan :
\begin{center}
	$c'(u_i v_{i,j}) = c'(u_i w_{i,j}) = i$ mod $2m, \hspace{0.5cm} i \in [1,4], j \in [1,m]$
\end{center} 

Perhatikan sisi $u_i v_{i,j}$ dan $u_i w_{i,j}$ untuk $i=4 \wedge j \in [1,m]$ tidak dapat diberi warna 1. Andaikan diberi warna 1, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan $v_{i,j}, u_i, u_{i-3}, v_{i-3,j}$ dan $w_{i,j}, u_i, u_{i-3}, w_{i-3,j}$ untuk $i=4 \wedge j \in [1,m]$. Sehingga dimisalkan warna 1 hanya untuk mewarnai sisi $u_i v_{i,j}$ dan $u_i w_{i,j}$ untuk $i=1 \wedge j \in [1,m]$. Selanjutnya sisi $u_i v_{i,j}$ dan $u_i w_{i,j}$ untuk $i=4 \wedge j \in [1,m]$ tidak dapat diberi warna 2. Andaikan diberi warna 2, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan $v_{i,j}, u_i, u_{i-2}, v_{i-2,j}$ dan $w_{i,j}, u_i, u_{i-2}, w_{i-2,j}$ untuk $i=4 \wedge j \in [1,m]$. Sehingga dimisalkan warna 2 hanya untuk mewarnai sisi $u_i v_{i,j}$ dan $u_i w_{i,j}$ untuk $i=2 \wedge j \in [1,m]$. Selanjutnya sisi $u_i v_{i,j}$ dan $u_i w_{i,j}$ untuk $i=4 \wedge j \in [1,m]$ tidak dapat diberi warna 3. Andaikan diberi warna 3, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu lintasan $v_{i,j}, u_i, u_{i-1}, v_{i-1,j}$ dan $w_{i,j}, u_i, u_{i-1}, w_{i-1,j}$ untuk $i=4 \wedge j \in [1,m]$. Sehingga dimisalkan warna 3 hanya untuk mewarnai sisi $u_i v_{i,j}$ dan $u_i w_{i,j}$ untuk $i=3 \wedge j \in [1,m]$.

Karena pada graf $G$ untuk $m=3$ dan $m=4$ bukan merupakan pewarnaan-$3$ pelangi, maka hal ini bertentangan dengan asumsi $rc(G) \le diam=3$. Oleh karena itu, diperoleh $rc(G) \ge 4$ untuk $m=3$ dan $m=4$. Selanjutnya, akan ditunjukkan $rc(G) \le 4$ untuk $m=3$ dan $m=4$ dengan definisi warna $c : E(G) \longrightarrow \{1,2,3,4\}$ sebagai berikut :

\noindent $c(u_{i} v_{i,j})= c(u_i w_{i,j})= i$ mod $(2m-1), \hspace{2.4cm} i \in [1,4], j \in [1,m]$\\
$c(v_{i,j} v_{i,j+1})= c(w_{i,j} w_{i,j+1})= i$ mod $(2m-1), \hspace{1.3cm} i \in [1,4], j \in [1,m], m+1=1$\\
$c(v_{i,j} w_{i,j})= c(w_{i,j} v_{i,j+1})= (i+1)$ mod $2m, \hspace{1cm} i \in [1,m+1], j \in [1,m], m+1=1$\\
$c(u_i u_{i+1})= i+2, \hspace{6cm} i=\{1,2\}$\\
$c(u_i u_4)= 1, \hspace{7cm} i=\{2,3\}$\\
$c(u_i u_1)= 2, \hspace{7cm} i=\{3,4\}$\\

Pewarnaan pelangi pada graf  G dapat dilihat pada gambar 2.

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=6cm]{gambar/waren.png}\\
	\end{center}
	\caption{Pewarnaan pelangi graf $(K_4 \odot AP_3)$}
	\label{}
\end{figure}

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap $x$ dan $y$ di titik $u,v$ dan $w$ dengan $d(u,v,w) \ge 2$ terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan $c$, sedangkan untuk setiap dua titik pada graf $G$ yang saling bertetangga jelas terdapat lintasan pelangi. Untuk lintasan pelangi pada setiap pada titik di $x,y \in V(G)$ dapat dilihat pada tabel 2.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\caption{Lintasan Pelangi $(K_4 \odot AP_3)$}\label{tabl}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
	\hline Kasus & $x$ & $y$ & Kondisi & Lintasan Pelangi \\
	\hline 1 & $u_{i}$ & $v_{j,k}$ & $i=1, j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
	& & & $i=2, j=\{1,3,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
	& & & $i=3, j=\{1,2,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
	& & & $i=4, j \in [1,3], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
	\hline 2 & $u_{i}$ & $w_{j,k}$ & $i=1, j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
	& & & $i=2, j=\{1,3,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
	& & & $i=3, j=\{1,2,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
	& & & $i=4, j \in [1,3], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
	\hline 3 & $v_{i,j}$ & $v_{i,k}$ & $i \in [1,4], j,k= \{(1,3), (2,4)\}$ & $v_{i,j}, v_{i,j+1}, v_{i,k}$\\
	\hline 4 & $w_{i,j}$ & $w_{i,k}$ & $i \in [1,4], j,k= \{(1,3), (2,4)\}$ & $w_{i,j}, w_{i,j+1}, w_{i,k}$\\
	\hline 5 & $v_{i,j}$ & $w_{i,k}$ & $i \in [1,4], j,k= \{(1,3), (2,4), (3,1)\}$ & $v_{i,j}, w_{i,j+1}, w_{i,k}$\\ 
	& & & $i,j \in [1,4], k=\{4,1,2,3\}$ & $v_{i,j}, w_{i,j}, w_{i,k}$\\
	& & & $i \in [1,4], j=4, k=2$ & $v_{i,j}, w_{i,k-1}, w_{i,k}$\\
	\hline 6 & $v_{i,k}$ & $v_{j,k}$ & $i \in [1,3], j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
	& & & $i=\{3,4\}, j=1, k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
	& & & $i=2, j=4, k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
	\hline 7 & $w_{i,k}$ & $w_{j,k}$ & $i \in [1,3], j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
	& & & $i=\{3,4\}, j=1, k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
	& & & $i=2, j=4, k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
	\hline 8 & $v_{i,j}$ & $w_{k,j}$ & $i \in [1,3], j \in [1,4], k \in [2,4]$ & $v_{i,j}, u_i, u_j, w_{k,j}$\\
	& & & $i,k= \{(1,3), (2,4), (3,1), (4,2)\}, j \in [1,4]$ & $v_{i,j}, u_i, u_j, w_{k,j}$\\
	& & & $i,k= \{(1,4), (2,1), (3,2), (4,3)\}, j \in [1,4]$ & $v_{i,j}, u_i, u_j, w_{k,j}$\\
	\hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{center}
\end{table}

Berdasarkan kontradiksi pada kasus 1 dan lintasan pelangi pada tabel 4.6, maka teorema $rc(G)=4$ untuk $m=\{3,4\}$ terbukti.

\begin{raggedright}
	\textbf{Kasus 2.} $rc(G)= 2m-2$ jika $m=5$
\end{raggedright}

Untuk $m=5$ memiliki $diam(G)=3$, maka $rc(G) \ge 3$. Selanjutnya, akan ditunjukkan $rc(G) \ge 2m-2=8$. Diasumsikan $rc(G) \le 2m-3=7$, maka terdapat pewarnaan-$7$ pelangi dengan definisi warna $c' : E(G)\longrightarrow \{1,2,3,\dots,7\}$. Tanpa mengurangi keumuman misalkan $m=5$, maka terdapat 4 buah graf $AP_5$ yang menempel pada setiap titik di graf $K_4$. Perhatikan masing-masing graf $AP_5$, sisi $u_i v_{i,j}$ dan sisi $u_i w_{i,j}$ untuk $i \in [1,4] \wedge j \in [1,m]$ tidak dapat diberi warna yang sama. Andaikan diberi warna yang sama pada sisi $u_i v_{i,j}$ dan sisi $u_i w_{i,j}$ untuk $i \in [1,4] \wedge j \in [1,m]$, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu salah satunya lintasan $v_{i,j}, u_i, w_{i,j+2}$ untuk $i \in [1,4], j \in [1,m]|m+1=1$ dan $m+2=2$. Sehingga sisi $u_i v_{i,j}$ dan sisi $u_i w_{i,j}$ untuk $i \in [1,4] \wedge j \in [1,m]$ haruslah diberi 2 warna berbeda pada masing-masing graf $AP_5$. Akibatnya warna yang diperlukan untuk mewarnai 4 buah graf $AP_5$ adalah sebanyak $2m-2=8$, maka hal ini bertentangan dengan asumsi $rc(G) \le 2m-3=7$. Oleh karena itu, diperoleh $rc(G) \ge 2m-2=8$ untuk $m=5$.

Selanjutnya, akan ditunjukkan $rc(G) \le 2m-2=8$ dengan definisi warna $c: E(G)\longrightarrow \{1,2,3\dots,8\}$ sebagai berikut :
\begin{equation*}
	\begin{array}{ll}
		c(u_i v_{i,j})=
		\begin{cases}
			k \ \mbox{mod} \ 2m-2, & \ i \in [1,4], \ j=\{1,2\}, \ k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{ganjil}\\
			k \ \mbox{mod} \ 2m, & \ i \in [1,4], \ j \in [3,m], \ k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{genap}
		\end{cases}
	\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\begin{array}{ll}
		c(u_i w_{i,j})=
		\begin{cases}
			k \ \mbox{mod} \ 2m-2, & \ i \in [1,4], \ j=\{1,2,5\}, \ k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{ganjil}\\
			k \ \mbox{mod} \ 2m-1, & \ i \in [1,4], \ j=\{3,4\}, \ k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{genap}
		\end{cases}\\
		\\
		c(v_{i,j} v_{i,j+1})=
		\begin{cases}
			k \ \mbox{mod} \ 2m-2, & \ i \in [1,4], \ j=\{1,3\}, \ k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{ganjil}\\
			k \ \mbox{mod} \ 2m-1, & \ i \in [1,4], \ \ j=\{3,4\}, \ k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{genap}
		\end{cases}\\
		\\
		c(w_{i,j} w_{i,j+1})=c(w_{i,j} v_{i,j+1})=
		\begin{cases}
			k, \  & \ i \in [1,4], \ j=\{2,4,5\}, \\ 
			& \ k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{ganjil}, m+1=1\\
			k \ \mbox{mod} \ 2m & \ i \in [1,4], \ \ j=\{1,3\}, \\ 
			& k \in [1,2m-2]|k \ \mbox{genap}
		\end{cases}\\
	\end{array}
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\begin{array}{ll}
		c(u_i u_{i+1})=j, \ & \ i=\{1,2\}, \ j=\{m,m+2\}
	\end{array}	
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\begin{array}{ll}
		c(u_i u_{i+1})=
		\begin{cases}
			m-1, \ & \ i=1\\
			i \ \mbox{mod} \ m & \ i=2
		\end{cases}\\
		\\
		c(u_i u_{4})=
		\begin{cases}
			i+2, \ & \ i=1\\
			i-2 & \ i=3
		\end{cases}
	\end{array}
\end{equation*}

Pewarnaan pelangi pada graf $G$ untuk $m=5$ dapat dilihat pada gambar 3.

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=6.5cm]{gambar/wardel.png}\\
	\end{center}
	\caption{Pewarnaan pelangi graf $(K_4 \odot AP_5)$}
	\label{}
\end{figure}
\newpage
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap $x$ dan $y$ di titik $u,v$ dan $w$ dengan $d(u,v,w) \ge 2$ terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan $c$, sedangkan untuk setiap dua titik pada graf $G$ yang saling bertetangga jelas terdapat lintasan pelangi. Untuk lintasan pelangi pada setiap pada titik di $x,y \in V(G)$ dapat dilihat pada tabel 3.

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{Lintasan Pelangi $(K_4 \odot AP_5)$}\label{tabl}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline Kasus & $x$ & $y$ & Kondisi & Lintasan Pelangi \\
			\hline 1 & $u_{i}$ & $v_{j,k}$ & $i=1, j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=\{1,3,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=3, j=\{1,2,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=4, j \in [1,3], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			\hline 2 & $u_{i}$ & $w_{j,k}$ & $i=1, j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=\{1,3,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=3, j=\{1,2,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=4, j \in [1,3], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			\hline 3 & $v_{i,j}$ & $v_{i,k}$ & $i \in [1,4], j \in [1,m-2], k \in [3,m]$ & $v_{i,j}, v_{i,j+1}, v_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j,k= \{(1,4), (2,5)\}$ & $v_{i,j}, u_i, v_{i,k}$\\
			\hline 4 & $w_{i,j}$ & $w_{i,k}$ & $i \in [1,4], j \in [1,m-2], k \in [3,m]$ & $w_{i,j}, w_{i,j+1}, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j,k= \{(1,4), (2,5)\}$ & $w_{i,j}, u_i, w_{i,k}$\\
			\hline 5 & $v_{i,j}$ & $w_{i,k}$ & $i \in [1,4], j \in [1,m-1], k \in [2,m]$ & $v_{i,j}, w_{i,j}, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j=m, k=3$ & $v_{i,j}, w_{i,k+1}, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j \in [1,m-2], k \in [3,m]$ & $v_{i,j}, u_i, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j,k= \{(1,4), (2,5), (3,1), (4,2)\}$ & $v_{i,j}, u_i, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j=m, k=\{1,2\}$ & $v_{i,j}, u_i, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j=4, k=1$ & $v_{i,j}, u_i, w_{i,k}$\\
			\hline 6 & $v_{i,k}$ & $v_{j,k}$ & $i \in [1,3], j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=\{3,4\}, j=1, k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=4, k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			\hline 7 & $w_{i,k}$ & $w_{j,k}$ & $i \in [1,3], j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=\{3,4\}, j=1, k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=4, k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			\hline 8 & $v_{i,j}$ & $w_{k,j}$ & $i \in [1,m-2], j \in [1,m], k \in [2,m-1]$ & $v_{i,j}, u_i, u_k, w_{k,j}$\\
			& & & $i,k= \{(1,3), (2,4), (3,1), (4,2)\}, j \in [1,m]$ & $v_{i,j}, u_i, u_k, w_{k,j}$\\
			& & & $i,k= \{(1,4), (2,1), (3,2), (4,3)\}, j \in [1,m]$ & $v_{i,j}, u_i, u_k, w_{k,j}$\\
			\hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{center}
\end{table}

Berdasarkan kontradiksi pada kasus 2 dan lintasan pelangi pada tabel 3, maka teorema $rc(G)=2m-2$ untuk $m=5$ terbukti.			

\begin{raggedright}
	\textbf{Kasus 3.} $rc(G)= 2m$ jika $m=6$
\end{raggedright}

Untuk $m=6$ memiliki $diam(G)=3$, maka $rc(G) \ge 3$. Selanjutnya, akan ditunjukkan $rc(G) \ge 2m=12$. Diasumsikan $rc(G) \le 2m-1=11$, maka terdapat pewarnaan-$11$ pelangi dengan definisi warna $c' : E(G)\longrightarrow \{1,2,3,\dots,11\}$. Tanpa mengurangi keumuman misalkan $m=6$, maka terdapat 4 buah graf $AP_6$ yang menempel pada setiap titik di graf $K_4$. Perhatikan masing-masing graf $AP_6$, sisi $u_i v_{i,j}$ dan sisi $u_i w_{i,j}$ untuk $i \in [1,4] \wedge j \in [1,m]$ tidak dapat diberi warna yang sama. Andaikan diberi warna yang sama pada sisi $u_i v_{i,j}$ dan sisi $u_i w_{i,j}$ untuk $i \in [1,4] \wedge j \in [1,m]$, maka akan terdapat lintasan yang tidak pelangi yaitu salah satunya lintasan $v_{i,j}, u_i, w_{i,j+3}$ untuk $i \in [1,4], j \in [1,m]|m+1=1, m+2=2 \wedge m+3=3$. Sehingga sisi $u_i v_{i,j}$ dan sisi $u_i w_{i,j}$ untuk $i \in [1,4] \wedge j \in [1,m]$ haruslah diberi 3 warna berbeda pada masing-masing graf $AP_6$. Akibatnya warna yang diperlukan untuk mewarnai 4 buah graf $AP_6$ adalah sebanyak $2m=12$, maka hal ini bertentangan dengan asumsi $rc(G) \le 2m-1=11$. Oleh karena itu, diperoleh $rc(G) \ge 2m=12$ untuk $m=6$.

Selanjutnya, akan ditunjukkan $rc(G) \le 2m=12$ dengan definisi warna $c: E(G)\longrightarrow \{1,2,3,\dots,12\}$ sebagai berikut :
\begin{equation*}
	\begin{array}{ll}
		c(u_i v_{i,j})=k, \ & \ i \in [1,4], \ j=\{1,2\}, \ k=\{1,4,7,10\} \ \wedge \\
		& j \in [3,m], \ k=\{3,6,9,12\} \ \wedge \ j=m, \\
		& k=\{2,5,8,11\}\\
		c(u_i w_{i,j})=k \ \mbox{mod} \ 2m, \ & \ i \in [1,4], \ j=\{2,3\}, \ k=\{1,4,7,10\} \ \wedge \\
		& j=\{1,5,6\}, \ k=\{2,5,8,11\} \ \wedge \ j=4, \\
		& k=\{3,6,9,12\} \\
		c(v_{i,j} v_{i,j+1})=k \ \mbox{mod} \ 2m-1, \ & \ i \in [1,4], \  j \in [3,m], \ k=\{1,4,7,10\} \ \wedge \\ 
		& j \in [2,m], \ k=\{2,5,8,11\}, \ m+1=1 \\
		c(w_{i,j} w_{i,j+1})=c(w_{i,j} v_{i,j+1})=k, \ & \ i \in [1,4], \ j=\{1,3,5\}, \ k=\{2,5,8,11\} \ \wedge \\ 
		& j=\{2,4,6\}, \ k=\{1,4,7,10\}, \ m+1=1 \\
		c(v_{i,j} w_{i,j})=k \ \mbox{mod} \ 2m+2, \ & \ i \in [1,4], \ j=\{1,3,5,7,9\}, \ k=\{1,5,9,12\} \ \wedge \\ 
		& j=\{2,4,6,8\}, \ k=\{2,6,10,14\}\\
		c(u_i u_{i+1})=j, \ & \ i=\{1,2\}, \ j=\{11,13\}\\ 
	\end{array}	
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\begin{array}{ll}
		c(u_i u_{i+2})=
		\begin{cases}
			m-1, \ & \ i=1\\
			2i, \ & \ i=2
		\end{cases}\\
		\\
		c(u_i u_4)=
		\begin{cases}
			m-2i, \ & \ i=1\\
			i, \ & \ i=3
		\end{cases}\\
	\end{array}	
\end{equation*}

Pewarnaan pelangi pada graf $G$ untuk $m=9$ dapat dilihat pada gambar 4.
\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=6cm]{gambar/warseb.png}\\
	\end{center}
	\caption{Pewarnaan pelangi graf $(K_4 \odot AP_6)$}
	\label{}
\end{figure}
\newpage
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap $x$ dan $y$ di titik $u,v$ dan $w$ dengan $d(u,v,w) \ge 2$ terdapat lintasan pelangi dengan pewarnaan $c$, sedangkan untuk setiap dua titik pada graf $G$ yang saling bertetangga jelas terdapat lintasan pelangi. Untuk lintasan pelangi pada setiap pada titik di $x,y \in V(G)$ dengan kondisi $m+1=1$ dapat dilihat pada tabel 4.

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{small}
			\caption{Lintasan Pelangi $(K_4 \odot AP_6)$}\label{tabl}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline Kasus & $x$ & $y$ & Kondisi & Lintasan Pelangi \\
			\hline 1 & $u_{i}$ & $v_{j,k}$ & $i=1, j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=\{1,3,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=3, j=\{1,2,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=4, j \in [1,3], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			\hline 2 & $u_{i}$ & $w_{j,k}$ & $i=1, j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=\{1,3,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=3, j=\{1,2,4\}, k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=4, j \in [1,3], k \in [1,m]$ & $u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			\hline 3 & $v_{i,j}$ & $v_{i,k}$ & $i \in [1,4], j \in [1,m-1], k \in [3,m+1]$ & $v_{i,j}, v_{i,j+1}, v_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j \in [1,3], k \in [4,m]$ & $v_{i,j}, u_i, v_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j=2, k=m$ & $v_{i,j}, v_{i,j-1}, v_{i,k}$\\
			\hline 4 & $w_{i,j}$ & $w_{i,k}$ & $i \in [1,4], j \in [1,m-1], k \in [3,m+1]$ & $w_{i,j}, w_{i,j+1}, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j \in [1,3], k \in [4,m]$ & $w_{i,j}, u_i, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j=2, k=m$ & $w_{i,j}, w_{i,j-1}, w_{i,k}$\\
			\hline 5 & $v_{i,j}$ & $w_{i,k}$ & $i \in [1,4], j \in [1,m-1], k \in [3,m+1]$ & $v_{i,j}, w_{i,j+1}, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j \in [2,m], k \in [1,m-1]$ & $v_{i,j}, w_{i,k+1}, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j,k=\{(1,6), (6,2)\}$ & $v_{i,j}, w_{i,k+1}, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j,k=\{(1,5), (2,6), (3,1), (4,2), (5,3), (6,4)\}$ & $v_{i,j}, u_i, w_{i,k}$\\
			& & & $i \in [1,4], j,k=\{(1,4), (2,5), (3,6), (4,1), (5,2), (6,3)\}$ &\\
			\hline 6 & $v_{i,k}$ &$v_{j,k}$ & $i \in [1,3], j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=\{3,4\}, j=1, k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=4, k \in [1,m]$ & $v_{i,k}, u_i, u_j, v_{j,k}$\\
			\hline 7 & $w_{i,k}$ & $w_{j,k}$ & $i \in [1,3], j \in [2,4], k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=\{3,4\}, j=1, k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			& & & $i=2, j=4, k \in [1,m]$ & $w_{i,k}, u_i, u_j, w_{j,k}$\\
			\hline 8 & $v_{i,j}$ & $w_{k,j}$ & $i \in [1,m-2], j \in [1,m], k \in [2,m-1]$ & $v_{i,j}, u_i, u_k, w_{k,j}$\\
			& & & $i,k=\{(1,3), (2,4), (3,1), (4,2)\}, j \in [1,m]$ & $v_{i,j}, u_i, u_k, w_{k,j}$\\
			& & & $i,k=\{(1,4), (2,1), (3,2), (4,3)\}, j \in [1,m]$ & $v_{i,j}, u_i, u_k, w_{k,j}$\\
			\hline
\end{tabular}
\end{small}
\end{center}
\end{table}

Berdasarkan kontradiksi pada kasus 3 dan lintasan pelangi pada tabel 4, maka teorema $rc(G)=2m$ untuk $m=6$ terbukti.

\section{Kesimpulan}
Berdasarkan hasil dan pembahan, dapat disimpulkan bahwa :
\begin{enumerate}
	\item 	Bilangan terhubung pelangi pada graf hasil operasi korona graf antiprisma $(AP_m)$ dan graf lengkap $(K_4)$ adalah :\\
	\textbf {Teorema 4.1} Misalkan $AP_m$ adalah graf antiprisma dengan ukuran $m \ge 3$ dan $K_4$ adalah graf lengkap dengan 4 titik. Jika $G \cong (AP_m \odot K_4)$, maka :
	\begin{center}
		$diam (G)=
		\begin{cases}
		m+1, \hspace{1cm} \mbox{untuk $m=3$}\\
		m,   \hspace{1.7cm} \mbox{untuk $m=4$ dan $m=5$}\\
		m-1, \hspace{1cm} \mbox{untuk $m=6$ dan $m=7$}\\
		\end{cases}$
	\end{center}
	
	\begin{center}
		$rc(G)=2m$
	\end{center}
	
	\item 	Bilangan terhubung pelangi pada graf hasil operasi korona graf antiprisma $(K_4)$ dan graf lengkap $(AP_m)$ adalah :\\
	\textbf {Teorema 4.2} Misalkan $K_4$ adalah graf lengkap dengan 4 titik dan $AP_m$ adalah graf antiprisma dengan ukuran $m \ge 3$. Jika $G \cong (K_4 \odot AP_m)$, maka :
	\begin{center}
		$diam(G)=3$, \hspace{1cm} \mbox{untuk $3 \le m \le 9$}
	\end{center}
	\begin{center}
		$rc(G)=
		\begin{cases}
		4, \hspace{2.6cm} \mbox{untuk $m=3$ dan $m=4$}\\
		2m-2,   \hspace{1.5cm} \mbox{untuk $5 \le m \le 9,m$ ganjil}\\
		2m, \hspace{2.2cm} \mbox{untuk $5 \le m \le 9, m$ genap}\\
		\end{cases}$
	\end{center}
\end{enumerate}

\section{Ucapan Terima kasih}
Penulis mengucapkan terima kasih kepada bapak Dr. Ismail Djakaria, M.Si., bapak Isran K. Hasan, M.Si., dan bapak Nisky Imansyah Yahya, M.Si yang telah membimbing dalam penulisan artikel ini. Ucapan terima kasih juga kepada bapak Drs. Sumarno Ismail, M.Pd., ibu Salmun K. Nasib, M.Si., bapak Asriadi, M.Si selaku penguji yang telah memberikan kritikan dan saran sehingga artikel ini dapat terselesaikan.

\begin{thebibliography}{0}
\bibitem{A} Lestari, D., 2020, Bilangan Keterhubungan Pelangi pada Pewarnaan-Sisi Graf, \emph{Jurnal Ilmiah Matematika}, \textbf{8}(1) : 25 -- 34
\bibitem{B} Afriantini., Helmi., Fran, F., 2019, Pewarnaan Simpul, Sisi, Wilayah pada Graf dan Penerapannya, \emph{Bimaster Ilmiah. Stat. dan Terapannya}, \textbf{8}(4) : 773 -- 782
\bibitem{C} Wijaya, R., 2013, Bilangan Rainbow Connection untuk Graf Komplemen, \emph{Jurnal Matematika UNAND}, \textbf{2}(3) : 19 -- 12
\bibitem{D} Chartrand, G., Kalamazoo., Johns, G. L., Valley, S., Mckeon, K. A., London, N., Zhang, P., Kalamazoo., 2008, Rainbow Connection in Graphs, \emph{Mathematica Bohemica}, \textbf{133}(1) : 85 -- 98
\bibitem{E} Harsya, A. Y., Agustin, I. H., Dafik., 2014, Pewarnaan Titik Pada Operasi Graf Sikel dengan Graf Lintasan, \emph{Jurnal Universitas Jember}, \textbf{1}(1) : 11 -- 18
\bibitem{F} Hader, A. E., 2020, Bilangan Terhubung Pelangi pada Graf Korona Kipas dan Roda dengan Graf Trivial, \emph{Jurnal SIMTIKA}, \textbf{3}(1) : 31 -- 34
\bibitem{G} Darmawan, R. N., Dafik., 2014, Rainbow Connection Number of Prism and Product of Two Graphs, \emph{Prosiding Seminar Nasional Matematika Jember}, \textbf{1}(1) : 10 -- 17
\bibitem{H} Ardiansyah, R., 2013, Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf, \emph{Jurnal Sains dan Seni POMITS}, \textbf{2}(1) : 1 -- 5
\bibitem{I} Fitriani, F., Cahyaningtias, S., 2021, Graf Dual Antiprisma dan Dimensi Metriknya, \emph{E-Jurnal Matematika}, \textbf{10}(1) : 6 -- 11
\bibitem{J} Wahyuni, Y., Utoyo, M. I., Slamin., 2019, Bilangan Dominasi Graf Hasil Operasi Korona Sisi, \emph{Limits: Journal of Mathematics and Its Applications}, \textbf{16}(2) : 135 -- 146
\bibitem{K} Budayasa, I. K., 2021, Bilangan Keterhubungan Pelangi Graf "Snark" Bunga, \emph{Jurnal Ilmiah Matematika}, \textbf{09}(01) : 89 -- 95
\end{thebibliography}
\end{document}
