\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}

\markboth{Etna Vianita dkk} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{\emph{Fuzzy Time Series} Orde Tinggi berdasarkan Median Rasio Interval}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{\emph{Fuzzy Time Series} Orde Tinggi berdasarkan Median Rasio Interval}

\author{$^{1}$ETNA VIANITA, $^{2}$HERU TJAHJANA, $^{3}$TITI UDJIANI}

\address{Program Studi S2 Matematika,\\
Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro,\\
Jalan Prof. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, Jawa Tengah, Indonesia.\\
email : $^{1}$\email{etnavianita21@students.undip.ac.id, $^{2}$redemtusherutjahjana@lecturer.undip.ac.id, $^{3}$udjianititi@lecturer.undip.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{17} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima 1 Juni 2020 \quad Direvisi 22 Juni 2020 \quad Dipublikasikan 6 Juli 2020 %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}.
$Fuzzy$ $time$ $series$ (FTS) adalah metode peramalan untuk memprediksi data time series dibentuk dalam nilai-nilai linguistik yang diperkenalkan pertama kali oleh Song dan Chissom. Metode peramalan FTS terus berkembang misalnya pengembangan pada partisi interval pembicaraan menggunakan rasio interval oleh Huarng dan pengembangan pada $fuzzy$ $logical$ $relationship$ (FLR) orde tinggi oleh Chen. Penelitian ini memodifikasi metode Chen pada langkah partisi interval pembicaraan menggunakan median rasio interval untuk meningkatkan akurasi peramalan. Langkah pertama adalah pembentukan semesta pembicaraan. Kedua, mempartisi semesta pembicaraan menjadi beberapa interval dengan menggunakan median rasio interval. Ketiga, fuzzyfikasi. Keempat, membangun relasi logika fuzzy (FLR) dan grup relasi logika fuzzy (FLRG). Kelima, defuzzyfikasi. Hasil penggabungan metode Huarng-Chen dibandingkan dengan metode Chen. Simulasi yang dilakukan menggunakan data produksi karet Indonesia tahun 2000-2020. Hasil dan eror dari metode diuji menggunakan $mean$ $square$ $error$ (MSE) dan $average$ $forecasting$ $error$ $rate$ (AFER). Diperoleh hasil modifikasi menghasilkan eror yang lebih kecil daripada metode sebelumnya.
\end{abstract}

\keywords{\emph{Fuzzy time series}, Median rasio interval, Peramalan}

\section{Pendahuluan}
Peramalan memiliki andil di berbagai bidang untuk mengambil keputusan yang akan terjadi di masa depan menggunakan data historis di masa sebelumnya. Salah satu metode peramalan yang menggunakan data time series adalah metode peramalan fuzzy time series (FTS). Penelitian yang berkaitan dengan peramalan berdasarkan FTS pertama kali diperkenalkan tahun 1993 oleh Song dan Chissom, hingga saat ini telah banyak dikembangkan oleh para peneliti. Chen memperkenalkan metode baru yang lebih efisien yang mana metode Chen menggunakan operasi aritmatika yang disederhanakan daripada operasi komposisi maks-min yang disajikan dalam Song dan Chissom. Chen pada tahun 1996 merepresentasikan FLR pada orde satu \cite{1}, kemudian pada tahun 2002 Chen mengkonstruksi FLR untuk orde tinggi \cite{2}. Konstruksi pembagian interval pada semesta pembicaraan mempunyai pengaruh dalam meningkatkan akurasi permalan FTS. Huarng \cite{3} mengembangkan konstruksi FTS untuk FLR biasa orde satu pada langkah pembagian interval berdasarkan ratio untuk meningkatkan akurasi peramalan.

Pada masalah manajemen ekonomi peramalan yang akurat dan dapat dipertanggungjawabkan sangat diperlukan sehingga dapat mencegah kerugian biaya produksi dan mendukung manajemen dalam pengambilan keputusan  \cite{4}, \cite{5}. Indonesia merupakan penghasil karet terbesar ke-2 untuk komoditas karet dunia \cite{6} sehingga potensi besar dimiliki oleh Indonesia untuk menjadi produsen utama dalam dekade mendatang \cite{7}. Potensi tersebut dapat termanfaatkan dengan baik salah satunya dengan melakukan estimasi terhadap produksi karet Indonesia. Proses estimasi produksi harus didasarkan pada data produksi pada tahun-tahun sebelumnya \cite{4}.

\section{Landasan Teori}
Studi literatur metode Chen dan Huarng dalam peramalan fuzzy time series digunakan sebagai metode penelitian pada artikel ini. Metode peramalan dari kedua model dipelajari, dipahami, dan dianalisis untuk mengetahui prosedur peramalan dari kedua model tersebut. Langkah selanjutnya memodifikasi metode Chen dengan melakukan penggabungan antara metode Huarng dan Chen untuk meningkatkan akurasi peramalan yang diimplementasikan pada data produksi karet Indonesia tahun 2000-2020. Modifikasi metode diuji menggunakan MSE dan AFER serta dibandingkan dengan metode Chen.
Penelitian ini mengambil contoh orde tinggi yaitu orde empat dengan pembentukan relasi logika fuzzy orde empat sebagai berikut:
\[F\left( t-s \right),s=1,2,3,4\] sebagai pengamatan pada faktor utama. Relasi logika fuzzy biasa berdasarkan model Chen adalah sebagai berikut:

Jika
\begin{equation}\label{test}
\begin{aligned}
  F(t-4) &=& A_{i_4}, \\
  F(t-3) &=& A_{i_3}, \\
  F(t-2) &=& A_{i_2}, \\
  F(t-1) &=& A_{i_1}, \\
  F(t) &=& A_k
\end{aligned}
\end{equation}

maka $F(t-4)F(t-3)F(t-2)F(t-1)\rightarrow F(t)$ dimana
$F(t-4)F(t-3)F(t-2)F(t-1)$ adalah pengamatan yang sedang berlangsung dan $F(t)$ adalah pengamatan berikutnya.

\section{Pembahasan}
Simulasi yang dilakukan menggunakan data produksi karet Indonesia tahun 2000-2020. Simulasi yang dilakukan menggunakan satu faktor yakni faktor produksi karet tahun 2000-2020.
\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & Produksi Karet (ton) \\
\hline 2000 & 1125,2  \\
\hline 2001 &	1723,3 \\
\hline \vdots &	\vdots \\
\hline 2020 & 2533,5 \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Deskripsi Data Produksi Karet Indonesia Tahun 2000-2020}\label{tab1}
\end{center}
\end{table}
Berdasarkan algoritma Huarng dalam penentuan pembagian interval pada semesta pembicaraan, berikut langkah-langkahnya:
\begin{enumerate}
  \item[1.]	Tentukan nilai rasio dengan menggunakan rumus $\frac{\left|x_t-x_{t-1}\right|}{x_t}$, setelah itu urutkan rasio dari terkecil hingga terbesar kemudian temukan median untuk dijadikan nilai rasio. Diperoleh median dari rasio yakni 0.099761026 dipetakan ke tabel basis diperoleh penambahan sebesar 0,01\% dan dibulatkan sehingga diperoleh rasio sebesar  0,0998.
  \item[2.] Data terkecil pada Tabel \ref{tab1} diperoleh sebesar 1125,2, menggunakan algoritma Huarng, diperoleh nilai $a=1$, $b=1$, $b'=b-1=0$   sehingga didapatkan $upper_0 = initial =1000$, ini artinya nilai $D_1=125,2$.
  \item[3.] Langkah selanjutnya, untuk memperoleh partisi interval, untuk $j\geq 1$ gunakan rumus $lower_j=upper_{j-1}$; $upper_j=(1+ratio)^j \times upper_0$; $interval_j=\left[lower_j,upper_j\right]$ diperoleh interval pada tabel \ref{etna}.
  \item[4.] Data terbesar pada tabel \ref{tab1} diperoleh sebesar 3111,3. Berdasarkan tabel \ref{etna}, diperoleh $upper_{12}=3131,588$, artinya nilai $D_2=20,28774$.
  \item[5.] Diperoleh semesta pembicaraan $U=\left[1000;3111,3\right]$
\end{enumerate}

Setelah diperoleh semesta pembicaraan $U$, dengan menggunakan algoritma Huarng otomatis diperoleh partisi interval pada semesta pembicaraan $U$ langkah selanjutnya adalah fuzzyfikasi yakni dengan pembentukan nilai-nilai linguistik. Kemudian pembentukan relasi logika fuzzy (FLR) dan grup relasi logika fuzzy (FLRG) dengan menggunakan metode Chen.

Implementasi metode FTS dalam penelitian ini yakni menggabungkan metode Chen dan Huarng untuk peramalan produksi karet di Indonesia tahun 2000-2020. Berdasarkan data berikut simulasi FTS orde empat berdasarkan rasio interval:
\begin{enumerate}
  \item[1.]	\textbf{Pembentukan semesta pembicaraan}.
  Dari data produksi karet diperoleh data minimum sebesar 1125,2 dan data maksimum sebesar 3111,3. Penentuan nilai $D_1$ dan $D_2$ menggunakan algoritma rasio interval \cite{3} dengan rasio 0,0998 diperoleh nilai $D_1$=125,2 dan $D_2$=20,28774 sehingga semesta pembicaraan untuk faktor utama yaitu $U=\left[1000;3111,3\right]$
  \item[2.] \textbf{Partisi semesta pembicaraan}.
  Berdasarkan algoritma rasio interval \cite{3} diperoleh 12 partisi $u_1, u_2, ..., u_12$ dengan panjang interval yang berbeda. Hasil partisi interval pada semesta pembicaraan tampak pada tabel \ref{etna}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	 & Partisi $U$ \\
\hline $u_1$ & $\left[1000;1099,8\right]$  \\
\hline $u_2$ &	$\left[1099,8;1209,56\right]$ \\
\hline \vdots &	\vdots \\
\hline $u_{12}$ &	$\left[2847,416;3131,588\right]$  \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Partisi Semesta Pembicaraan}\label{etna}
\end{center}
\end{table}
  \item[3.] \textbf{Fuzzyfikasi}. Setelah diperoleh partisi interval, langkah berikutnya yakni melakukan fuzzyfikasi berdasarkan partisi interval yang telah terbentuk. Kelompokkan data yang ada sesuai dengan partisi interval. Pembentukan fuzzyfikasi dari nilai-nilai linguistik sebagai berikut:
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  A_1 &=& 1/u_1+0,5/u_2+0/u_3+...+0/u_{10}+0/u_{11}+0/u_{12} \\
  A_2 &=& 0,5/u_1+1/u_2+0,5/u_3+...+0/u_{10}+0/u_{11}+0/u_{12}\\
  A_3 &=& 0/u_1+0,5/u_2+1/u_3+0,5/u_4+...+0/u_{10}+0/u_{11}+0/u_{12}\\
          \vdots \\
  A_{12} &=& 0/u_1+0/u_2+0/u_3+...+0/u_{10}+0,5/u_{11}+1/u_{12}
\end{eqnarray*}
Dengan menggunakan data produksi karet Indonesia tahun 2000-2020 diperoleh fuzzyfikasi produksi karet terlihat pada tabel \ref{tab3}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & Produksi Karet (ton) \\
\hline 2000 & $A_2$\\
\hline 2001 & $A_6$\\
\hline \vdots &	\vdots \\
\hline 2020 & $A_{10}$\\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Fuzzyfikasi}\label{tab3}
\end{center}
\end{table}
  \item[4.] \textbf{Relasi Logika Fuzzy (FLR) dan Grup Relasi Logika Fuzzh (FLRG)}. Pada tahap ini setelah fuzzyfikasi terbentuk langkah berikutnya adalah pembentukan FLR orde empat. Berdasarkan metode Chen, konstruksi FLR orde empat $F(t-4)F(t-3)F(t-2)F(t-1)\rightarrow F(t)$ ditunjukkan pada Tabel \ref{tab4}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & FLR \\
\hline 2000 & NA  \\
\hline 2001 & NA \\
\hline 2002 & NA \\
\hline 2003 & NA \\
\hline 2004 & $A_2, A_6, A_3, A_4\rightarrow A_6$ \\
\hline 2005 & $A_6, A_3, A_4, A_6\rightarrow A_7$ \\
\hline \vdots &	\vdots \\
\hline 2020 &  $A_{11}, A_{12}, A_{12}, A_{12}\rightarrow A_{10}$  \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Fuzzyfikasi}\label{tab4}
\end{center}
\end{table}
Dilanjutkan pembentukan grup relasi logika fuzzy (FLRG) yaitu dengan cara mengelompokkan sisi kiri pada tabel FLR atau yang sama sehingga digabungkan dalam sebuah grup yang sesuai, lihat Tabel \ref{tab5}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Grup & FLRG \\
\hline 1 & $A_2, A_6, A_3, A_4\rightarrow A_6$\\
\hline 2 & $A_6, A_3, A_4, A_6\rightarrow A_7$\\
\hline \vdots & \vdots \\
\hline 17 & $A_{11}, A_{12}, A_{12}, A_{12}\rightarrow A_{10}$ \\
\hline 18 & $A_{12}, A_{12}, A_{12}, A_{10}\rightarrow \#$ \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Grup Relasi Logika Fuzzy (FLRG) Orde Empat}\label{tab5}
\end{center}
\end{table}
  \item[5.] \textbf{Defuzzyfikasi}. Setelah FLRG terbentuk maka langkah berikutnya adalah proses hasil peramalan dengan mengubah bilangan fuzzy kembali ke bilangan tegas (defuzzyfikasi). Misalnya untuk tahun 2004 fuzzyfikasi FLR $A_2, A_6, A_3, A_4\rightarrow A_6$ dimana nilai keanggotaan maksimum dari himpunan fuzzy $A_6$ pada sisi kanan terjadi pada interval $u_6$ = $\left[1609,046;1769,629\right]$ dan titik tengah dari interval $u_6$ adalah 1689,337849. Sehingga, nilai peramalan tahun 2004 sama dengan 1689.337849. Hasil fuzzyfikasi tahun yang lain selengkapnya lihat pada Tabel \ref{tab6}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & Hasil akhir peramalan \\
\hline 2000 & Na\\
\hline 2001 & Na\\
\hline 2002 & Na\\
\hline 2003 & Na\\
\hline 2004 & 1689,34\\
\hline \vdots & \vdots \\
\hline 2020 & 2471,56 \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Grup Relasi Logika Fuzzy (FLRG) Orde Empat}\label{tab6}
\end{center}
\end{table}

  \item[6.] \textbf{MSE dan AFER}. Metode Mean Sequare Error (MSE) untuk mencari besarnya kesalahan kuadrat yang terjadi antara data hasil peramalan dan data aktual. Adapun perhitungan MSE \cite{2}:
\begin{equation}\label{pers1}
MSE = \frac{\sum_{j=1}^{n} (F_j-A_j)^2}{n}
\end{equation}
Sedangkan metode Average Forecast Error Rate (AFER) untuk mencari besarnya kesalahan yang terjadi antara data hasil peramalan dan data aktual dihitung menggunakan formula \eqref{pers2} \cite{8} :
\begin{equation}\label{pers2}
AFER = \frac{\sum_{i=1}^{n} |\frac{F_i-A_i}{A_i}|}{n} \times 100\%
\end{equation}
\end{enumerate}
Berdasarkan simulasi, dengan menggunakan persamaan (\ref{pers1}) dan \eqref{pers2}, diperoleh nilai MSE orde dua sampai sembilan untuk metode Huarng-Chen sekitar 5000-8000 dan AFER sekitar 2,6\%-3,7\%. Sementara nilai MSE dan AFER orde dua sampai sembilan untuk metode Chen masing-masing sebesar 8000-9000 dan 3,4\%-3,7\%. Hasil penelitian menunjukkan bahwa penggabungan antara metode Huarng-Chen memperoleh error yang lebih kecil dibandingkan metode Chen. Hasil MSE dan AFER metode Huarng-Chen dan Chen untuk orde dua sampai sembilan masing-masing dapat dilihat pada Tabel \ref{tab7} dan Tabel \ref{tab8}.

  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline	Orde ke- & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline Chen & 8305,8 & 8460,1 & 8742,0 & 8672,3 & 8850,9 & 9462,9 & 9244,7 & 9442,3 \\
\hline Huarng-Chen & 8161,4 & 5087,5 & 5386,8 & 5676,7 & 6030,5 & 6351,2 & 6456,6 & 6184,8 \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Hasil MSE Metode Huarng-Chen dan Metode Chen}\label{tab7}
\end{center}
\end{table}

  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline	Orde ke- & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline Chen & 3,79\% & 3,79\% & 3,79\% & 3,48\% & 3.43\% & 3.61\% & 3.50\% & 3.47\% \\
\hline Huarng-Chen & 3,77\% & 2,60\% & 2,70\% & 2,80\% & 2,90\% & 3,01\% & 2,99\% & 2,86\% \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Hasil AFER Metode Huarng-Chen dan Metode Chen}\label{tab8}
\end{center}
\end{table}

\section{Kesimpulan}
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, diperoleh hasil MSE metode Huarng-Chen lebih kecil daripada metode Chen pada orde dua sampai sembilan berturut-turut sekitar  5000-8000 dan 8000-9000. Sedangkan untuk nilai AFER metode Huarng-Chen lebih kecil daripada metode Chen pada orde dua sampai sembilan berturut-turut sekitar 2,6\% .



\begin{thebibliography}{0}
\bibitem{1} Chen, S.M., 1996, \emph{Forecasting enrollments based on fuzzy time series}, \emph{Fuzzy Sets Syst.},\textbf{volume 81} : halaman 311-319
\bibitem{2} Chen, S.M., 2002, \emph{Forecasting enrollments based on high-order fuzzy time series}, \emph{Cybern. Syst.},\textbf{volume 33, nomor 1} : halaman 1-16
\bibitem{3} Huarng, K.,Yu, T.H.K., 2006, \emph{Ratio-based lengths of intervals to improve fuzzy time series forecasting}, \emph{IEEE Trans. Syst. Man, Cybern. Part B Cybern},\textbf{volume 36, nomor 2} : halaman 328-340
\bibitem{4} Mashuri, C., Suryono, S., Suseno, J.E. , 2018, \emph{Prediction of Safety Stock Using Fuzzy Time Series (FTS) and Technology of Radio Frequency Identification (RFID) for Stock Control at Vendor Managed Inventory (VMI)}, \emph{E3S Web Conf.},\textbf{volume 31} : halaman 0-4
\bibitem{5} Suesut, T., Gulphanich, S., Nilas, P., Roengruen, P., Tirasesth, K. , 2004, \emph{Demand forecasting approach inventory control for warehouse automation}, \emph{IEEE Reg. 10 Annu. Int. Conf. Proceedings/TENCON},\textbf{volume B} : halaman 438-441
\bibitem{6} News, A. 10 negara penghasil karet alami terbesar di dunia, 2021, diakses 21 Desember 2021
\bibitem{7} Suryana, A., Goenadi, D.H., Supriadi, M., Wibawa, G., Sarjono, M., Hadi, P.U., 2007, \emph{Prospek dan Arah Pengembangan Agribisnis Karet}, Edisi ke-2, Badan Litbang Pertanian, Jakarta.
\bibitem{8} Lee, L.W., Wang, L.H., Chen, S.M., Leu, Y.H., 2006, \emph{Handling forecasting problems based on two-factors high-order fuzzy time series}, \emph{IEEE Trans. Fuzzy Syst.},\textbf{volume 14, nomor 3} : halaman 468-477
\end{thebibliography}
\end{document}
