\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}

\markboth{Etna Vianita dkk} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{\emph{Fuzzy Time Series} Orde Tinggi berdasarkan Rasio Interval}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{\emph{Fuzzy Time Series} Orde Tinggi berdasarkan Rasio Interval}

\author{$^{1}$ETNA VIANITA, $^{2}$HERU TJAHJANA, $^{3}$TITI UDJIANI}

\address{Program Studi S2 Matematika,\\
Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro,\\
Jalan Prof. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, Jawa Tengah, Indonesia.\\
email : $^{1}$\email{etnavianita21@students.undip.ac.id, $^{2}$redemtusherutjahjana@lecturer.undip.ac.id, $^{3}$udjianititi@lecturer.undip.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{17} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima 1 Juni 2020 \quad Direvisi 22 Juni 2020 \quad Dipublikasikan 6 Juli 2020 %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}.
$Fuzzy$ $time$ $series$ (FTS) adalah metode peramalan untuk memprediksi data time series dibentuk dalam nilai-nilai linguistik yang diperkenalkan pertama kali oleh Song dan Chissom. Metode peramalan FTS terus berkembang misalnya pengembangan pada partisi interval pembicaraan menggunakan rasio interval oleh Huarng dan pengembangan pada relasi logika fuzzy (FLR) orde tinggi oleh Chen. Kelemahan metode peramalan FTS adalah penggunaan FTS orde satu untuk menangani masalah peramalan di mana hasil peramalan tidak cukup baik. FTS orde tinggi digunakan untuk menangani masalah peramalan fuzzy sehingga dapat mengatasi kekurangan ini. Penelitian ini memodifikasi metode Chen orde tinggi pada langkah partisi interval pembicaraan menggunakan rasio interval untuk meningkatkan akurasi peramalan. Langkah pertama adalah pembentukan semesta pembicaraan. Kedua, mempartisi semesta pembicaraan menjadi beberapa interval dengan menggunakan rasio interval. Ketiga, fuzzyfikasi. Keempat, membangun relasi logika fuzzy (FLR) dan grup relasi logika fuzzy (FLRG). Kelima, defuzzyfikasi. Hasil penggabungan metode Huarng-Chen dibandingkan dengan metode Chen. Simulasi yang dilakukan menggunakan data produksi karet Indonesia tahun 2000-2020. Hasil dan eror dari metode diuji menggunakan $average$ $forecasting$ $error$ $rate$ (AFER) dan $mean$ $square$ $error$ (MSE). Diperoleh hasil modifikasi menghasilkan eror yang lebih kecil daripada metode sebelumnya.
\end{abstract}

\keywords{\emph{Fuzzy time series}, Rasio interval, Peramalan}

\section{Pendahuluan}
Peramalan memiliki andil di berbagai bidang untuk mengambil keputusan yang akan terjadi di masa depan menggunakan data historis di masa sebelumnya. Salah satu metode peramalan yang menggunakan data time series adalah metode peramalan \emph{fuzzy time series} (FTS). Penelitian yang berkaitan dengan peramalan berdasarkan FTS pertama kali diperkenalkan tahun 1993 oleh Song dan Chissom, hingga saat ini telah banyak dikembangkan oleh para peneliti. Chen memperkenalkan metode baru yang lebih efisien yang mana metode Chen menggunakan operasi aritmatika yang disederhanakan daripada operasi komposisi maks-min yang disajikan dalam Song dan Chissom. Chen pada tahun 1996 merepresentasikan FLR pada orde satu \cite{1}. Beberapa penelitian telah dilakukan dengan mengimplementasikan peramalan FTS orde satu seperti pada \cite{9} melakukan peramalan harga emas Indonesia dan \cite{13} melakukan peramalan beban listrik menggunakan FTS orde satu. Kemudian pada tahun 2002 Chen mengkonstruksi FLR untuk orde tinggi \cite{2}. Konstruksi pembagian interval pada semesta pembicaraan mempunyai pengaruh dalam meningkatkan akurasi permalan FTS. Huarng \cite{3} mengembangkan konstruksi FTS untuk FLR biasa orde satu pada langkah pembagian interval berdasarkan ratio untuk meningkatkan akurasi peramalan.

Pada masalah manajemen ekonomi peramalan yang akurat dan dapat dipertanggungjawabkan sangat diperlukan sehingga dapat mencegah kerugian biaya produksi dan mendukung manajemen dalam pengambilan keputusan  \cite{4}, \cite{5}. Indonesia merupakan penghasil karet terbesar ke-2 untuk komoditas karet dunia \cite{6} sehingga potensi besar dimiliki oleh Indonesia untuk menjadi produsen utama dalam dekade mendatang \cite{7}. Potensi tersebut dapat termanfaatkan dengan baik salah satunya dengan melakukan estimasi terhadap produksi karet Indonesia. Proses estimasi produksi harus didasarkan pada data produksi pada tahun-tahun sebelumnya \cite{4}.

\section{\emph{Fuzzy Time Series} (FTS)}

Pada tahun 1993, Song dan Chissom pertama kali memperkenalkan definisi FTS \cite{10}, dimana nilai-nilai dari FTS direpresentasikan oleh himpunan fuzzy.

\begin{definition} $\cite{10}$ \label{th1}
Representasi himpunan fuzzy yang didefiniskan dalam semesta pembicaraan \[A=f_A(u_1)/u_1+f_A(u_2)/u_2+...+f_A(u_n)/u_n\]
dimana $f_A$ adalah fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy $A$, $f_A: U\rightarrow[0,1]$, $f_A(u_i)$ adalah derajat keanggotaan $u_i$ dari himpunan fuzzy $A$, $f_A(\mu_i) \in [0,1]$, dan $1\leq n\leq i$ ($i=1,2,...$).
\end{definition}

\begin{definition} $\cite{14}$ \label{th2}
Misalkan $Y(t)$ ($t=...,0,1,2,...$) adalah semesta pembicaraan subset dari $R$. Asumsikan bahwa $f_i(t)$ ($i=1,2,...$) adalah definisi dalam semesta pembicaraan $Y(t)$ dan asumsikan bahwa $F(t)$ adalah kumpulan dari $f_i(t)$ ($i=1,2,...$), kemudian $F(t)$ disebut FTS dari $Y(t)$ ($t=...,0,1,2,...$).
\end{definition}

\begin{definition} $\cite{14}$ \label{th3}
$F(t)$ adalah FTS dan $F(t)=F(t-1) \circ R(t,t-1)$, dimana $R(t,t-1)$ adalah relasi fuzzy dan "$\circ$" adalah operator komposisi max-min, kemudian $F(t)$ terjadi disebabkan oleh $F(t-1)$ dan hal tersebut dinyatakan sebagai "$F(t-1)\rightarrow F(t)$", dimana $F(t-1)$ dan $F(t)$ adalah himpunan fuzzy.
\end{definition}

\begin{definition} $\cite{11}$ \label{th5}
Misalkan $F$ adalah FTS. Jika $F(t)$ terjadi dikarenakan $F(t-1),F(t-2),...,F(t-h)$ kemudian dinyatakan sebagai $F(t-h)...F(t-2)F(t-1) \rightarrow F(t)$ maka $F(t-h)...F(t-2)F(t-1) \rightarrow F(t)$ disebut orde $h$ FLR dengan $h\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$. FLR dengan $h=1$ dan $h\geq 2$ masing-masing merupakan FLR orde satu dan FLR orde tinggi.
\end{definition}

\begin{definition} $\cite{2}$ \label{th7}
Jika $F(t)=A_j$, $F(t-1)=A_{i1}$, $F(t-2)=A_{i2}$, $F(t-h)=A_{ih}$ maka hubungan antara F(t) dan F(t-1),F(t-2),...,F(t-h) disebut sebagai FLR. Hubungan ini dapat dinyatakan dengan $A_{i_h},...,A_{i_2},A_{i_1} \rightarrow A_j$, dimana $A_{i_h},...,A_{i_2},A_{i_1}$ disebut kondisi sekarang dan $A_j$ disebut kondisi berikutnya dari FLR. Jika terdapat FLR mempunyai himpunan fuzzy yang sama pada kondisi sekarang maka dapat dikelompokkan ke dalam grup relasi logika fuzzy (FLRG).
\end{definition}

\begin{definition} $\cite{1}$ \label{th4}
Fuzzyfikasi data dari tahun ke-$i,i+1,...,i+h$ berturut-turut adalah $A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_h}$ dan asumsikan bahwa fuzzyfikasi data dari tahun ke-${i+(h+1)}$ adalah $A_j$, dimana $A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_h}$ dan $A_j$ adalah himpunan fuzzy yang didefiniskan didalam semesta pembicaraan $U$, maka relasi logika fuzzy (FLR) dapat direpresentasikan oleh $A_{i_h},...,A_{i_2},A_{i_1} \rightarrow A_j$, dimana $A_{i_h},...,A_{i_2},A_{i_1}$ disebut kondisi sekarang dari FLR dan $A_j$ disebut kondisi berikutnya dari FLR.
\end{definition}


\subsection{Fuzzy Time Series \emph{(FTS) Chen Orde Tinggi}}
Tahapan-tahapan peramalan pada data runtun waktu menggunakan metode FTS Chen orde tinggi adalah sebagai berikut \cite{2}:
\begin{enumerate}
  \item[1.] Menentukan semesta pembicaraan $U = [D_{min}-D_1,D_{max}+D_2]$ dimana $D_{min}$ adalah nilai data terkecil, $D_{max}$ adalah nilai data terbesar, $D_1$ dan $D_2$ merupakan dua nilai bernilai positif.
  \item[2.] Partisi $U$ ke dalam tujuh interval sama panjang $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7$.
  \item[3.] Proses fuzzyfikasi yakni mengubah nilai numerik menjadi nilai linguistik fuzzy.
  \item[4.] Menentukan FLR orde tinggi dan FLRG sesuai dengan definisi \ref{th5} dan definisi \ref{th7}.
  \item[5.] Proses defuzzyfikasi yakni mengubah nilai linguistik fuzzy menjadi nilai numerik.
  \item[6.] Hitung error menggunakan AFER dan MSE.
\end{enumerate}

\subsection{Fuzzy Time Series \emph{(FTS) Huarng Rasio Interval}}
Tahapan-tahapan peramalan pada data runtun waktu menggunakan metode FTS Huarng adalah sebagai berikut \cite{3}:
\begin{enumerate}
  \item[1.] Menentukan semesta pembicaraan $U = [D_{min}-D_1,D_{max}+D_2]$ dimana $D_{min}$ adalah nilai data terkecil, $D_{max}$ adalah nilai data terbesar, $D_1$ dan $D_2$ merupakan dua nilai bernilai positif.
  \item[2.] Partisi $U$ ke dalam beberapa interval dengan panjang interval yang berbeda menggunakan algoritma rasio interval \cite{3}.
  \item[3.] Proses fuzzyfikasi yakni mengubah nilai numerik menjadi nilai linguistik fuzzy.
  \item[4.] Menentukan FLR orde satu dan FLRG sesuai dengan definisi \ref{th5} dan definisi \ref{th7}.
  \item[5.] Proses defuzzyfikasi yakni mengubah nilai linguistik fuzzy menjadi nilai numerik.
  \item[6.] Hitung error menggunakan AFER dan MSE.
\end{enumerate}

\subsection{Fuzzy Time Series \emph{(FTS) Huarng-Chen}}
Tahapan-tahapan peramalan pada data runtun waktu menggunakan metode FTS Huarng-Chen adalah sebagai berikut:
\begin{enumerate}
  \item[1.] Menentukan semesta pembicaraan $U = [D_{min}-D_1,D_{max}+D_2]$ dimana $D_{min}$ adalah nilai data terkecil, $D_{max}$ adalah nilai data terbesar, $D_1$ dan $D_2$ merupakan dua nilai bernilai positif.
  \item[2.] Partisi $U$ ke dalam beberapa interval dengan panjang interval yang berbeda menggunakan algoritma rasio interval.
  \item[3.] Proses fuzzyfikasi yakni mengubah nilai numerik menjadi nilai linguistik fuzzy. 
  \item[4.] Menentukan FLR orde tinggi dan FLRG sesuai dengan definisi \ref{th5} dan definisi \ref{th7}.
  \item[5.] Proses defuzzyfikasi yakni mengubah nilai linguistik fuzzy menjadi nilai numerik.
  \item[6.] Hitung error menggunakan AFER dan MSE.
\end{enumerate}

\subsection{Akurasi Peramalan}
Nilai ramalan yang optimum memiliki tingkat kesalahan yang kecil dan akurasi yang dihasilkan tinggi merupakan tujuan dari metode peramalan. Berikut beberapa metode untuk mengukur tingkat akurasi:
\begin{enumerate}
 \item[1.] \emph{Mean Square Error} (MSE)
Metode \emph{Mean Sequare Error} (MSE) untuk mencari besarnya kesalahan kuadrat yang terjadi antara data hasil peramalan dan data aktual. Adapun perhitungan MSE \cite{2}:
  \begin{equation}\label{pers4}
MSE = \frac{\sum_{i=1}^{n} (F_i-A_i)^2}{n}
\end{equation}
  \item[2.] \emph{Average Forecasting} Error Rate (AFER)
Metode \emph{Average Forecast Error Rate} (AFER) untuk mencari besarnya kesalahan yang terjadi antara data hasil peramalan dan data aktual dihitung menggunakan formula \eqref{pers2} \cite{8} :
  \begin{equation}\label{pers3}
AFER = \frac{\sum_{i=1}^{n} |\frac{F_i-A_i}{A_i}|}{n} \times 100\%
\end{equation}
\end{enumerate}

dengan $A_i$ adalah data aktual pada waktu ke-$i$ dan $F_i$ adalah data hasil peramalan pada waktu ke-$i$. Kriteria keakuratan AFER yaitu jika $<10\%$ maka akurasi sangat baik.


\section{Peramalan menggunakan Metode Huarng-Chen}
Simulasi yang dilakukan menggunakan data produksi karet Indonesia tahun 2000-2020 \cite{15}.
\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & Produksi Karet (ton) \\
\hline 2000 & 1125,2  \\
\hline 2001	& 1723,3 \\
\hline 2002	& 1226,6 \\
\hline 2003	& 1396,2 \\
\hline 2004	&	1662 \\
\hline 2005	&	1838,7 \\
\hline 2006	&	2082,6 \\
\hline 2007	&	2176,7 \\
\hline 2008	&	2148,7 \\
\hline 2009	&	1918 \\
\hline 2010	&	2193,4 \\
\hline 2011	&	2359,8 \\
\hline 2012	&	2429,5 \\
\hline 2013	&	2655,94 \\
\hline 2014	&	2583,4 \\
\hline 2015	&	2568,6 \\
\hline 2016	&	2754,7 \\
\hline 2017	&	3050,2 \\
\hline 2018	&	3111,3 \\
\hline 2019	&	2926,6 \\
\hline 2020	&	2533,5	 \\		
\hline	
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Data Produksi Karet Indonesia Tahun 2000-2020}\label{tab1}
\end{center}
\end{table}
Berdasarkan algoritma Huarng dalam penentuan pembagian interval pada semesta pembicaraan, berikut langkah-langkahnya:
\begin{enumerate}
  \item[1.]	Tentukan nilai rasio dengan menggunakan rumus $\frac{\left|x_t-x_{t-1}\right|}{x_t}$, setelah itu temukan rasio terkecil yakni sebesar 0,572888442 kemudian dipetakan ke tabel basis diperoleh basis sebesar $1\%$.
  \item[2.] Tentukan rasio persentil, $\alpha$. Pilih $\alpha$ sebagai persentil ke-50 sehingga diperoleh rasio sebesar $1,12\%$. 	
  \item[2.] Data terkecil pada Tabel \ref{tab1} diperoleh sebesar 1125,2, menggunakan algoritma Huarng, diperoleh nilai $a=1$, $b=1$, $b'=b-1=0$   sehingga didapatkan $upper_0 = initial =1000$, ini artinya nilai $D_1=125,2$.
  \item[3.] Langkah selanjutnya, untuk memperoleh partisi interval, untuk $j\geq 1$ gunakan rumus $lower_j=upper_{j-1}$; $upper_j=(1+ratio)^j \times upper_0$; $interval_j=\left[lower_j,upper_j\right]$ diperoleh interval pada tabel \ref{etna}.
  \item[4.] Data terbesar pada tabel \ref{tab1} diperoleh sebesar 3111,3. Berdasarkan tabel \ref{etna}, diperoleh $upper_{12}=3280,889$, artinya nilai $D_2=169,5894833
$.
  \item[5.] Diperoleh semesta pembicaraan $U=\left[1000;3280,889\right]$
\end{enumerate}

Setelah diperoleh semesta pembicaraan $U$, dengan menggunakan algoritma Huarng otomatis diperoleh partisi interval pada semesta pembicaraan $U$ langkah selanjutnya adalah fuzzyfikasi yakni dengan pembentukan nilai-nilai linguistik. Kemudian pembentukan relasi logika fuzzy (FLR) dan grup relasi logika fuzzy (FLRG) dengan menggunakan metode Chen.

Implementasi metode FTS dalam penelitian ini yakni menggabungkan metode Huarng dan Chen untuk peramalan produksi karet di Indonesia tahun 2000-2020. Berdasarkan data berikut simulasi FTS orde empat berdasarkan rasio interval:
\begin{enumerate}
  \item[1.]	\textbf{Pembentukan semesta pembicaraan}.
  Dari data produksi karet diperoleh data minimum sebesar 1125,2 dan data maksimum sebesar 3111,3. Penentuan nilai $D_1$ dan $D_2$ menggunakan algoritma rasio interval \cite{3} dengan rasio 1,12 diperoleh nilai $D_1$=125,2 dan $D_2$=169,5894833 sehingga semesta pembicaraan untuk faktor utama yaitu $U=\left[1000;3280,889\right]$
  \item[2.] \textbf{Partisi semesta pembicaraan}.
  Berdasarkan algoritma rasio interval \cite{3} diperoleh 13 partisi $u_1, u_2, ..., u_{13}$ dengan panjang interval yang berbeda.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	 & Partisi $U$ \\
\hline $u_1$ & $\left[1000;1095,7\right]$  \\
\hline $u_2$ &	 $\left[1095,7;1200,55849\right]$ \\
\hline $u_3$ &	 $\left[1200,55849;1315,451937\right]$ \\
\hline $u_4$ &	 $\left[1315,451937;1441,340688\right]$ \\
\hline $u_5$ &	 $\left[1441,340688;1579,276992\right]$ \\
\hline $u_6$ &	 $\left[1579,276992;1730,4138\right]$ \\
\hline $u_7$ &	 $\left[1730,4138;1896,014401\right]$ \\
\hline $u_8$ &	 $\left[1896,014401;2077,462979\right]$ \\
\hline $u_9$ &	 $\left[2077,462979;2276,276186\right]$ \\
\hline $u_{10}$ &	 $\left[2276,276186;2494,115817\right]$ \\
\hline $u_{11}$ &	 $\left[2494,115817;2732,8027\right]$ \\
\hline $u_{12}$ &	 $\left[2732,8027;2994,331919\right]$ \\
\hline $u_{13}$ &	 $\left[2994,331919;3280,889483\right]$ \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Partisi Semesta Pembicaraan}\label{etna}
\end{center}
\end{table}
Hasil partisi interval pada semesta pembicaraan tampak pada tabel \ref{etna}.
  \item[3.] \textbf{Fuzzyfikasi}. Setelah diperoleh partisi interval, langkah berikutnya yakni melakukan fuzzyfikasi berdasarkan partisi interval yang telah terbentuk. Kelompokkan data yang ada sesuai dengan partisi interval. Pembentukan fuzzyfikasi dari nilai-nilai linguistik sebagai berikut:
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  A_1 &=& 1/u_1+0,5/u_2+0/u_3+...+0/u_{10}+0/u_{11}+0/u_{12} \\
  A_2 &=& 0,5/u_1+1/u_2+0,5/u_3+...+0/u_{10}+0/u_{11}+0/u_{12}\\
  A_3 &=& 0/u_1+0,5/u_2+1/u_3+0,5/u_4+...+0/u_{10}+0/u_{11}+0/u_{12}\\
          \vdots \\
  A_{12} &=& 0/u_1+0/u_2+0/u_3+...+0/u_{10}+0,5/u_{11}+1/u_{12}
\end{eqnarray*}
Dengan menggunakan data produksi karet Indonesia tahun 2000-2020 diperoleh fuzzyfikasi produksi karet terlihat pada tabel \ref{tab3}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & Produksi Karet (ton) \\
\hline 2000 & $A_2$\\
\hline 2001 & $A_6$\\
\hline 2002 & $	A_3$\\
\hline 2003 & $	A_4$\\
\hline 2004 & $	A_6$\\
\hline 2005 & $	A_7$\\
\hline 2006 & $	A_9$\\
\hline 2007 & $	A_9$\\
\hline 2008 & $	A_9$\\
\hline 2009 & $	A_8$\\
\hline 2010 & $	A_9$\\
\hline 2011 & $	A_{10}$\\
\hline 2012 & $	A_{10}$\\
\hline 2013 & $	A_{10}$\\
\hline 2014 & $	A_{11}$\\
\hline 2015 & $	A_{11}$\\
\hline 2016 & $	A_{12}$\\
\hline 2017 & $	A_{13}$\\
\hline 2018 & $	A_{13}$\\
\hline 2019 & $	A_{12}$\\
\hline 2020 & $A_{10}$\\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Fuzzyfikasi}\label{tab3}
\end{center}
\end{table}
  \item[4.] \textbf{Relasi Logika Fuzzy (FLR) dan Grup Relasi Logika Fuzzh (FLRG)}. Pada tahap ini setelah fuzzyfikasi terbentuk langkah berikutnya adalah pembentukan FLR orde empat. Berdasarkan metode Chen, konstruksi FLR orde empat $F(t-4)F(t-3)F(t-2)F(t-1)\rightarrow F(t)$ ditunjukkan pada Tabel \ref{tab4}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & FLR \\
\hline 2000 & NA  \\
\hline 2001 & NA \\
\hline 2002 & NA \\
\hline 2003 & NA \\
\hline 2004 & $A_2, A_6, A_3, A_4\rightarrow A_6$ \\
\hline 2005 & $A_6, A_3, A_4, A_6\rightarrow A_7$ \\
\hline 2006 & $A_3, A_4, A_6, A_7\rightarrow A_9$ \\
\hline 2007 & $A_4, A_6, A_7, A_9 \rightarrow A_9$ \\
\hline 2008 & $A_6, A_7, A_9, A_9\rightarrow A_9$ \\
\hline 2009 & $A_7, A_9, A_9, A_9\rightarrow A_8$ \\
\hline 2010 & $A_9, A_9, A_9, A_8 \rightarrow A_9$ \\
\hline 2011 & $A_9, A_9, A_8, A_9 \rightarrow A_{10}$ \\
\hline 2012 & $A_9, A_8, A_9, A_{10} \rightarrow A_{10}$ \\
\hline 2013 & $A_8, A_9, A_{10}, A_{10} \rightarrow A_{10}$ \\
\hline 2014 & $A_9, A_{10}, A_{10}, A_{11} \rightarrow A_{11}$ \\
\hline 2015 & $A_{10}, A_{10}, A_{11},   A_{11}\rightarrow A_{11}$ \\
\hline 2016 & $A_{10}, A_{11},   A_{11}, A_{11}\rightarrow A_{12}$ \\
\hline 2017 & $A_{11}, A_{11}, A_{11}, A_{12}\rightarrow A_{13}$ \\
\hline 2018 & $A_{11}, A_{11}, A_{12}, A_{13}\rightarrow A_{13}$ \\
\hline 2019 & $A_{11}, A_{12}, A_{13}, A_{13} \rightarrow A_{12}$ \\
\hline 2020 &  $A_{12}, A_{13}, A_{13}, A_{12}\rightarrow A_{11}$  \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Relasi Logika Fuzzy (FLR) Orde Empat}\label{tab4}
\end{center}
\end{table}
Dilanjutkan pembentukan grup relasi logika fuzzy (FLRG) yaitu dengan cara mengelompokkan sisi kiri pada tabel FLR atau yang sama sehingga digabungkan dalam sebuah grup yang sesuai, lihat Tabel \ref{tab5}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Grup & FLRG \\
\hline 1 & $A_2, A_6, A_3, A_4\rightarrow A_6$\\
\hline 2 & $A_6, A_3, A_4, A_6\rightarrow A_7$ \\
\hline 3 & $A_3, A_4, A_6, A_7\rightarrow A_9$ \\
\hline 4 & $A_4, A_6, A_7, A_9 \rightarrow A_9$ \\
\hline 5 & $A_6, A_7, A_9, A_9\rightarrow A_9$ \\
\hline 6 & $A_7, A_9, A_9, A_9\rightarrow A_8$ \\
\hline 7 & $A_9, A_9, A_9, A_8 \rightarrow A_9$ \\
\hline 8 & $A_9, A_9, A_8, A_9 \rightarrow A_{10}$ \\
\hline 9 & $A_9, A_8, A_9, A_{10} \rightarrow A_{10}$ \\
\hline 10 & $A_8, A_9, A_{10}, A_{10} \rightarrow A_{10}$ \\
\hline 11 & $A_9, A_{10}, A_{10}, A_{11} \rightarrow A_{11}$ \\
\hline 12 & $A_{10}, A_{10}, A_{11},   A_{11}\rightarrow A_{11}$ \\
\hline 13 & $A_{10}, A_{11},   A_{11}, A_{11}\rightarrow A_{12}$ \\
\hline 14 & $A_{11}, A_{11}, A_{11}, A_{12}\rightarrow A_{13}$ \\
\hline 15 & $A_{11}, A_{11}, A_{12}, A_{13}\rightarrow A_{13}$ \\
\hline 16 & $A_{11}, A_{12}, A_{13}, A_{13} \rightarrow A_{12}$ \\
\hline 17 &  $A_{12}, A_{13}, A_{13}, A_{12}\rightarrow A_{11}$  \\
\hline 18 & $A_{13}, A_{13}, A_{12}, A_{11}\rightarrow \#$ \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Grup Relasi Logika Fuzzy (FLRG) Orde Empat}\label{tab5}
\end{center}
\end{table}
  \item[5.] \textbf{Defuzzyfikasi}. Setelah FLRG terbentuk maka langkah berikutnya adalah proses hasil peramalan dengan mengubah bilangan fuzzy kembali ke bilangan tegas (defuzzyfikasi). Misalnya untuk tahun 2004 fuzzyfikasi FLR $A_2, A_6, A_3, A_4\rightarrow A_6$ dimana nilai keanggotaan maksimum dari himpunan fuzzy $A_6$ pada sisi kanan terjadi pada interval $u_6$ = $\left[1579,276992;1730,4138\right]$ dan titik tengah dari interval $u_6$ adalah 1654,845396. Sehingga, nilai peramalan tahun 2004 sama dengan 1689.337849. Hasil defuzzyfikasi tahun yang lain selengkapnya lihat pada Tabel \ref{tab6}.
  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline	Tahun & Hasil akhir peramalan \\
\hline 2000 & Na\\
\hline 2001 & Na\\
\hline 2002 & Na\\
\hline 2003 & Na\\
\hline 2004 & 1654,845396\\
\hline 2005 & 1813,2141\\
\hline 2006 & 2176,869582\\
\hline 2007 & 2176,869582\\
\hline 2008 & 2176,869582\\
\hline 2009 & 1986,73869\\
\hline 2010 & 2176,869582\\
\hline 2011 & 2385,196001\\
\hline 2012 & 2385,196001\\
\hline 2013 & 2613,459258\\
\hline 2014 & 2613,459258\\
\hline 2015 & 2613,459258\\
\hline 2016 & 2863,56731\\
\hline 2017 & 3137,610701\\
\hline 2018 & 3137,610701\\
\hline 2019 & 2863,56731\\
\hline 2020 & 2613,459258\\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Grup Relasi Logika Fuzzy (FLRG) Orde Empat}\label{tab6}
\end{center}
\end{table}

  \item[6.] \textbf{MSE dan AFER}. Menghitung akurasi peramalan menggunakan persamaan (\ref{pers3}) dan persamaan \eqref{pers4}. Berdasarkan simulasi dengan menggunakan persamaan (\ref{pers3}) dan \eqref{pers4} diperoleh nilai MSE dan AFER untuk orde satu $(h=1)$ dan orde tinggi $(h\geq 2)$ dari metode Chen dan Huarng-Chen masing-masing dapat dilihat pada Tabel \ref{tab7} dan Tabel \ref{tab8}.
\end{enumerate}

  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Orde $(h)$ ke- & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline Chen & 69882,2 & 24715,5 & 25998,2 & 26544,6  & 27430,5 \\
\hline Huarng-Chen & 27603,5 & 2871,7 & 2976,5 & 3132,9 & 3325,5 \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Hasil Akurasi Peramalan MSE Metode Chen dan Metode Huarng-Chen}\label{tab7}
\end{center}
\end{table}

Berdasarkan tabel \ref{tab7} hasil akurasi peramalan menggunakan MSE untuk metode yang diusulkan yakni dengan menggabungkan metode Huarng rasio interval dengan metode Chen orde tinggi menghasilkan MSE yang kecil atau error yang kecil daripada metode Chen. Perhatikan orde tinggi $(h\geq 2)$ memiliki error yang kecil daripada orde satu $(h=1)$. Sehingga, modifikasi metode dengan menggunakan metode Huarng-Chen orde tinggi $(h\geq 2)$ memiliki nilai error yang lebih kecil daripada metode Chen.

  \begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{small}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline	Orde $(h)$ ke- & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline Chen & 10,99\% & 4,58\% & 4,66\% & 4,39\% & 4,24\% \\
\hline Huarng-Chen & 3,67\% & 1,91\% & 1,87\% & 1,90\% & 1,99\% \\
\hline								
\end{tabular}
\end{small}
\caption{Hasil Akurasi Peramalan AFER Metode Chen dan Metode Huarng-Chen}\label{tab8}
\end{center}
\end{table}

Berdasarkan tabel \ref{tab8} hasil akurasi peramalan menggunakan AFER untuk metode yang diusulkan yakni dengan menggabungkan metode Huarng rasio interval dengan metode Chen orde tinggi menghasilkan MSE yang kecil atau error yang kecil daripada metode Chen. AFER metode Chen orde satu $(h=1)$ sebesar $10,99\%$ yang artinya ketepatan peramalan baik, sedangkan untuk metode Chen orde tinggi $(h\geq 2)$ nilai AFER sekitar $4\%$ yang artinya ketepatan metode peramalan sangat baik. Perhatikan orde tinggi $(h\geq 2)$ memiliki error yang kecil daripada orde satu $(h=1)$. Sehingga, modifikasi metode dengan menggunakan metode Huarng-Chen orde tinggi $(h\geq 2)$ memiliki nilai error yang lebih kecil daripada metode Chen.

\begin{figure}[htbp]
\center{\includegraphics[width=12cm]{grafik1.jpg}}
 \caption{Grafik Data Aktual dan Hasil Peramalan} \label{gb1}
\end{figure}

Gambar \ref{gb1} merupakan grafik data aktual dari tahun 2004-2020 dan hasil peramalan metode Huarng-Chen orde tinggi untuk $h=4$. Pada gambar \ref{gb1} dapat dilihat bahwa hasil peramalan mendekati data aktual dengan nilai akurasi AFER sesuai dengan tabel \ref{tab8} yakni nilai error sekitar $1\%$. Nilai akurasi AFER metode Huarng-Chen orde tinggi $(h\geq 2)$ memiliki nilai keakuratan yang sangat baik karena nilai AFER $<10\%$.

\section{Kesimpulan}
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, diperoleh hasil MSE dan AFER pada modifikasi metode Chen (metode Huarng-Chen) lebih kecil daripada metode Chen pada orde tinggi $(h\geq 2)$. Nilai AFER metode Huarng-Chen orde tinggi $(h\geq 2)$ berdasarkan rasio interval sebesar $<10\%$ yang artinya ketepatan peramalan sangat baik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa modifikasi metode Chen dengan menggabungkannya dengan metode Huarng menghasilkan nilai peramalan yang sangat baik.

\begin{thebibliography}{0}
\bibitem{1} Chen, S.M., 1996, \emph{Forecasting enrollments based on fuzzy time series}, \emph{Fuzzy Sets Syst.},\textbf{volume 81} : halaman 311-319
\bibitem{2} Chen, S.M., 2002, \emph{Forecasting enrollments based on high-order fuzzy time series}, \emph{Cybern. Syst.},\textbf{volume 33, nomor 1} : halaman 1-16
\bibitem{3} Huarng, K.,Yu, T.H.K., 2006, \emph{Ratio-based lengths of intervals to improve fuzzy time series forecasting}, \emph{IEEE Trans. Syst. Man, Cybern. Part B Cybern},\textbf{volume 36, nomor 2} : halaman 328-340
\bibitem{4} Mashuri, C., Suryono, S., Suseno, J.E. , 2018, \emph{Prediction of Safety Stock Using Fuzzy Time Series (FTS) and Technology of Radio Frequency Identification (RFID) for Stock Control at Vendor Managed Inventory (VMI)}, \emph{E3S Web Conf.},\textbf{volume 31} : halaman 0-4.
\bibitem{5} Suesut, T., Gulphanich, S., Nilas, P., Roengruen, P., Tirasesth, K. , 2004, \emph{Demand forecasting approach inventory control for warehouse automation}, \emph{IEEE Reg. 10 Annu. Int. Conf. Proceedings/TENCON},\textbf{volume B} : halaman 438-441.
\bibitem{6} News, A. 10 negara penghasil karet alami terbesar di dunia, 2021, diakses 21 Desember 2021.
\bibitem{7} Suryana, A., Goenadi, D.H., Supriadi, M., Wibawa, G., Sarjono, M., Hadi, P.U., 2007, \emph{Prospek dan Arah Pengembangan Agribisnis Karet}, Edisi ke-2, Badan Litbang Pertanian, Jakarta.
\bibitem{8} Lee, L.W., Wang, L.H., Chen, S.M., Leu, Y.H., 2006, \emph{Handling forecasting problems based on two-factors high-order fuzzy time series}, \emph{IEEE Trans. Fuzzy Syst.},\textbf{volume 14, nomor 3} : halaman 468-477.
\bibitem{9} Aditya, F., Devianto, D., Maiyastri., 2019, \emph{Peramalan Harga Emas Indonesia menggunakan Metode Fuzzy Time Series Klasik}, \emph{Jurnal Matematika UNAND},\textbf{volume VIII no. 2} : halaman 45-52.
\bibitem{10} Song, Q. and Chissom, B.S., 1993, \emph{Fuzzy Time Series and Its Models}, \emph{Fuzzy Sets Syst.}, \textbf{vol. 54, no. 3}: halaman 269-277.
\bibitem{11} Jilani, T.A., Burney, S.M.A., Ardil, C., 2007, \emph{Multivariate High Order Fuzzy Time Series Forecasting for Car Road Accidents}, \emph{World Academy of Science, Engineering and Technology}, \textbf{vol. 2, no. 1}: halaman 288-293.
\bibitem{12} Gautam, S.S., Abhishekh, Singh, S.R., 2018, \emph{New High-order Approach for Forecasting Fuzzy Time Series Data}, \emph{Journal of Computational Intelligence and Apllications}, \textbf{Vol. 17, No.4}: 17 halaman.
\bibitem{13} Fauziah, L., Devianto D., Maiyastri., 2019, \emph{Peramalan Beban Listrik Jangka Menengah di Wilayah Teluk Kuantan dengan Metode Fuzzy Time Series Cheng}, \emph{Jurnal Matematika UNAND},\textbf{volume VIII no. 2} : halaman 84-92.
\bibitem{14} Lee, L-W., Wang, L-H., Chen, S-M., 2006, \emph{IEEE Transactions on Fuzzy Systems}, \textbf{vol. 14, no. 3}: halaman 468-477.
\bibitem{15} Badan Pusat Statistika. https://www.bps.go.id/, diakses 1 Agustus 2021.
\end{thebibliography}
\end{document}