\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND



\hyphenation{di-tulis-kan de-ngan pa-ra-me-ter lem-but al-go-rit-ma deng-an di-de-fi-ni-si-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\makeatletter
\DeclareRobustCommand{\divdiff}{\mathrel{\mathpalette\div@diff\relax}}
\newcommand{\div@diff}[2]{%
  \mathstrut\ooalign{\hidewidth$\m@th#1|$\hidewidth\cr$\m@th#1\bigtriangleup$\cr}%
}
\makeatother

\makeindex 
\hyphenation{meng-ana-li-sis ma-te-ri sua-tu de-fi-ni-si se-mes-ta di-ke-ta-hui deng-an je-las-nya him-pu-nan se-be-lum di-ben-tuk ber-kai-tan di-de-fi-ni-si-kan di-a-tas se-hing-ga me-ngan-dung ber-se-suai-an per-ha-ti-kan ham-pi-ran un-tuk pa-ra-me-ter su-dah lem-but me-mi-li-ki e-kui-va-len kla-si-fi-ka-si ke-pu-tu-san al-go-rit-ma ben-dung-an pe-nye-lek-si-an men-daf-tar meng-ap-li-ka-si-kan meng-am-bil di-pe-ro-leh di-da-pat-kan meng-ha-sil-kan ko-lek-si peng-ga-bung-an ter-se-but peng-ap-li-ka-sian ba-nyak pa-ling pe-ne-li-tian di-ha-rap-kan pe-ne-ra-pan }


\begin{document}

\markboth{LUTHFIAH KHAIRUNNISA} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{Analisis Kestabilan Model Inang Parasit}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{ANALISIS KESTABILAN MODEL INANG PARASIT}

\author{LUTHFIAH KHAIRUNNISA, MUHAFZAN\footnote{Coresponding author} , AHMAD IQBAL BAQI}

\address{Program Studi S1 Matematika,\\
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,\\
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.\\
email : \email{luthfiahk99@gmail.com, muhafzan@sci.unand.ac.id, baqi@sci.unand.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND
\begin{abstract}
\begin{center}
%Diterima 1 Agustus 2021 \quad Direvisi 22 Juni 2021 \quad Dipublikasikan 6 Juli 2021 %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}
\textbf{Abstrak}.
Dalam makalah ini, dikaji kestabilan model inang parasit Nicholson-Bailey dengan menggunakan fungsi pertumbuhan Hassel. Model inang parasit digambarkan dalam bentuk persamaan beda non linier diskrit. Dari hasil analisis diperoleh tiga titik tetap yang kestabilannya ditentukan oleh tingkat reproduksi inang.
\end{abstract}

\keywords{Model Inang Parasit, Persamaan Beda Non Linier, Kestabilan Titik Tetap}

\section{Pendahuluan}

Dalam suatu ekosistem, setiap makhluk hidup saling berinteraksi untuk\linebreak kelangsungan hidupnya. Interaksi antar spesies makhluk hidup akan mempengaruhi kehidupan masing-masing populasinya. Interkasi inang dan parasit merupakan salah satu interaksi antar spesies makhluk hidup. Salah satu contoh interaksi inang\linebreak parasit ini adalah tawon bracon dan inangnya, antara lain kepik dan wereng \cite{10}. 

Kajian matematika tentang interaksi antara inang dan parasit \linebreak pertama kali diperkenalkan oleh Nicholson dan Bailey pada tahun 1935 \cite{9}.\linebreak Secara umum, model inang parasit diberikan dalam bentuk sistem persamaan beda berikut \cite{8}
\begin{eqnarray}\label{msatu}
\begin{split}
H(k+1)&=& \mu~H(k)~f(H(k),P(k))~~~\\
P(k+1)&=& \ell H(k)[1-f(H(k),P(k))],
\end{split}
\end{eqnarray}
dengan $H(k)$ menyatakan populasi inang dewasa pada musim $k$, $P(k)$\linebreak menyatakan populasi parasit dewasa, pada musim $k$, dan $\mu>1$ adalah laju\linebreak reproduksi inang. Fungsi $f(H(k),P(k))$ adalah fraksi dari larva inang yang tidak terinfeksi. Kemudian, $H(k)[1-f(H(k),P(k))]$ adalah kepadatan bersih larva inang yang terinfeksi, dengan setiap larva inang menghasilkan $\ell$ parasit dewasa pada musim berikutnya \cite{8}.

Dengan mengunakan fungsi pertumbuhan Hassel \cite{3} untuk inang 
\begin{eqnarray*}
f(H(k),P(k))=e^{-cP(k)}, ~~\mu=\frac{R}{(1+aH(k))^b},
\end{eqnarray*}
dengan $R$ menyatakan tingkat reproduksi inang dalam fungsi pertumbuhan Hassel, dan mengambil kesuburan parasit ($\ell$) dan tingkat \emph{feedback} inang parasit ($a$) masing-masing bernilai $1$, persamaan (\ref{msatu}) menjadi
\begin{eqnarray} \label{111}
\begin{split}
H(k+1)&=& \frac{RH(k)}{(1+ H(k))^b} e^{-cP(k)}\\
P(k+1)&=& H(k) (1-e^{-cP(k)}),
\end{split}
\end{eqnarray}
dengan $k \in \mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$. Parameter $b$, dan $c$  adalah positif dengan $b$ menyatakan tingkat \emph{feedback} inang parasit, dan $c$ menyatakan tingkat kemampuan parasit mendapatkan inang \cite{3,8}. Model (\ref{111}) telah dikaji ileh Ufuktepe dan Kapcak dalam \cite{12}.

Pada makalah ini, dikaji kembali kestabilan model inang parasit (\ref{111}) dengan memvariasikan nilai-nilai parameter yang terkait.


\section{Landasan Teori}
\subsection{Matriks}

Matriks adalah susunan angka-angka yang berbentuk persegi atau persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.  Matriks $A$ dengan $m$ baris dan $n$ kolom disebut sebagai matriks berukuran $m\times{n}$ dinotasikan sebagai berikut :

\begin{center}
$A=\left[\begin{array}{ccc}
	a_{11}&\hdots &a_{1n}\\
	\vdots &\vdots &\vdots \\
	a_{m1}&\hdots &a_{mn}\\
\end{array}\right].$
\end{center}

Matriks persegi  $A_{n\times{n}}$ dikatakan memiliki invers jika terdapat matriks $B_{n\times{n}}$ sedemikian sehingga
 \begin{eqnarray*}
 AB=BA=I,
 \end{eqnarray*}
dengan $I_{n\times{n}}$ adalah matriks identitas. Matriks $A$ dikatakan non-singular jika $det(A)\neq{0}$, sebaliknya dikatakan matriks singular \cite{4}.
 \begin{definition}\textsc{\cite{4}}
Misalkan $A$ adalah matriks $n\times{n}$. Vektor tak nol \textbf{\emph{x}} di $\mathbb{R}^{n}$ disebut vektor eigen bagi $A$ jika $A\textbf{\emph{x}}$ adalah kelipatan skalar dari \textbf{\emph{x}}, yaitu
 \begin{eqnarray} \label{211}
 {A\textbf{\emph{x}}=\lambda{\textbf{\emph{x}}}}
 \end{eqnarray}
untuk suatu skalar $\lambda$. Skalar $\lambda$ disebut nilai eigen dari $A$, yang berkaitan dengan vektor eigen $\textbf{\emph{x}}$.
 \end{definition}
Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks $A_{n\times{n}}$, tulis (\ref{211}) \linebreak sebagai :
\begin{eqnarray} \label{212}
(\lambda{I}-A){\textbf{{x}}}=\textbf{0}.				
\end{eqnarray}
Persamaan (\ref{212}) merupakan suatu sistem persamaan linier homogen. Agar\linebreak persamaan (\ref{212}) memiliki solusi tak nol $\textbf{x}$, maka mestilah
\begin{eqnarray} \label{213}
{det(\lambda{I}-A)=0}.				
\end{eqnarray}
Persamaan (\ref{213}) disebut persamaan karakterisktik bagi matriks $A$.


\subsection{Persamaan Beda dan Kestabilannya}
Suatu sistem persamaan beda adalah suatu sistem persamaan yang berbentuk\linebreak sebagai berikut :
\begin{eqnarray} \label{221}
\textbf{x}(k+1)=\textbf{f}(\textbf{x}(k)),
\end{eqnarray} 

Jika  $\textbf{f}$ linier maka persamaan (\ref{221}) disebut persamaan beda linier, sedangkan jika $\textbf{f}$ non linier maka persamaan (\ref{221}) disebut persamaan beda non linier \cite{1}. Secara khusus, bentuk persamaan beda linier dapat ditulis sebagai berikut
\begin{eqnarray}\label{222}
\textbf{x}(k+1)=A\textbf{x}(k),~~~\textbf{x}({k_0})={\textbf{x}_0},~~~k\ge{k_0}\ge 0.	
\end{eqnarray}

Salah satu kajian dari sistem persamaan beda adalah kestabilan titik tetap dari sistem tersebut. Dalam \cite{1} disebutkan bahwa, suatu titik $\mathbf{x}^* \in \mathbb{R}^n$ dikatakan titik tetap dari sistem (\ref{221}) jika
\begin{eqnarray} 
\textbf{f}(\mathbf{x}^*)=\mathbf{x}^*
\end{eqnarray}
 
Untuk sistem linier, suatu titik $\textbf{x}^*$ merupakan titik tetap dari sistem (\ref{222}) jika
\begin{eqnarray}\label{2231}
A\textbf{x}^*=\textbf{x}^*
\end{eqnarray}
Persamaan (\ref{2231}) dapat ditulis menjadi $(A-I)\textbf{x}^*=\textbf{0}$. Jika $(A-I)$ non singular, maka $\textbf{x}^*=\textbf{0}$ adalah satu-satunya titik tetap. Sedangkan jika $(A-I)$ singular, maka terdapat tak hingga banyaknya titik tetap \cite{5}. 

\begin{definition}\emph{\cite{1}}\label{def241}
Titik tetap $\mathbf{x}^\ast$ dari sistem \emph{(\ref{221})} dikatakan
\begin{enumerate}
\item[1.] Stabil jika untuk setiap $\varepsilon>0$ dan $k>0$ terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga jika $\parallel\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^\ast\parallel<\delta$ maka $\parallel\mathbf{x}_k-\mathbf{x}^\ast\parallel<\varepsilon$ untuk semua \linebreak $k>k_0\geq0$.
\item[2.] Stabil asimtotik jika ia stabil dan terdapat $\mu$ sedemikian sehingga jika $\parallel\mathbf{x}_0-\mathbf{x}^\ast\parallel<\mu$ maka $\lim_{k \rightarrow \infty}\mathbf{x}_k=\mathbf{x}^\ast$.
\end{enumerate}
\end{definition}

Dalam \cite{2} disebutkan bahwa kestabilan titik tetap sistem (\ref{221})\linebreak dapat diperiksa dengan melinierkan sistem tersebut di sekitar titik tetap\linebreak $\textbf{x}^*$ dengan menggunakan ekspansi deret Taylor \cite{5}. 

Secara umum di $\mathbb{R}^{n}$ berlaku 
\begin{eqnarray}\label{jacob}
J_{\textbf{x}^*} =  \left(\begin{array}{cccc}
	{\frac{\partial f_{1}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{1}(k)}}&{\frac{\partial f_{1}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{2}(k)}}&{\cdots}&{\frac{\partial f_{1}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{n}(k)}}\\
	{\frac{\partial f_{2}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{1}(k)}}&{\frac{\partial f_{2}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{2}(k)}}&{\cdots}&{\frac{\partial f_{2}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{n}(k)}}\\
	{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\
	{\frac{\partial f_{n}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{1}(k)}}&{\frac{\partial f_{n}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{2}(k)}}&{\cdots}&{\frac{\partial f_{n}(\textbf{x}^*)}{\partial x_{n}(k)}}\\
	\end{array}\right).
\end{eqnarray}
Matriks $J_{\textbf{x}^*}$ disebut sebagai matriks Jacobian dari $\mathbf{f}$ di sekitar  titik tetap $\textbf{x}^*$.

\begin{definition}\emph{\cite{2}} \label{d222}
Misalkan $\mathbf{x}^*$ adalah titik tetap dari sistem persamaan \emph{(\ref{221})} dan $J_{\mathbf{x}^*}$ adalah matriks Jacobian dari $\mathbf{f}$ di sekitar titik tetap $\mathbf{x}^*$. Titik tetap $\mathbf{x}^*$ dikatakan titik tetap hiperbolik jika tidak ada nilai eigen dari matriks $J_{\mathbf{x}^*}$ yang modulusnya $1$.
\end{definition}
\begin{theorem}\emph{\cite{2}} \label{t221}
Titik tetap hiperbolik $\mathbf{x}^*$ dari sistem persamaan beda \emph{(\ref{221})} adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika modulus dari semua nilai eigen matriks Jacobian $J_{\mathbf{x}^*}$ kurang dari $1$.
\end{theorem}


\section{Pembahasan}
Untuk menganalisis perilaku model (\ref{111}), terlebih dahulu \linebreak ditentukan titik tetap-titik tetap dari sistem (\ref{111}). Misalkan $(H^*,P^*)$ adalah titik tetap yang diinginkan, maka
\begin{eqnarray}\label{fixpo}
\begin{split}
H^*&=&\frac{RH^*}{{(1+H^*)}^b}e^{-cP^*}\\
P^*&=&H^* (1-e^{-cP^*}).
\end{split}
\end{eqnarray}

Dari (\ref{fixpo}), diperoleh bahwa $(H^*,P^*)=(0,0)$ adalah suatu titik tetap dari sistem (\ref{111}).
Selanjutnya, untuk $H^*\neq 0$ dan $P^*=0$, dari \linebreak persamaan pertama (\ref{fixpo}) diperoleh
\begin{eqnarray}\label{303}
H^*&=&R^{\frac{1}{b}} -1,
\end{eqnarray}
yang menunjukkan bahwa $(H^*,P^*)=(R^{\frac{1}{b}} -1,0)$ adalah titik tetap kedua dari (\ref{111}). Kemudian, untuk $H^*\neq 0$ dan $P^*\neq 0$, persamaan pertama (\ref{fixpo}) menghasilkan
\begin{eqnarray}\label{304}
P^*&=&\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{{(1+H^*)}^b}\right),
\end{eqnarray}
sehingga $(H^*,P^*)=\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)$ merupakan titik tetap ketiga dari sistem (\ref{111}).

Matriks Jacobian dari titik tetap $(0,0)$ adalah
\begin{center}
$J_0=\left[\begin{array}{cc}
	{R} & {0}\\
	{0} & {0}\\
\end{array}\right].$
\end{center}
Nilai eigen dari $J_0$ adalah
\begin{center}
$\lambda_1=R$ dan $\lambda_2=0$.
\end{center}
Berdasarkan Definisi \ref{d222}, titik $(0,0)$ adalah titik tetap hiperbolik jika $|R|\neq1$.\linebreak Selanjutnya, berdasarkan Teorema \ref{t221}, titik tetap $(0,0)$ adalah stabil\linebreak asimtotik jika $0<R<1$.

Matriks Jacobian dari titik tetap $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)$ adalah
\begin{center}
$J_1=\left[\begin{array}{cc}
	{1+b(-1+R^{-\frac{1}{b}})} & {-c(-1+R^{\frac{1}{b}})}\\
	{0} & {c(-1+R^{\frac{1}{b}})}\\
\end{array}\right]$.
\end{center}
Nilai eigen dari $J_1$ adalah
\begin{center}
$\lambda_1=1+b(-1+R^{-\frac{1}{b}})$ dan $\lambda_2=c(-1+R^{\frac{1}{b}})$.
\end{center}
Berdasarkan Definisi \ref{d222}, titik $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)$ adalah titik tetap hiperbolik jika $|\lambda_1|\neq1$ dan $|\lambda_2|\neq1$. Selanjutnya, berdasarkan Teorema \ref{t221}, titik tetap $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)$ adalah stabil asimtotik jika $|\lambda_1|<1$ dan $|\lambda_2|<1$.\\
Untuk $|\lambda_1|<1$, diperoleh
\begin{eqnarray}\label{lamb1}
\frac{b-2}{b}<R^{-\frac{1}{b}}<1.
\end{eqnarray}
Untuk $|\lambda_2|<1$, diperoleh
\begin{eqnarray}\label{lamb2}
\frac{c}{c+1}<R^{-\frac{1}{b}}<\frac{c}{c-1}.
\end{eqnarray}
Dari (\ref{lamb1}) dan (\ref{lamb2}) diperoleh teorema berikut.
\begin{theorem}\label{t301} \emph{\cite{12}}
Untuk sistem \emph{(\ref{111})}, titik tetap $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)$ adalah stabil asimtotik jika
\begin{eqnarray*}
\emph{maks}\left(\frac{c}{c+1},\frac{b-2}{b}\right)<R^{-\frac{1}{b}}<1.
\end{eqnarray*}
\end{theorem}

Selanjutnya, matriks Jacobian di titik tetap $\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)$ adalah
\begin{center}
$J_2=\left[\begin{array}{cc}
	{(1+H^*-bH^*)(1+H^*)^{-1}} & {-cH^*}\\
	{1-\frac{(1+H^*)^b}{R}} & {\frac{cH^*}{R}(1+H^*)^b}\\
\end{array}\right].$
\end{center}
Nilai eigen dari $J_2$ adalah
\begin{center}
$\lambda_{1,2}=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4C}}{2},$
\end{center}
dengan
\begin{center}
$B=-\left[\frac{(1+H^*-bH^*)}{(1+H^*)}+\frac{cH^*}{R}(1+H^*)^b\right]$
\end{center}
dan
\begin{center}
$C=\frac{cH^*}{R}\left[\frac{1+H^*-bH^*}{(1+H^*)^{1-b}}-(1+H^*)^b + R \right].$
\end{center}

Sistem (\ref{111}) adalah stabil asimtotik pada titik tetap \linebreak $\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)$ jika $|\lambda_1|<1$ dan $|\lambda_2|<1$.\\
Untuk $|\lambda_1|<1$, diperoleh
\begin{eqnarray}\label{lam1j2}
R>\frac{(1+H^*)^b(1+H^*+bH^*)c}{b+c(1+H^*)}.
\end{eqnarray}
Untuk $|\lambda_2|<1$, diperoleh
\begin{eqnarray}\label{lam2j2}
R<\frac{(1+H^*)^b(1+H^*+bH^*)c}{b+c(1+H^*)}
\end{eqnarray}
Dari (\ref{lam1j2}) dan (\ref{lam2j2}), diperoleh  teorema berikut.
\begin{theorem}\label{t303}
Untuk sistem \emph{(\ref{111})}, titik tetap $\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)$ adalah stabil asimtotik jika
\begin{eqnarray*}
R=\frac{(1+H^*)^b(1+H^*+bH^*)c}{b+c(1+H^*)}.
\end{eqnarray*}
\end{theorem}

Sebagai ilustrasi, berikut ini diberikan potret fase untuk ketiga titik tetap diatas. Untuk titik tetap $(0,0)$, misalkan $b=1.15$, $c=2.2$, dan $R=0.5$. Potret fasenya dapat dilihat pada Gambar 3.0.1 berikut.
\begin{center}
$\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.72]{gbr301.jpg}
\end{array}$\\
Gambar 3.0.1. Potret fase sistem (\ref{111}) untuk $R=0.5$.
\end{center}

Untuk titik tetap  $(H^*,0)$ dengan $H^*\neq0$, misalkan  $b=1.15$, $c=2.2$, dan $R=1.5$. Sehingga, $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)=(0.4227,0)$. Potret fasenya dapat dilihat pada Gambar 3.0.2 berikut \cite{12}.
\begin{center}
$\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.72]{gbr302.jpg}
\end{array}$\\
Gambar 3.0.2. Potret fase sistem (\ref{111}) untuk $R=1.5$.
\end{center}

Untuk titik tetap  $(H^*,P^*)$ dengan $H^*\neq0$ dan $P^*\neq0$, misalkan  $b=1.15$, $c=3.2$, dan $R=1.5$. Sehingga, $\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)=(0.374,0.0125)$. Potret fasenya dapat dilihat pada Gambar 3.0.3 berikut \cite{12}.
\begin{center}
$\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.72]{gbr303.jpg}
\end{array}$\\
Gambar 3.0.3. Potret fase sistem (\ref{111}) untuk $R=1.5$.
\end{center}

Untuk titik tetap  $(H^*,P^*)$ dengan $H^*\neq0$ dan $P^*\neq0$, misalkan  $b=3.5$, $c=7.1$, dan $R=6$.  Potret fasenya dapat dilihat pada Gambar 3.0.4 berikut.
\begin{center}
$\begin{array}{c}
\includegraphics[scale=0.72]{gbr304.jpg}
\end{array}$\\
Gambar 3.0.4. Potret fase sistem (\ref{111}) untuk $R=6$.
\end{center}




\section{Kesimpulan}
Model (\ref{111}) memiliki tiga titik tetap yaitu $(0,0)$, $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)$, dan $\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)$. Titik tetap $(0,0)$ adalah stabil asimtotik untuk $0<R<1$. Titik tetap $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)$ adalah stabil asimtotik jika maks$\left(\frac{c}{c+1},\frac{b-2}{b}\right)<R^{-\frac{1}{b}}<1$. Sedangkan, titik tetap $\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)$ adalah stabil asimtotik jika $R=\frac{(1+H^*)^b(1+H^*+bH^*)c}{b+c(1+H^*)}$. Sehingga, model (\ref{111}) adalah stabil asimtotik untuk setiap $R$ bernilai positif.

Selain itu, kestabilan titik tetap $(0,0)$ bermakna bahwa inang dan parasit punah jika $k \rightarrow \infty$. Di titik tetap $(R^{\frac{1}{b}}-1,0)$ parasit punah dan inang mendekati $R^{\frac{1}{b}}-1$ jika $k \rightarrow \infty$. Di titik tetap $\left( H^*,\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)\right)$ inang dan parasit tidak punah dan parasit mendekati $\frac{1}{c}\ln\left(\frac{R}{(1+H^*)^b}\right)$ jika  $k \rightarrow \infty$.

\section{Ucapan Terima kasih}
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Budi Rudianto, M.Si, Bapak\linebreak Narwen, M.Si, Ibu Riri Lestari, M.Si dan Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan yang telah memberikan masukan dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik.

\begin{thebibliography}{0}

\bibitem{1} Elaydi, S.. 2005. \emph{An Introductions to Difference Equations}. Edisi ke-3. Springer. New York

\bibitem{2} Galor, O.. 2006. \emph{Discrete Dynamical System}. Springer. Providence, USA.

\bibitem{3} Hassel, M.P., dan H.N. Comins. 1976. Discrete Time Models for Two-Species Competition, \emph{Theoritical Population Biology}, Vol. 9 : 202-221

\bibitem{4} Howard, A., dan Rorres, C.. 2014. \emph{Elementary Liner Algebra}. Edisi ke-11. John Wiley \& Sons, Inc. Canada

\bibitem{5} Kelley, Walter G., dan Peterson, Allan C.. 2001. \emph{Difference Equations}. Academic Press. USA

\bibitem{6} Khan,A.Q., dan M.N. Qureshi. 2015. Dynamics of a modified Nicholson-Bailey host-parasitoid model, \emph{Advanced in Difference Equation}, Vol. 2015 : 23

\bibitem{7} Kuswardani, Retna Astuti, dan Maimunah. 2013. \emph{Buku Ajar : Hama Tanaman Pertanian}. Universitas Medan Area. Medan

\bibitem{8} Misra, J.C. dan A. Mitra. 2005. Instabilities in Single-Species and Host-Parasitoid Systems : Period Doubling Bifurcations and Chaos, \emph{Computers and Mathematics with Applications}, Vol. 52 : 525-538 

\bibitem{9} Nicholson, A.J., dan V.A. Bailey. 1935. The balance of animal populations. part 1, \emph{Proc. of Zoological Society of London}, Vol. 3 : 551-598 

\bibitem{10} Nuraeni, Yeni, dkk. 2014. Keanekaragaman Serangga Parasitoid untuk Pengendalian Hama pada Tanaman Kehutanan. \emph{Biodiversitas}

\bibitem{11} Qureshi M.N., dkk. 2014. Asymptotic behavior of a Nicholson-Bailey model, \emph{Advanced in Difference Equation}, Vol. 2014 : 62

\bibitem{12} Ufuktepe, U. dan Kapcak S.. 2013. Stability Analysis of Host Parasite Model, \emph{Advanced in Difference Equation}, Vol. 2013 : 79
\end{thebibliography}
\end{document}
