\documentclass{template-jurnal}
\usepackage{multirow}
\usepackage{color}
\newtheorem{theoremku}{Teorema}
\newtheorem{definitionku}{Definisi}
\newtheorem{propertiesku}[theoremku]{Sifat}
\newtheorem{lemmaku}[theoremku]{Lema}
\newtheorem{corollaryku}[theoremku]{Akibat}
\newtheorem{preposition}{Proposisi}
\hyphenation{ber-da-sar-kan diferen-sial ope-ra-tor mere-presentasi-kan di-de-fi-ni-si-kan ber-sesuai-an mi-sal-kan se-de-mi-ki-an ka-rak-te-ris-tik se-ti-ap la-pang-an pe-me-ta-an di-ka-ta-kan ref-lek-sif de-ngan pasa-ngan singa-pore de-ngan}
\begin{document}

\markboth{Muhammad Randa, Dr. Des Welyyanti, Dr. Lyra Yulianti}
{Muhammad Randa, Dr. Des Welyyanti, Dr. Lyra Yulianti}

\title{BILANGAN \emph{RAINBOW CONNECTION} DAN \emph{STRONG RAINBOW CONNECTION} GRAF JAHANGIR $J_{2,m}$ UNTUK $2\leq m \leq 8$}
\author{Muhammad Randa, Des Welyyanti, Lyra Yulianti}

\address{Program Studi S1 Matematika,\\
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,\\
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,\\
\email{muhammadranda1411@gmail.com, deswelyyanti@gmail.com, lyrayulianti@gmail.com}}


\maketitle
\setcounter{page}{1}%Halaman paper ini dimulai dari halaman ke-\cdots
%======================ABSTRAK========================================
\begin{abstract}
\textbf{Abstrak.}  Misalkan $G$ adalah graf terhubung tak trivial dan didefinisikan pewarnaan sisi pada graf $G$, yaitu $p:E(G) \rightarrow \{1,2,...,n\};n \in \mathbb{N}$, dimana sisi yang bertetangga boleh bewarna sama. Graf $G$ dikatakan \textit{rainbow connected} terhadap pewarnaan sisi $p$, jika $G$ memuat lintasan-$(u,v)$ \textit{rainbow} untuk setiap dua titik $u$ dan $v$ di $G$. Bilangan \textit{rainbow connection}  adalah minimal warna yang diperlukan sehingga graf $G$ \textit{rainbow connected}, dinotasikan $rc(G)$. Graf $G$ dikatakan \textit{strongly rainbow connected} jika $G$ memuat suatu lintasan-$(u,v)$ \textit{geodesic} untuk setiap lintasan pada dua titik $u$ dan $v$ di $G$. Bilangan \textit{strongly rainbow connection}  adalah minimal warna yang diperlukan sehingga graf $G$ \textit{strong rainbow connected}, dinotasikan $src(G)$. Graf Jahangir $J_{n,m}$ dengan $n,m \geq 2$ adalah suatu graf dengan $nm + 1$ titik, yang terdiri dari lingkaran $C_{nm}$ dengan menambahkan satu titik pusat $c$ yang bertetangga ke $m$ titik dari $C_{nm}$ yaitu $ u_1,u_2,u_3,...,u_m $, sedemikian sehingga $ d(u_i,u_{i+1})= d(u_m,u_1)=n $, $ 1\leq i\leq m-1 $ di $C_{nm}$. Pada tulisan ini diperoleh $rc(J_{2,m})$ dan $src(J_{2,m})$ untuk $2\leq m \leq 8$. \\ \\
\emph{{\small \textbf{Kata Kunci} : Bilangan \textit{rainbow connection}, bilangan \textit{strong rainbow connection}, graf Jahangir}}
\end{abstract}

%=====================PENDAHULUAN===================================
\section{Pendahuluan}

%\hskip 0.5 cm Suatu Graf $G$ didefinisikan sebagai pasangan himpunan $(V(G),E(G))$ dengan $V(G)$ himpunan titik berhingga tak kosong dan $E(G)$ adalah himpunan sisi yang menghubungkan titik-titik pada $G$. Banyaknya titik di $G$ disebut orde dari $G$ yang dinotasikan dengan $\vert V(G)\vert$, dan banyaknya sisi pada $G$ disebut ukuran dari $G$ dinotasikan dengan $\vert{E(G)}\vert$ \cite{2}. 

\hskip 0.5 cm Konsep dari \textit{rainbow connection} diperkenalkan oleh Chartrand dkk \cite{3}. Misalkan $G$ merupakan suatu graf terhubung tak trivial. Didefinisikan suatu pewarnaan sisi pada graf $G$ adalah suatu pemetaan $p : E(G) \rightarrow \{{1,2,...,n}\}; n \in \mathbb{N} $, dimana sisi yang bertetangga boleh berwarna sama. Suatu lintasan-$(u,v)$  dikatakan sebagai lintasan \textit{rainbow} untuk  dua titik $u,v \in G$ jika tidak terdapat dua sisi pada lintasan tersebut yang berwarna sama. Suatu graf $G$ dikatakan \textit{rainbow connected} terhadap pewarnaan sisi $p$, jika $G$ memuat lintasan-$(u,v)$ \textit{rainbow} untuk setiap dua titik $u$ dan $v$ pada $G$. Jika graf $G$ bersifat \textit{rainbow connected}, maka pewarnaan sisinya dinamakan \textit{rainbow coloring} pada $G$. Bilangan \textit{rainbow connection}  adalah minimal warna yang diperlukan sehingga graf $G$ \textit{rainbow connected}, dinotasikan $rc(G)$.

Konsep tentang \textit{strong rainbow connection} diperkenalkan oleh Li dan Sun \cite{4}. Misalkan $p$ adalah \textit{rainbow coloring} dari graf terhubung $G$. Setiap lintasan yang menghubungkan dua titik $u$ dan $v$ di $G$ didefinisikan sebagai suatu lintasan-$(u,v)$ \textit{geodesic} jika memuat lintasan-$(u,v)$ \textit{rainbow} dengan panjang $d(u,v)$, dimana $d(u,v)$ adalah jarak antara titik $u$ dan $v$. Suatu graf $G$ dikatakan \textit{strongly rainbow connected} jika $G$ memuat suatu lintasan-$(u,v)$ \textit{geodesic} untuk setiap lintasan pada dua titik $u$ dan $v$ di $G$. Pewarnaan sisi $p$ dinamakan \textit{strong rainbow coloring} dari graf terhubung $G$. Bilangan \emph{strong rainbow connection}, dinotasikan $src(G)$, didefinisikan sebagai minimal dari banyaknya warna yang dibutuhkan untuk membuat graf $G$ bersifat \textit{strongly rainbow connected}.
Teorema berikut digunakan dalam penentuan bilangan \textit{rainbow connection} dan \textit{strong rainbow connection} untuk suatu graf $G$.

\begin{theoremku} \textsc{\cite{3}} Misalkan $G$ adalah graf terhubung tak trivial berukuran $m$ dan $diam(G)= max \{d(u,v) \vert u,v \in V(G)\}$ maka,
\begin{equation}
diam(G) \leq rc(G) \leq src(G) \leq m.
\end{equation}
\end{theoremku}	

\begin{theoremku} \textsc{\cite{3}} Misalkan $G$ adalah graf terhubung  tak trivial, maka

\begin{itemize}
\item[1.] $rc(G)= src(G)= 1$ jika dan hanya jika $G$ adalah graf lengkap.

\item[2.] $rc(G)= 2$ jika dan hanya jika $src(G)= 2$.

\item[3.] $rc(G)= m$ jika dan hanya jika $G$ adalah graf pohon berukuran $m$.

\item[4.] Untuk setiap bilangan bulat positif $n\geq 4$, $rc(G)=src(G)=\lceil \dfrac{n}{2} \rceil$ jika $G$ adalah graf lingkaran $C_n$.
\end{itemize}
\end{theoremku}	

Perkembangan penentuan bilangan \textit{rainbow connection} dan \textit{strong rainbow connection} untuk graf-graf khusus semakin bertambah. Sy dkk \cite{7} telah mengkaji \textit{rainbow connection} untuk graf kipas dan graf matahari. Yulianti dkk \cite{8} telah mengkaji bilangan \emph{rainbow connection} pada graf \textit{Triangle-net}. Pada tahun 2018, Asmara dkk \cite{1} mengkaji tentang bilangan \textit{rainbow connection} dan \textit{strong rainbow connection} pada graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $2\leq{m}\leq{8}$. Pada tulisan ini diberikan perbaikan batas atas dari bilangan \textit{rainbow connection} dan \textit{strong rainbow connection} graf Jahangir  $J_{2,m}$ untuk $2\leq{m}\leq{8}$ yang diperoleh Asmara \cite{1}.

\section{Graf Jahangir}

\hskip 0.5cm Graf Jahangir $J_{n,m}$ dengan $n,m \geq 2$ adalah suatu graf dengan $nm + 1$ titik, yang terdiri dari lingkaran $C_{nm}$ dengan menambahkan satu titik pusat $c$ yang bertetangga ke $m$ titik dari $C_{nm}$ yaitu $ u_1,u_2,u_3,...,u_m $, sedemikian sehingga $ d(u_i,u_{i+1})= d(u_m,u_1)=n $, $ 1\leq i\leq m-1 $ di $C_{nm}$ \cite{5}. 

 Misalkan untuk $n=2$ dan $m\geq 2$, diperoleh graf Jahangir $J_{2,m}$ dengan $V(J_{2,m})=\{c,u_1,u_2,...,u_m,v_1,v_2,...,v_m\}$ dan $E(J_{2,m}) = \{cu_{i} \vert 1\leq i \leq m\} \cup \{u_{1}v_{m},u_{m}v_{m},u_{i}v_{i},u_{i+1}v_{i} \vert 1\leq i \leq m-1 \}$. Beberapa contoh graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $2\leq m \leq 8$ dapat dilihat pada Gambar 1.
\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.1]{J(2,m)2-8.png}
		\caption{Graf Jahangir $J_{2,m}$ dengan $2\leq m\leq 8$}
	\end{center}
	\end{figure}


\section{Bilangan \emph{Rainbow Connection} dan \emph{Strong Rainbow Connection} pada Graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $2\leq m \leq 8$}

\subsection{Bilangan \textit{Rainbow Connection} Graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $2\leq m \leq 8$}
\hskip 1.2 cm Pada Teorema 3 membahas tentang bilangan \textit{rainbow connection} dari graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $2\leq m \leq 8$.

\begin{theoremku} Misalkan terdapat graf Jahangir $J_{2,m}$. Jika $2\leq m \leq 8$, maka bilangan rainbow connection $J_{2,m}$ adalah

\begin{eqnarray*}
rc(J_{2,m}) &=&
\begin{cases}
2,\ \textnormal{untuk}\ m = 2 ;\\
3,\ \textnormal{untuk}\ m = 3 ;\\
4,\ \textnormal{untuk}\ 4\leq m \leq 8.\\
\end{cases}
\end{eqnarray*} 
\end{theoremku}

\begin{proof}
Misalkan $J_{2,m}$ merupakan suatu graf Jahangir yang telah dijelaskan di atas. Berdasarkan Teorema 1, diperoleh  bahwa $ diam(J_{2,m}) \leq rc(J_{2,m})$.

\begin{flushleft}
Perhatikan tiga kasus berikut.
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
 \textbf{Kasus 1}. Untuk $m = 2$.
 \end{flushleft} 

Misalkan graf Jahangir $J_{2,2}$ dengan $V(J_{2,2}) =\{c,u_1,u_2,v_1,v_2\}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
p_{1}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk} \ e = cu_{1},u_{1}v_{1},u_{2}v_{1}; \\
2\ \textnormal{untuk} \ e = cu_{2},u_{1}v_{2},u_{2}v_{2}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Graf $J_{2,2}$ mempunyai $diam(J_{2,2}) = 2$, maka diperoleh $rc(J_{2,2})\geq 2$. Jelas bahwa dengan $p_{1} : E(J_{2,2})\rightarrow \{1,2\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,2}$, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \textit{rainbow}, sehingga diperoleh bahwa $rc(J_{2,2})\leq 2$. Dengan demikian, terbukti bahwa $rc(J_{2,2})= 2$.


\begin{flushleft}
 \textbf{Kasus 2}. Untuk $m = 3$.
 \end{flushleft} 

Misalkan graf Jahangir $J_{2,3}$ dengan $V(J_{2,3}) =\{c,u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3\}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
p_{2}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2},u_{1}v_{1},u_{3}v_{3}; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1},u_{2}v_{1},u_{3}v_{2}; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{3},u_{1}v_{3},u_{2}v_{2}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Graf $J_{2,3}$ mempunyai $diam(J_{2,3}) = 3$, maka diperoleh $rc(J_{2,3})\geq 3$. Jelas bahwa dengan $p_{2} : E(J_{2,3})\rightarrow \{1,2,3\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,3}$, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \textit{rainbow}, sehingga diperoleh $rc(J_{2,3})\leq 3$. Dengan demikian, terbukti bahwa $rc(J_{2,3})= 3$.\

Ilustrasi \textit{rainbow connection} untuk graf $J_{2,2}$ dan $J_{2,3}$ dapat dilihat pada Gambar 2 berikut.

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.1]{J(2,2)J(2,3)rc.png}
		\caption{(a) $rc(J_{2,2})= 2$ dan (b) $rc(J_{2,3})= 3$ }
	\end{center}
	\end{figure}

\begin{flushleft}
 \textbf{Kasus 3}. Untuk $4\leq m\leq 8$.
 \end{flushleft} 
 Untuk $4\leq m\leq 8$ $diam(J_{2,m}) = 4$, maka diperoleh $rc(J_{2,m})\geq 4$. Selanjutnya pandang kasus ini menjadi dua bagian.
 
\hskip -0.5 cm(a) Jika $m$ ganjil.
 
 Misalkan graf  $J_{2,m}$ dengan $V(J_{2,m})=\{c,u_1,u_2,...,u_m,v_1,v_2,...,v_m\}$, untuk $4\leq m\leq 8$ dan $m$ ganjil. Definisikan pewarnaan sisi graf $J_{2,m}$ dengan $1 \leq i \leq \frac{m-1}{2},i\in \mathbb{N} $ sebagai berikut.
\begin{normalsize}
\begin{eqnarray*}
p_{3}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2i-1} ; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = u_{m}v_{m}, cu_{2i} ; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = v_{m}u_{1}, u_{2i-1}v_{2i-1}, v_{2i}u_{2i+1}; \\
4\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{m}, v_{2i-1}u_{2i}, u_{2i}v_{2i}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\end{normalsize}

  Jelas bahwa dengan $p_{3} : E(J_{2,m})\rightarrow \{1,2,3,4\}$ untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,m}$ dengan  $4\leq m\leq 8$ dan $m$ ganjil, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \textit{rainbow}. Akibatnya, diperoleh bahwa $rc(J_{2,m})\leq 4$. Dengan demikian, terbukti untuk $4\leq m\leq 8$ dengan $m$ ganjil, $rc(J_{2,m})= 4$.
   
\hskip -0.5 cm (b) Jika $m$ genap.
 
 Misalkan graf Jahangir $J_{2,m}$ dengan $V(J_{2,m})=\{c,u_1,u_2,...,u_m,v_1,v_2,...,v_m\}$, untuk $4\leq m\leq 8$ dan $m$ genap. Definisikan pewarnaan sisi $J_{2,m}$ sebagai berikut.
\begin{small}
\begin{eqnarray*}
p_{4}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2i-1}\ \textnormal{dengan}\ 1 \leq i \leq \frac{m}{2} ; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2i}\ \textnormal{dengan}\ 1 \leq i \leq \frac{m}{2}; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = v_{m}u_{1},u_{m-1}v_{m-1},u_{2i-1}v_{2i-1},v_{2i}u_{2i+1}\ \textnormal{dengan}\ 1 \leq i \leq \frac{m-2}{2}; \\
4\ \textnormal{untuk}\ e = v_{2i-1}u_{2i}, u_{2i}v_{2i}\ \textnormal{dengan}\ 1 \leq i \leq \frac{m}{2}. 
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\end{small}

Jelas bahwa dengan $p_{4}: E(J_{2,m})\rightarrow \{1,2,3,4\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,m}$ dengan $4\leq m\leq 8$ dan $m$ genap, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \emph{rainbow} sehingga diperoleh $rc(J_{2,m})\leq 4$. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk $4\leq m\leq 8$ dan $m$ genap, $rc(J_{2,m})= 4$.
  
  Dari hasil (a) dan (b), dapat disimpulkan bahwa untuk $4\leq m\leq 8$ diperoleh $rc(J_{2,m})= 4$. Ilustrasi \textit{rainbow connection} untuk graf $J_{2,m}$  untuk $4\leq m\leq 8$ dapat dilihat pada Gambar 3 berikut.
  
  \begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.15]{J(2,m)rc4-8.png}
		\caption{$rc(J_{2,m})= 4$ untuk $4\leq m\leq 8$}
	\end{center}
	\end{figure}
\end{proof}
 
\subsection{Bilangan \emph{Strong Rainbow Connection} Graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $m \geq  2$ }

\hskip 1.2 cm Pada Teorema 4 membahas tentang bilangan \emph{Strong Rainbow Connection} dari graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $2\leq m\leq 8$.

\begin{theoremku} Misalkan terdapat graf Jahangir $J_{2,m}$. Jika  $2\leq m\leq 8$, maka bilangan strong rainbow connection $J_{2,m}$ adalah
\begin{eqnarray*}
src(J_{2,m}) &=&
\begin{cases}
2,\ \textnormal{untuk}\ m = 2 ; \\
3,\ \textnormal{untuk}\ m = 3 ;\\
4,\ \textnormal{untuk}\ 4 \leq m \leq 6 ;\\
5,\ \textnormal{untuk}\ 7 \leq m \leq 8.
\end{cases}
\end{eqnarray*} 
\end{theoremku}

\begin{proof}
Misalkan $J_{2,m}$ merupakan suatu graf Jahangir yang telah dijelaskan di atas. Berdasarkan Teorema 1, diperoleh bahwa $src(J_{2,m})\geq rc(J_{2,m})$.

\begin{flushleft}
Perhatikan empat kasus berikut.
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
 \textbf{Kasus 1}. Untuk $m = 2$.
 \end{flushleft} 
 
Misalkan graf $J_{2,2}$ dengan $V(J_{2,2}) =\{c,u_1,u_2,v_1,v_2\}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
p_{7}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2}, u_{1}v_{1}, u_{2}v_{1}; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1}, u_{1}v_{2}, u_{2}v_{2}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

   Jelas bahwa dengan $p_{7} : E(J_{2,2})\rightarrow \{1,2\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,2}$, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \emph{geodesic} sehingga diperoleh $src(J_{2,2})\leq 2$. Dari Bagian 3.1 Kasus 1, diperoleh bahwa $rc(J_{2,2})=2$, maka  diperoleh bahwa $src(J_{2,2}) \geq 2$. Dengan demikian, terbukti bahwa $src(J_{2,2})= 2$.


\begin{flushleft}
 \textbf{Kasus 2}. Untuk $m = 3$.
 \end{flushleft} 
 
Misalkan graf $J_{2,3}$ dengan $V(J_{2,3}) =\{c,u_1,u_2,u_3,v_1,v_2,v_3\}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
p_{8}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1},u_{2}v_{1},u_{3}v_{3} ; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2},u_{1}v_{1},u_{3}v_{2} ; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{3},u_{1}v_{3},u_{2}v_{2}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Jelas bahwa dengan $p_{8} : E(J_{2,3})\rightarrow \{1,2,3\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,3}$, selalu terdapat lintasan-$(u,v)$ \emph{geodesic}, sehingga diperoleh $src(J_{2,3})\leq 3$. Dari Bagian 3.1 Kasus 2, diperoleh bahwa $rc(J_{2,3}) = 3$, maka diperoleh bahwa $src(J_{2,3})\geq 3$. Dengan demikian, terbukti bahwa $src(J_{2,3})= 3$.
 
 Ilustrasi \textit{strong rainbow connection} untuk graf $J_{2,2}$ dan $J_{2,3}$ dapat dilihat pada Gambar 4 berikut.

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.08]{J(2,2)J(2,3)src.png}
		\caption{(a) $src(J_{2,2})= 2$ dan (b) $src(J_{2,3})= 3$ }
	\end{center}
	\end{figure}
 \newpage
 
 Dari Bagian 3.1 Kasus 3 untuk $4\leq m\leq 8$ diperoleh bahwa $rc(J_{2,m}) = 4$, maka berdasarkan Teorema 1 diperoleh $src(J_{2,m})\geq 4$  untuk $4\leq m\leq 8$. Ini akan digunakan untuk pembuktian kasus berikutnya.
 \begin{flushleft}
 \textbf{Kasus 3}. Untuk $4 \leq m \leq 6$.
 \end{flushleft}
 Pandang kasus ini menjadi beberapa bagian.
 
\hskip -0.5 cm (a) $m = 4$
 
Misalkan graf $J_{2,4}$ dengan $V(J_{2,4}) =\{c,u_1,u_2,u_3,u_4,v_1,v_2,v_3,v_4 \}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
p_{9}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1},u_{2}v_{1},u_{4}v_{4}; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2},u_{1}v_{1},u_{3}v_{2}; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{3},u_{2}v_{2},u_{4}v_{3}; \\
4\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{4},u_{3}v_{3},u_{1}v_{4}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Jelas bahwa dengan $p_{9} : E(J_{2,4})\rightarrow \{1,2,3,4\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,4}$, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \emph{geodesic}. Jadi, diperoleh $src(J_{2,4})\leq 4$. Dengan demikian, terbukti bahwa $src(J_{2,4})= 4$.\

\hskip -0.5 cm (b) $m = 5$ 

Misalkan graf $J_{2,5}$ dengan $V(J_{2,5}) =\{c,u_1,u_2,...,u_5,v_{1},v_{2},...,v_{5} \}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
p_{10}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1},cu_{2},u_{1}v_{1},u_{3}v_{3},u_{4}v_{4}; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{3},u_{2}v_{1},u_{4}v_{3},u_{5}v_{4}; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{4},u_{2}v_{2},u_{5}v_{5}; \\
4\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{5},u_{3}v_{2},u_{1}v_{5 }. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}\

Jelas bahwa dengan $p_{10} : E(J_{2,5})\rightarrow \{1,2,3,4\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,5}$, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \emph{geodesic} sehingga diperoleh $src(J_{2,5})\leq 4$. Dengan demikian, terbukti bahwa $src(J_{2,5})= 4$.\

\hskip -0.5 cm (c) $m = 6$

Misalkan graf $J_{2,6}$ dengan $V(J_{2,6}) =\{c,u_1,u_2,...,u_6,v_1,v_2,...,v_{6}\}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.

\begin{eqnarray*}
p_{11}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1},cu_{2},u_{1}v_{1},u_{3}v_{3},u_{5}v_{5}; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{3},u_{2}v_{1},u_{4}v_{3},u_{6}v_{5}; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{4},cu_{5},u_{2}v_{2},u_{4}v_{4},u_{6}v_{6}; \\
4\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{6},u_{3}v_{2},u_{5}v_{4},u_{1}v_{6}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

Jelas bahwa dengan $p_{11} : E(J_{2,6})\rightarrow \{1,2,3,4\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,6}$, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \emph{geodesic} sehingga diperoleh $src(J_{2,6})\leq 4$. Dengan demikian, terbukti bahwa $src(J_{2,6})= 4$.

Jadi, bilangan \emph{strong rainbow connection} graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $4 \leq m \leq 6$ adalah $ src(J_{2,m})= 4$. Ilustrasi \textit{strong rainbow connection} untuk graf $J_{2,4}$, $J_{2,5}$ dan $J_{2,6}$ dapat dilihat pada Gambar 5 berikut.

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.09]{J(2,4-6)src.png}
		\caption{(a) $src(J_{2,4})= 4$, (b) $src(J_{2,5})= 4$ dan (c) $src(J_{2,6})=4$ }
	\end{center}
	\end{figure}

 \begin{flushleft}
 \textbf{Kasus 4}. Untuk $7 \leq m \leq 8$.
 \end{flushleft}
 Pandang kasus ini menjadi dua bagian.
  
 \hskip -0.5 cm (a) $m = 7$
 
Diketahui sebelumnya bahwa $src(J_{2,7})\geq 4$. Jika pada graf Jahangir $J_{2,7}$ diberikan 4-warna, tanpa mengurangi perumuman akan terdapat dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,7}$ yang tidak ada lintasan-$(a,b)$ \emph{geodesic}. Akibatnya, diperoleh bahwa $scr(J_{2,7}) \geq 5$. Misalkan graf Jahangir $J_{2,7}$ dengan $V(J_{2,7}) =\{c,u_1,u_2,...,u_7,v_1,v_2,...,v_{7}\}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{eqnarray*}
p_{12}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{2},u_{1}v_{1},u_{4}v_{3},u_{6}v_{6}; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1},u_{2}v_{1},u_{4}v_{4},u_{7}v_{6}; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{3},cu_{4},u_{2}v_{2},u_{5}v_{4},u_{7}v_{7}; \\
4\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{6},cu_{7},u_{3}v_{2},u_{5}v_{5},u_{1}v_{7}; \\
5\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{5},u_{3}v_{3},u_{6}v_{5}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

 Jelas bahwa dengan $p_{12} : E(J_{2,7})\rightarrow \{1,2,3,4,5\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,7}$, selalu terdapat lintasan-$(a,b)$ \emph{geodesic}, sehingga diperoleh $src(J_{2,7})\leq 5$. Dengan demikian, terbukti bahwa $src(J_{2,7})= 5$.\\


\hskip -0.5 cm (b) $m = 8$

Diketahui sebelumnya bahwa $src(J_{2,8})\geq 4$. Jika pada graf $J_{2,8}$ diberikan 4-warna, tanpa mengurangi perumuman akan terdapat dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,8}$ yang tidak ada lintasan-$(a,b)$ \emph{geodesic}. Akibatnya, diperoleh bahwa $scr(J_{2,8}) \geq 5$. Misalkan graf Jahangir $J_{2,8}$ dengan $V(J_{2,8}) =\{c,u_1,u_2,...,u_8,v_1,v_2,...,v_8\}$, didefinisikan pewarnaan sisi sebagai berikut.
\begin{normalsize}
\begin{eqnarray*}
p_{13}(e) &=&
\begin{cases}
1\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{1},cu_{2},u_{3}v_{3},u_{5}v_{4},u_{7}v_{7}; \\
2\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{3},cu_{4},u_{6}v_{5},u_{8}v_{7},u_{1}v_{8}; \\
3\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{5},cu_{6},u_{1}v_{1},u_{4}v_{3},u_{7}v_{6}; \\
4\ \textnormal{untuk}\ e = cu_{7},cu_{8},u_{2}v_{1},u_{3}v_{2},u_{5}v_{5}; \\
5\ \textnormal{untuk}\ e = u_{2}v_{2},u_{4}v_{4},u_{6}v_{6},u_{8}v_{8}. \\
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\end{normalsize}

 Jelas bahwa dengan $p_{13} : E(J_{2,8})\rightarrow \{1,2,3,4,5\}$, untuk setiap dua titik $a$ dan $b$ di $J_{2,8}$, selalu terdapat lintasan-$(u,v)$ \emph{geodesic}, sehingga diperoleh $src(J_{2,8})\leq 5$. Dengan demikian, terbukti bahwa $src(J_{2,8})= 5$.

 
Jadi, bilangan \textit{strong rainbow connection} graf $J_{2,m}$ untuk $7 \leq m \leq 8$ adalah $ src(J_{2,m})= 5$. Ilustrasi \textit{strong rainbow connection} untuk graf $J_{2,7}$ dan $J_{2,8}$ dapat dilihat pada Gambar 6 berikut.

\begin{figure}[h]
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.1]{J(2,7)J(2,8)src.png}
		\caption{(a) $src(J_{2,7})= 5$ dan (b) $src(J_{2,8})= 5$}
	\end{center}
	\end{figure}

\end{proof}

\section{Kesimpulan}
Pada tulisan ini diperoleh bilangan \textit{rainbow connection} dan \textit{strong rainbow connection} graf Jahangir $J_{2,m}$ untuk $2\leq m \leq 8$ dengan hasil sebagai berikut. 
 
Misalkan terdapat graf Jahangir $J_{2,m}$ dengan $2\leq m \leq 8$, maka bilangan \textit{rainbow connection} dan \textit{strong rainbow connection} graf $J_{2,m}$ adalah

\begin{eqnarray*}
rc(J_{2,m}) &=&
\begin{cases}
2,\ \textnormal{untuk}\ m = 2 ;\\
3,\ \textnormal{untuk}\ m = 3 ;\\
4,\ \textnormal{untuk}\ 4 \leq m \leq 8;\\
\end{cases}
\end{eqnarray*} 

\begin{eqnarray*}
src(J_{2,m}) &=&
\begin{cases}
2,\ \textnormal{untuk}\ m = 2 ; \\
3,\ \textnormal{untuk}\ m = 3 ;\\
4,\ \textnormal{untuk}\ 4 \leq m \leq 6 ;\\
5,\ \textnormal{untuk}\ 7 \leq m \leq 8.\\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\section{Ucapan Terima Kasih}
Penulis menngucapkan terima kasih kepada Mahdhivan Syafwan, Narwen, dan Nova Noliza Bakar yang telah memberikan kritikan dan masukan sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik.


%========================DAFTAR PUSTAKA===============================
\begin{thebibliography}{99}


\bibitem{1} Asmara, D.N., S. Sy dan E. Effendi. 2018. Bilangan \emph{Rainbow Connection} dan \emph{Strong Rainbow Connection} Pada Graf Jahangir $J_{2,m}$. \emph{Jurnal Matematika Unand}. \textbf{8}(1): 52-58

\bibitem{2} Chartrand, G. dan P. Zhang. 2005. \emph{Introduction to Graph Theory}. Mc Graw-Hill International Edition, Singapore

\bibitem{3} Chartrand, G.L., K.A. Johns, McKeon and P. Zhang. 2008. Rainbow Connection in Graph. \emph{Math. Bohem}. \textbf{133}: 85-98 

\bibitem{4} Li, X and Y. Sun. 2013. On Strong Rainbow Connection Number of a Graph. \emph{Bull. Malays. Math. Sci. Soc (2)}. \textbf{36}: 299-311

\bibitem{5} Naduvath, S. and J. Kok. A Note on \textit{J}-Colouring of Jahangir Graphs. \emph{Proc. Natl. Acad. Sci, A: Phys. Sci.} \textbf{90}, 819-821 (2020). \emph{http://doi.org/10.1007/s40010-019-00638-z}

\bibitem{6} Surahmat and I. Tomescu. 2014. On Path-Jahangir Ramsey Numbers. \emph{Appl. Math. Sci (8)}. \textbf{99}: 4899-4904

\bibitem{7} Sy, S., G.H. Medika and L. Yulianti. 2013. The Rainbow Connection Number of Fan and Sun. \emph{Appl. Math. Sci.} \textbf{7} : 3155-3160

\bibitem{8} Yulianti, L., A. Nazra, M. Muhardiansyah and N. Narwen. On the Rainbow Connection Number of Triangle-net Graphs. \emph{IOP Conf Series: Journal of Physics: Conf Series} 1836 (2021) 012004. \emph{https://doi.org/10.1088/1742-6596/1/1836/012004}


\end{thebibliography}
%                                   Daftar Pustaka
%=============================================================================

\end{document}