\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}

\markboth{Dinni Rahma Oktaviani} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{Kernel dari Fuzzy Grup}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{Kernel dari Fuzzy Grup}

\author{DINNI RAHMA OKTAVIANI$^{a}$\footnote{penulis korespondensi}, MUHAMMAD HABIBURROHMAN$^{b}$\\ }

\address{$^{a}$ UIN Walisongo Semarang,\\
$^{b}$ Universitas Ivet Semarang,\\
email : \email{dinni@walisongo.ac.id,habiburrohman@ivet.ac.id}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\begin{abstract}
\begin{center}
Diterima ..... \quad Direvisi ..... \quad Dipublikasikan ..... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}

\bigskip

\textbf{Abstrak}. %Dalam bahasa Indonesia
Himpunan fuzzy dapat didefinisikan dalam bentuk struktur aljabar seperti grup fuzzy, grup anti fuzzy dan grup fuzzy intusionistik. Pada artikel ini akan dibahas mengenai kernel dari grup fuzzy, grup anti fuzzy dan grup fuzzy intusionistik serta beberapa sifat yang dapat diturunkan dari konsep tersebut.
\bigskip

\textbf{Abstract}. % Dalam bahasa Inggris
\textit{Fuzzy sets can be defined in the form of algebraic structures such as fuzzy groups, anti-fuzzy groups and intuitive fuzzy groups. In this article, explained the kernel of the fuzzy group, anti-fuzzy group and intuitionistic fuzzy group and some of the properties that can be derived from these concepts.}

\end{abstract}

\keywords{grup fuzzy, kernel, kernel grup fuzzy intusionistik}

\section{Pendahuluan}
Zadeh (1965) memperkenalkan konsep himpunan fuzzy. Pada \cite{C} menjabarkan subhimpunan fuzzy dan relasi. Konsep himpunan fuzzy ini kemudian diperluas oleh peneliti-peneliti lain ke dalam topik struktur aljabar (aljabar abstrak) seperti grup fuzzy \cite{G,H}, sub grup normal fuzzy\cite{I}, grup nilpoten fuzzy\cite{J}, subgrup invarian fuzzy\cite{K}, anti fuzzy grup\cite{A}, dan beberapa perumuman lain sebagai struktur neutrosophic\cite{L}.

Himpunan fuzzy intusionistik pertama kali diperkenalkan oleh Atanassov (1983). Konsep fuzzy intusionistik ini merupakan perumuman dari himpunan fuzzy Zadeh. Konsep ini juga telah dikembangkan penelitiannya dalam struktur aljabar seperti ring fuzzy intusionistik\cite{M}, ideal fuzzy intusionistik dari ring\cite{N},  subgrup dan subring dari fuzzy intusionistik\cite{O}, $(\alpha,\beta)-$ cut dari grup fuzzy intusionistik\cite{P}, dan ideal prima fuzzy intusionistik dari ring\cite{Q}.

Pada struktur aljabar grup kita mengenal istilah kernel, pada paper ini akan dibahas mengenai kernel dari grup fuzzy, grup anti fuzzy, dan grup fuzzy intusionistik, beserta sifat-sifatnya yang menarik.
\section{Landasan Teori}
Pertama akan diberikan konsep struktur aljabar grup yang akan digunakan pada paper ini.
\begin{definition}\cite{F}
	Himpunan tak kosong $G$ dengan operasi biner $*$ membentuk grup, jika dan hanya jika:
	\begin{enumerate}
		\item Untuk setiap $m,n\in G$ berlaku $m*n\in G$ (tertutup)
		\item Untuk setiap $m,n,p\in G$ berlaku $m*(n*p)=(m*n)*p$ (asosiatif)
		\item Terdapat unsur identitas $e$ sehingga untuk setiap $m\in G$ berlaku $m*e=e*m=m$ ($e$ unsur identitas dari $G$)
		\item Untuk setiap $p\in G$ terdapat $p^{-1}\in G$ sehingga $p*p^{-1}=p^{-1}*p=e$ ($p^{-1}$ unsur invers dari $p$ di $G$)
	\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{example}
	Himpunan semua bilangan bulat $(\mathbb{Z})$ dengan operasi penjumlahan merupakan grup.
\end{example}
\begin{theorem}\cite{E}
	Unsur identitas dari grup adalah tunggal dan unsur invers dari setiap anggota di grup juga tunggal.
\end{theorem}
\begin{definition}\cite{F}
	Grup $(G,*)$ disebut grup komutatif jika dan hanya jika untuk setiap $m,n\in G$ berlaku $m*n=n*m$
\end{definition}

Notasi $m^2=m*m; n^5=n*n*n*n*n$

\begin{definition}\cite{D}
	Grup $(G,*)$ disebut grup siklik jika terdapat $p\in G$ sehingga $\{p^i| i\in \mathbb{N}\}=G$ atau dikatakan $p$ membangun grup $G$.
\end{definition}
\begin{definition}\cite{D}
	Misalkan ($G,*$) merupakan grup. Himpunan tak kosong $H$ yang merupakan sub himpunan dari $G$ dengan operasi $*$ juga membentuk grup maka $H$ dikatakan subgrup dari $G$.
\end{definition}
\begin{theorem}
	Misalkan $H_1$ dan $H_2$ merupakan subgrup dari $(G,*)$ maka $H_1\cap H_2$ merupakan subgrup dari $(G,*)$
\end{theorem}
\begin{proof}
	$H_1\cap H_2$ merupakan sub himpunan $H_1$. Karena $H_1$ merupakan subgrup $(G,*)$ maka $H_1$ sub himpunan dari $G$. Sehingga $H_1\cap H_2$ merupakan sub himpunan dari $G$. 	$H_1\cap H_2$ bukan himpunan kosong karena terdapat $e\in 	H_1\cap H_2$.
	\begin{enumerate}
		\item Ambil sebarang $a,b\in H_1\cap H_2$ oleh karena itu, $a,b\in H_1$, karena $H_ 1$ subgrup maka $a*b\in H_1$. $a,b\in H_2$, karena $H_2$ subgrup maka $a*b\in H_2$. Diperoleh $a*b\in H_1$ dan $a*b\in H_2$ maka $a*b\in H_1\cap H_2$ (tertutup)
		\item Karena operasi yang digunakan $*$ di $G$ bersifat asosiatif maka di $H_1\cap H_2$ juga asosiatif.
		\item Karena $H_1$ subgrup maka ada $e\in H_1$ dan $H_2$ subgrup maka ada $e\in H_2$ sehingga $e\in H_1\cap H_2$ (unsur identitas grup)
		\item Ambil sembarang $a\in H_1\cap H_2$, maka  $a\in H_1$ dan $a\in H_2$. $H_1$ merupakan subgrup maka ada $a^{-1}\in H_1$ dan $H_2$ subgrup maka ada $a^{-1}\in H_2$ sehingga $a^{-1}\in H_1\cap H_2$ (unsur invers untuk setiap $a\in H_1\cap H_2)$
	\end{enumerate}
	jadi terbukti $H_1\cap H_2$ merupakan subgrup $(G,*)$
	\end{proof}
	
	\begin{definition}\cite{F}
		Misalkan $(G,*)$ grup. Subgrup $H$ dikatakan subgrup normal $G$ jika $pH=Hp$ untuk setiap $p\in G$.
		\end{definition}
		Notasi $pH=\{p*h|h\in H\}, Hp=\{h*p|h\in H\}$
		\begin{definition}\cite{D}
			Misalkan $(G,*)$ grup, $H$ subgrup normal dari $G$. Himpunan $G/H=\{pH|p\in G\}$ merupakan grup dengan operasi $(pH)(qH)=p*qH; p,q\in G$. $G/H$ disebut grup faktor. 
			\end{definition}
	\begin{definition}\cite{E}
		Misalkan $(G,*)$ grup, $m,n\in G$. Kommutator $m$ dan $n$ adalah $[m,n]=m^{-1}n^{-1}mn$
		\end{definition}
		\begin{definition}\cite{E}
			Subgrup Kommutator $[G,G]$ (atau disebut \textit{derived subgroup}), dinotasikan dengan $G'$ merupakan subgrup yang dibangun oleh semua kommutator.
		\end{definition}
		Notasi $G'=[G,G]$, $G"=[G',G']$ (\textit{second derived subgroup})
		\begin{definition}\cite{E}
			Grup $G$ disebut meta komutatif jika dan hanya jika ada subgroup normal komutatif $A$ sehingga grup faktor $G/A$ komutatif
			\end{definition}
			\begin{definition}\cite{E}
				Grup $G$ disebut \textit{solvable} jika $G$ mempunyai deret subgrup sebagai berikut
				$$\{e\}=M_0\subset M_1\subset M_2\subset ...\subset M_k=G$$
				dimana untuk setiap $0\leq i<k, M_i$ normal di $M_{i+1}$ dan $M_{i+1}/M_i$ komutatif
				\end{definition}
\begin{definition}\cite{D}
	Misalkan $(G,*),(M,@)$ merupakan grup, maka pemetaan $\psi:G\rightarrow M$ merupakan homomorfisma jika $\psi(p*q)=\psi(p)@\psi(q)$ untuk setiap $p,q\in G$
\end{definition}
\begin{definition}\cite{D}
	Jika $\psi$ merupakan homomorfisma dari $G$ ke $H$ meka kernel dari $\psi$, Ker $\psi$, didefinisikan sebagai Ker $\psi=\{p\in G|\psi(p)=e\}$
	\end{definition}
	
Kemudian akan diberikan konsep himpunan fuzzy intusionistik yang didefinisikan oleh Atanassov (1983) merupakan perumuman dari konsep himpunan fuzzy yang diberikan oleh Zadeh (1965).

\begin{definition} $\cite{C}$
Misalkan $M$ suatu himpunan tak kosong. Himpunan fuzzy  $B$ atas $M$ didefinisikan sebagai:
$$B=\{<a,\mu_B(a)>:a\in M\}$$
dimana $\mu_B:M \rightarrow [0,1]$, dan $\mu_B(a)$ disebut derajat keanggotaan dari $a$ pada himpunan fuzzy $B$
\end{definition}
\begin{definition} $\cite{B}$ \label{df2}
	Misalkan $M$ suatu himpunan tak kosong. Himpunan fuzzy intusionistik (IFS)  $B$ atas $M$ didefinisikan sebagai:
	$$B=\{<a,\mu_B(a),v_B(a)>:a\in M\}$$
	dimana $\mu_B, v_B:M \rightarrow [0,1]$, berturut turut menyatakan derajat keanggotaan dan derajat non keanggotaan dari $a\in M$ pada himpunan $B$, dan selanjutnya untuk setiap $a\in M$ berlaku:
	\begin{equation*}
	0\leq \mu_B(a)+v_B(a)\leq 1
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
	\pi_B(a)=1-\mu_B(a)-v_B(a)
	\end{equation*}
	merupakan derajat samar keanggotaan dari $a\in M$ pada IFS $B$, artinya $\pi_B(x)$ menyatakan ketidakpastian apakah $x$ memiliki derajat keanggotaan atau tidak di IFS $B$, dengan $\pi_B:M\rightarrow[0,1]$ untuk setiap $a\in M$
\end{definition}

\section{Pembahasan}


\begin{definition}$\cite{A}$ \label{defgf}
	Misalkan $(G,*)$ merupakan grup, $f:G\rightarrow [0,1]$, maka $G$ disebut grup fuzzy jika untuk setiap $x,y\in G$ berlaku:
	\begin{enumerate}
		\item $f(x*y)\geq min(f(x),f(y))$
		\item $f(x^{-1})=f(x)$
	\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}$\cite{A}$\label{defgaf}
	Misalkan $(G,*)$ merupakan grup, $g:G\rightarrow [0,1]$, maka $G$ disebut grup anti-fuzzy jika untuk setiap $x,y\in G$ berlaku:
	\begin{enumerate}
		\item $g(x*y)\leq max(g(x),g(y))$
		\item $g(x^{-1})=g(x)$
	\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}$\cite{A}$\label{defgfi}
	Misalkan $(G,*)$ merupakan grup, $f,g:G\rightarrow [0,1]$, maka $G$ disebut grup fuzzy intusionistik jika untuk setiap $x,y\in G$ berlaku:
	\begin{enumerate}
		\item $f(x*y)\geq min(f(x),f(y)), f(x^{-1})=f(x)$
		\item $g(x*y)\leq max(g(x),g(y)),g(x^{-1})=g(x)$
	\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}$\cite{A}$\label{defkf}
	Misalkan $(G,f)$ merupakan grup fuzzy, $e$ identitas pada grup $G$,\\
	$K_f=\{x\in G; f(x)=f(e)\}$\\
	disebut kernel fuzzy dari $G$ terhadap $f$.
\end{definition}
\begin{theorem}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,f)$ merupakan grup fuzzy maka $K_f$ merupakan subgrup $G$
\end{theorem}
\begin{definition}$\cite{A}$\label{defkaf}
	Misalkan $(G,g)$ merupakan grup anti fuzzy, $e$ identitas pada grup $G$,\\
	$K_g=\{x\in G; g(x)=g(e)\}$\\
	disebut kernel anti fuzzy dari $G$ terhadap $g$.
\end{definition}
\begin{theorem}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,g)$ merupakan grup anti-fuzzy maka $K_g$ merupakan subgrup $G$
\end{theorem}
\begin{definition}$\cite{A}$\label{defkf}
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik, $e$ identitas pada grup $G$,\\
	$K_I=K_f\cap K_g=\{x\in G; f(x)=f(e)\text{ dan }g(x)=g(e)\}$\\
	disebut kernel fuzzy intusionistik dari $G$.
\end{definition}
\begin{example}
	Misalkan $\mathbb{Z}_5$ merupakan grup perkalian modulo 5. $G=\mathbb{Z}_{(5,*)}=\{1,2,3,4\}$.\\
	Didefinisikan: $f,g:G\rightarrow[0,1]; f(1)=1,f(2)=f(3)=f(4)=0,5,g(1)=g(4)=0,1,g(2)=g(3)=0,2$\\
	Jelas bahwa $G$ merupakan subgrup fuzzy intusionistik, sehingga diperoleh\\ $K_f=\{1\},K_g=\{1,4\},K_I=\{1\}$
\end{example}
\begin{theorem}
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik maka $K_I$ merupakan subgrup $G$
\end{theorem}

\begin{proof} Berdasarkan teorema $K_f$ dan $K_g$ merupakan subgrup, dan irisan kedua subgrup merupakan subgrup, sehingga $K_I=K_f\cap K_g$ merupakan subgrup, dengan kata lain kernel fuzzy intusionistik merupakan subgrup $G$.
\end{proof}

\begin{theorem}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik, jika $f(e)=g(e)$ maka $K_f=K_g=K_I$
\end{theorem}

\begin{definition}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik, $G$ disebut grup fuzzy intusionistik sederhana jika dan hanya jika $K_I=\{e\}$
\end{definition}

\begin{theorem}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik sederhana, jika derived subgrup $G'$ faktor tertutup normal terhadap $g$ dan $f$ maka $G$ merupakan grup komutatif
\end{theorem}		
\begin{proof}
	Andaikan $G'$ merupakan faktor tertutup normal, oleh karena itu $G'	leq K_f,$ dan $G'\leq K_g$, maka $G'\leq K_I=\{e\}$ maka $G'=\{e\}$ sehingga $G$ merupakan grup komutatif.
\end{proof}
\begin{theorem}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik sederhana, jika second derived subgrup $G"$ merupakan faktor tertutup normal terhadap $g$ dan $f$, maka $G$ merupakan grup meta komutatif.
\end{theorem}
\begin{proof}
	Andaikan $G"$ faktor tertutup normal, oleh karena itu $G"	\leq K_f,$ dan $G"\leq K_g$, maka $G"\leq K_I=\{e\}$ maka $G"=\{e\}$ sehingga $G$ merupakan grup meta komutatif.
\end{proof}
\begin{definition}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik
	\begin{enumerate}
		\item $G$ disebut komutatif intusionistik jika dan hanya jika $K_I$ komutatif
		\item $G$ disebut siklik intusionistik jika dan hanya jika $K_I$ siklik
		\item $G$ disebut \textit{solvable} intusionistik jika dan hanya jika $K_I$ \textit{solvable}
	\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{theorem}$\cite{A}$
	Misalkan $(G,f,g)$ merupakan grup fuzzy intusionistik, maka:
	\begin{enumerate}
		\item Jika $G$ komutatif maka $G$ komutatif intusionitik
		\item Jika $G$ siklik maka $G$ siklik intusionitik
		\item Jika $G$ \textit{solvable} maka $G$ \textit{solvable} intusionitik
		\item Jika $G$ komutatif intusionistik maka $G$ \textit{solvable} intusionitik
	\end{enumerate}
\end{theorem}	
\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item Berdasarkan teorema setiap subgrup dari grup komutatif juga komutatatif, sehingga $K_I$ komutatif, maka berdasarkan definisi $G$ komutatif intusionistik.
		
		\item Berdasarkan teorema setiap subgrup dari grup siklik juga siklik, sehingga $K_I$ siklik, maka berdasarkan definisi $G$ siklik intusionistik.
		
		\item Berdasarkan teorema setiap subgrup dari grup \textit{solvable} juga \textit{solvable}, sehingga $K_I$ \textit{solvable}, maka berdasarkan definisi $G$ \textit{solvable} intusionistik.
		
		\item Berdasarkan teorema setiap grup komutatif itu \textit{solvable}, sehingga $K_I$ \textit{solvable}, maka berdasarkan definisi $G$ \textit{solvable} intusionistik.
	\end{enumerate}
\end{proof}
	
\section{Kesimpulan}
Pada artikel ini, konsep struktur aljabar grup dan kernel digunakan untuk mendefinisikan fuzzy grup beserta kernelnya. Sifat-sifat menarik pada struktur aljabar terkait dengan fuzzy, anti fuzzy, dan juga fuzzy intusionistik.

\section{Ucapan Terima kasih}
Ucapan terima kasih disampaikan penulis kepada Bapak Prihadi Kurniawan, Ibu Ayus Riana dan Bapak Agus Wayan yang telah membantu menyelesaikan artikel ini. Saran dan sumbangsih pemikiran beliau membuat artikel ini menjadi lebih baik.

\begin{thebibliography}{0}
\bibitem{L}Abobala, M., Hatip, A., 2021, \emph{An Algebraic Approch to Neutrosophic Euclidean Geometry}, Neutrosophic Sets and Systems, \textbf{43}.

\bibitem{B} Atanassov, K.T., 1986, Intutionistic Fuzzy sets. \emph{Fuzzy Sets and Systems}, \textbf{20}: 87--96

\bibitem{Q} Bakhadach, I., Melliani, S., Oukessou, M., Chadli, L.S., 2016, \emph{Intutionistic Fuzzy Ideal and Intutionistic Fuzzy Prime Ideal in a Ring}, ICIFSTA, \textbf{22(2)}:59--63.


\bibitem{A} Bal, M., Ahmad, K.D., Hajjari, A.A., Ali, R., 2022, A Short Note On The Kernel Subgroup Of Intuitionistic Fuzzy Groups, \emph{Journal of Neutrosophic and Fuzzy Systems (JNFS)}, \textbf{02 (1)}:14 -- 20 

\bibitem{E} Dummit, D.S., Footed, R.M., 2004, \textit{Abstract Algebra}, Edisi ke-3, John Wiley and Sons.

\bibitem{D}Gallian, J.A., 2020, \textit{Contemporary Abstract Algebra}, Edisi ke-10, Chapman and Hall/CRC, New York. 

\bibitem{J} Gupta, K.C., Sarma, B.K., 1999, \emph{Nilpotent Fuzzy Groups}, Fuzzy Set and Systems, \textbf{101}:167--176

\bibitem{F} Heirstein, I.N., 1996, \textit{Abstract Algebra}, Edisi ke-3, Prentice-Hall, Inc, New Jersey.

\bibitem{N} Hur, K., Jang, S.Y., Kang, H.W., 2005, \emph{Intutionistic Fuzzy Ideal of a Ring}, J. Korea Soc. Math. Edu. Ser.B: Pur Appl. Math., \textbf{12}

\bibitem{O} Hur, K., Kang, H.W., Song, H.K., 2003, \emph{Intutionistic Fuzzy Subgroups and Subrings}, Honam Math J., \textbf{25(1)}:19--41.

\bibitem{K}Liu, W.J., 1982, \emph{Fuzzy Invariant Subgroups and Fuzzy Ideals}, Fuzzy Set and Systems, \textbf{8}: 133-139

\bibitem{M} Marashdeh, M.F., Salleh, A.R., 2011, \emph{Intutionistic Fuzzy Rings}, International Journal of Algebra, \textbf{5(1)}:37--47.

\bibitem {G} Rosenfeld, A., 1971, \emph{Fuzzy Groups}, J.Math. Anal. Appl., \textbf{35}:512--517

\bibitem{P}Sharma, P.K., 2011, \emph{($\alpha, \beta$)-Cut Intutionistic FUzzy Groups}, International Mathematical Forum, \textbf{6(53)}:2605--2614.

\bibitem {H} Sivaramakrishna, P.D., 1981, \emph{Fuzzy Groups and Level Subgroups}, J.Math. Anal. Appl., \textbf{84}:264--269

\bibitem{I} Wu, W.M., 1981, \emph{Normal Fuzzy Subgroups}, Fuzzy Mathematics, \textbf{1(1)}:21--30


\bibitem{C}Zadeh, L.A., 1965, \emph{Fuzzy Sets}, Information and Control, \textbf{8}: 338--353
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{thebibliography}
\end{document}
