\documentclass{template-jurnal} %Bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND

\hyphenation{di-tulis-kan di-terang-kan}
%Perhatikan aturan penulisan dan ukuran huruf yang digunakan
\begin{document}

\markboth{ARIEF FARHAN KARIMI} %Jika lebih dari dua penulis, tuliskan sebagai Nama Penulis Pertama dkk.
{APLIKASI \textit{IMPROVED VOGEL'S APPROXIMATION METHOD}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Publisher's Area please ignore %%%%%%%%%%%%%%%
%
\catchline{}{}{}{}{}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{\textbf{APLIKASI \textit{IMPROVED VOGEL'S APPROXIMATION METHOD} UNTUK OPTIMASI BIAYA DISTRIBUSI BERAS SEJAHTERA PADA PERUM BULOG DIVRE SUMATERA BARAT}}

\author{SUSILA BAHRI, ARIEF FARHAN KARIMI, AHMAD IQBAL BAQI}

\address{Program Studi S1 Matematika,\\
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,\\
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.\\
email : \email{arieffarhan2000@gmail.com}}

\maketitle
\setcounter{page}{1} %bagian ini diedit oleh editor Jurnal Matematika UNAND
\begin{abstract}
\begin{center}
%Diterima ... \quad Direvisi ... \quad Dipublikasikan ... %tanggal-tanggal tersebut \textbf{dikosongkan} saja
\end{center}
\textbf{Abstrak}.
Perusahaan Umum Badan Urusan Logistik Divisi Regional Sumatera Barat (Perum Bulog Divre Sumatera Barat) merupakan perusahaan yang menangani kebutuhan pokok dengan penduduk mendistribusikan beras sejahtera ke berbagai daerah di Sumatera Barat yakni di Kabupaten Padang Pariaman, Kabupaten Kepulauan Mentawai, Kabupaten Pesisir Selatan, Kota Pariaman dan Kota Padang. Dalam proses pendistribusian Beras Sejahtera, diperlukan biaya yang besar. Untuk meminimumkan  \linebreak biaya tersebut, perlu adanya perencanaan yang matang agar biaya distribusi yang \linebreak dikeluarkan Perum menjadi optimal. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah transportasi dalam  pendistribusian Beras Sejahtera Perum Bulog Divre Sumatera Barat ini, digunakan \textit{Improved Vogel’s  Approximation  Method} (IVAM). Kemudian untuk \linebreak menguji optimalisasi biaya yang diperoleh digunakan \textit{Modified Distribution Method} (MODI). Hasil dari penelitian  menunjukkan bahwa biaya distribusi yang dihasilkan adalah Rp 124.149.070 sedangkan biaya yang dikeluarkan tanpa penggunaan metode diperoleh sebesar Rp 126.259.188. Dengan demikian terdapat optimasi penghematan sebesar Rp 2.001.938.
\end{abstract}

\keywords{Program Linier, Masalah Transportasi, \textit{Improved Vogel’s  Approximation  Method} (IVAM), \textit{Modified Distribution Method} (MODI)}

\section{Pendahuluan}

\hskip 0.6 cm Perusahaan negara yang menangani kebutuhan pokok penduduk dalam negeri adalah Perusahaan Umum Badan Urusan Logistik (Perum Bulog). Perum ini memiliki beberapa program kerja sepeti melakukan pendistribusian Beras Sejahtera yang merupakan program pemerintah Indonesia dan bertujuan untuk meningkatkan kebutuhan pangan dan perlindungan sosial kepada keluarga yang kurang mampu secara finansial. Pendistribusian ini dilakukan dari Gudang Beras Bulog (GBB) ke daerah-daerah di kabupaten/kota.\cite{9}    
Perum Bulog Divisi Regional (Divre)\linebreak Sumatera Barat adalah penanggung jawab dalam  program Beras Sejahtera untuk beberapa wilayah seperti Pesisir Selatan, Kepulauan Mentawai dan Padang Pariaman \cite{12}. Dalam proses pendistribusian Beras Sejahtera, terdapat masalah pendistribusian yang membutuhkan biaya yang besar. Untuk itu,  perlu adanya perencanaan yang matang agar biaya distribusi yang dikeluarkan Perum tersebut optimal. Oleh karena itu, masalah tersebut dapat digolongkan sebagai masalah transportasi.

Masalah transportasi merupakan suatu masalah yang membahas tentang pendistribusian suatu barang dari sejumlah sumber ke beberapa tempat tujuan agar biaya pengiriman yang dikeluarkan minimal\cite{6}. Terdapat beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah transportasi untuk menemukan biaya distribusi minimal tersebut yaitu \textit{North West Corner Method} (NWCM), \linebreak \textit{Vogels Approximation method}(VAM), \textit{Minimum Cost Method} (MCM)\cite{5}. Selain  metode  tersebut  ada  metode  pengembangan   dari   VAM   yaitu \textit{Improved Vogel’s \linebreak Approximation  Method} (IVAM) \cite{2}.

Penelitian tentang masalah transportasi telah banyak dilakukan. Diantaranya, penelitian yang menguji dua metode solusi awal yaitu VAM dan IVAM \cite{2}. Dari penelitian tersebut diperoleh bahwa solusi awal IVAM lebih efisien dari pada solusi awal metode VAM dalam memperoleh solusi masalah transportasi. Kemudian dari \cite{10} mengusulkan beberapa metode baru untuk menyelesaikan masalah transportasi yang tak seimbang. Metode-metode tersebut menghasilkan solusi yang sama \linebreak dengan VAM dan MCM sehingga metode itu dapat menjadi metode alternatif dalam \linebreak memperoleh biaya minimum masalah transportasi. Selanjutnya, pada \cite{11} membentuk metode baru yaitu \textit{Modified  Vogel’s approximation method} yang merupakan hasil modifikasi dari metode VAM untuk memperoleh solusi yang lebih efisien untuk masalah transportasi ukuran besar.

	Pada penelitian ini, penulis akan mengkaji optimasi biaya pendistibusian Beras Sejahtera yang bertujuan untuk mendapatkan biaya  minimal dengan menggunakan metode \textit{Improved Vogel's  Approximation  Method} (IVAM). Pada tahap akhir, untuk menguji apakah biaya yang diperoleh sudah optimal atau belum digunakan \textit{Modified Distribution Method} (MODI).  
\section{Landasan Teori}

\subsection{Masalah Transportasi}

Masalah transportasi adalah masalah yang membahas tentang masalah pendistribusian suatu barang dari sejumlah sumber ke beberapa tujuan dengan tujuan meminimumkan biaya distribusi yang dikeluarkan. Ciri-ciri masalah transportasi  :
\begin{enumerate}
\item Terdapat sumber dan tujuan.
\item Terdapat kuantitas tertentu pada barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan. 
\item Kesesuaian permintaan dan kapasitas sumber dengan kuantitas barang yang dikirim dari sumber ke tujuan.
\item Terdapat biaya transportasi dari sumber ke tujuan. \cite{6}
\end{enumerate}

\subsection{Model Matematika Masalah Transportasi}

Model masalah transportasi secara umum adalah sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Minimumkan
\begin{eqnarray}
Z = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij}
x_{ij}=c_{1,1}x_{1,1}+c_{1,2}x_{1,2}+...+c_{m,n}x_{m,n}
\end{eqnarray}
dengan kendala
\begin{eqnarray}
\sum_{j=1}^{n}x_{ij}\leq S_i  \hspace{4pc};i=1,2,...m\\
\sum_{i=1}^{m}x_{ij}\geq D_j  \hspace{4pc};i=1,2,...n
\end{eqnarray}
Keterangan :
$c_{ij}$ = biaya transportasi per unit barang dari sumber $i$ ke tujuan $j$
 
$x_{ij}$ = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber $i$ ke tujuan $j$
 
$S_i$ \hspace{0.3pc}= jumlah penawaran barang dari sumber $i$
 
$D_j$ \hspace{0.1pc}= jumlah permintaan barang oleh tujuan 

Bentuk umum dari tabel transportasi dapat dilihat pada Tabel 1.\cite{5}
\begin{center}
Tabel 1  Tabel Transportasi
\includegraphics[scale=0.5]{tabeltransportasi1.jpg}\\
\end{center}

Dalam masalah transportasi  jumlah \textit{supply} penawaran tidak selalu sama dengan jumlah \textit{demand} permintaan (masalah transportai tidak seimbang). Setiap masalah transportasi dapat dibuat seimbang dengan memasukkan kolom dummy atau baris dummy \cite{8}. Ada 2 kemungkinan yang terjadi pada masalah transportasi tidak seimbang yaitu:
\begin{enumerate}
\item Jika penawaran lebih besar dari permintaan $\sum_{i=1}^{m} S_i > \sum_{j=1}^{n} D_j$, masalah ini dapat diselesaikan dengan menambahkan \textit{dummy} pada kolom (tujuan) untuk menambah kekurangan dari permintaan sebesar $\sum_{i=1}^{m} S_i - \sum_{j=1}^{n} D_j = k_j$

\item Jika penawaran lebih kecil dari permintaan $\sum_{i=1}^{m} S_i < \sum_{j=1}^{n} D_j$, masalah ini dapat diselesaikan dengan menambahkan \textit{dummy} pada baris (sumber) untuk menambah kekurangan dari penawaran sebesar $\sum_{i=1}^{m} D_j - \sum_{j=1}^{n} S_i = k_i$
\end{enumerate}

\subsection{\textit{Improved Vogel's Approximation Method}}

\textit{Improved Vogel's Approximation Method} (IVAM) merupakan metode yang menambahkan langkah-langkah pada metode VAM dengan langkah perhitungan \textit{Total \linebreak Opportunity Cost} (TOC). TOC didapatkan dari penjumlahan antara \textit{Row \linebreak Opportunity Cost} (ROC) dan \textit{Column Opportunity Cost} (COC). ROC merupakan nilai yang diperoleh dari pengurangan setiap baris dengan nilai terkecil dari baris tersebut, sedangkan COC adalah nilai yang
diperoleh dari pengurangan setiap kolom dengan nilai terkecil dari kolom tersebut \cite{2}.
 
Langkah – langkah menghitung  solusi layak dasar dengan IVAM :
\begin{enumerate}
\item Bentuk tabel transportasi dari masalah transportasi

\item Pastikan masalah transportasinya merupakan masalah transportasi seimbang. Masalah transportasi dikatakan seimbang apabila jumlah penawaran sama dengan jumlah permintaan 
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{m} S_i = \sum_{j=1}^{n} D_j
\end{equation}
 
\item Hitung \textit{Row Opportunity Cost} (ROC) dengan cara melihat nilai biaya distribusi terendah pada suatu baris. Kurangi nilai distribusi tiap kotak pada baris dengan nilai distribusi terendah.

\item Hitung \textit{Column Opportunity Cost} (COC) dengan cara melihat nilai biaya distribusi terendah pada suatu kolom. Kurangi nilai distribusi tiap kotak pada kolom dengan nilai distribusi terendah.
 
\item	Menghitung  nilai  \textit{Total  Opportunity  Cost} (TOC) dimana TOC = COC + ROC dan nyatakan TOC dalam bentuk matriks.

\item Hitung selisih biaya terendah dengan biaya terendah  berikutnya  untuk  setiap  baris  dan kolom  pada matriks TOC.


\item Pilih tiga selisih biaya dengan nilai terbesar  dan  mengalokasikan  jumlah produk ke sel yang memiliki biaya  terendah pada ketiga baris atau kolom yang terpilih. Jika  terdapat nilai yang sama maka dapat dipilih secara sebarang. Dalam mengalokasikan jumlah produk  kedalam  tiga  baris atau  kolom yang  terpilih,  terlebih  dahulu  alokasikan jumlah  produk   ke baris atau kolom dengan  selisih  biaya  terbesar  diantara  tiga selisih  biaya itu dan alokasikan jumlah produk tersebut  sesuai  dengan  permintaan  dan  penawaran  paling minimum  yang  ada pada  baris  atau  kolom terpilih.

\item Baris atau kolom yang telah terisi jumlah produk  tidak digunakan   lagi   dalam   menghitung   selisih biaya berikutnya.


\item Ulangi  langkah  4  sampai  langkah  6  hingga  semua kotak pada baris dan kolom teralokasi.


\item Setelah semua sel terisi kemudian hitung total biaya minimum distribusi.

\end{enumerate}

\subsection {Metode \textit{Modified Distribution} }
 
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan apakah solusi layak dasar dari suatu masalah transpoerasi telah optimal (memberikan biaya paling  \linebreak minimum) atau belum. Metode ini lebih efisien dari metode \textit{Stepping Stone} apabila sumber dan tujuan berukuran besar \cite{7}. Dalam metode MODI terdapat persamaan sebagai berikut:
$m_i+n_j=c_{ij}$ dimana: 

$m_i$    = nilai setiap kotak baris ke-$i$
 
$n_j$    = nilai setiap kotak kolom ke-$j$

$c_{ij}$ = biaya distribusi barang per unit $ij$

\begin{flushleft}
 Langkah-langkah dalam metode MODI adalah: 
\end{flushleft}

 \begin{enumerate}
 
 \item Tentukan nilai $m_i$ untuk setiap baris dan nilai-nilai $n_j$ untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan $c_{ij} = m_i + n_j$ untuk semua variabel basis dan tetapkan nilai  $m_1 = 0$. 
 
\item Hitung perubahan biaya ($d_{ij}$) untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus $d_{ij} = c_{ij} - m_i - n_j$.
 
\item Apabila dari hasil perhitungan terdapat nilai $d_{ij}$ negatif, maka solusi belum optimal. Oleh karena itu dipilih $x_{ij}$ dengan nilai $d_{ij}$ negatif terbesar sebagai \textit{entering variabel}.
 
\item Gambarkan jalur atau loop tertutup untuk $x_{ij}$ yang dipilih dengan semua sudut loop memiliki nilai $x_{ij}$ tidak sama dengan 0.

\item Tetapkan tanda plus dan minus  pada $x_{ij}$ di titik sudut jalur tertutup dengan tanda plus pada $x_{ij}$ yang dipilih.

\item Pilih nilai $x_{ij}$ betanda minus yang terkecil ($x'_{ij}$), tambahkan $x'_{ij}$ ke semua $x_{ij}$ di titik sudut jalur tertutup yang ditandai dengan tanda plus, dan kurangi dari $x_{ij}$ yang ditandai dengan tanda minus.

\item Ulangi langkah pertama sampai $d_{ij}\geq 0$ \cite{7}.
\end{enumerate}


\section{Pembahasan}

\subsection{Data yang Digunakan}

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari Kantor Perum Bulog Divisi Regional Sumatera Barat, yaitu data jumlah persediaan Beras Sejahtera pada bulan  Mei 2019, data penyaluran Beras Sejahtera, data nilai distribusi Beras Sejahtera  per kg Beras Sejahtera di wilayah  Kota Pariaman, Kabupaten Padang Pariaman dan Kabupaten  Kepulauan  Mentawai \cite{12}. Persediaan Beras Sejahtera terletak di dua gudang yaitu : Rawang Timur dan Pampangan, selengkapnya dapat dilihat pada tabel 1. 


\begin{table}[h!]\hspace{10pc}
\begin{center}
Tabel 2 Jumlah Persediaan Beras Sejahtera
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
No & Gudang & Lokasi & Total Persediaan Beras (Kg)\\

\hline
1 & Rawang Timur (Ratim) & Padang & 191.226\\
\hline
2 & Pampangan & Padang & 127.484\\
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{Total} & 318.710\\
\hline
\multicolumn{2}{c}{\hspace{-2.7pc} \tiny sumber: Perum Bulog Sumbar, 2019}
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}  

\newpage
Beras Sejahtera akan didistribusikan ke beberapa Kecamatan yang ada di Kabupaten/Kota (Tabel 3), seperti di Kota Pariaman terdapat 4 Kecamatan, Kabupaten Padang Pariaman terdapat 17 kecamatan dan Kabupaten Kepulauan Mentawai terdapat 10 Kecamatan. Sehingga jumlah Kecamatan yang didistribusikan Beras Sejahtera oleh Perum Bulog Divre Sumbar dari gudang Ratim dan gudang Pampangan adalah 31 Kecamatan. 
\begin{center}
Tabel 3 Data Penyaluran Beras Sejahtera dalam satuan kg beras\\
\includegraphics[scale=0.5]{tabel11.jpg}\\
%\includegraphics[scale=0.5]{tabel11a.jpg}\\
\end{center} 

\newpage
Berdasarkan tabel 4 Biaya Distribusi Beras Sejahtera untuk Kabupaten Padang Pariaman dan Kota Pariaman adalah diantara Rp. 110 - Rp. 170 per kg, sedangkan biaya distribusi Beras Sejahtera untuk wilayah Kabupaten Kepulauan Mentawai adalah diantara Rp. 1000 - Rp. 1040 per kg.
\begin{center}
Tabel 4 Biaya Distribusi Beras Sejahtera Per Kg Beras Dalam Rupiah
\includegraphics[scale=0.5]{tabel12.jpg}\\
%\includegraphics[scale=0.5]{tabel12a.jpg}\\
\end{center}

\subsection{Pembahasan}
Data yang telah diperoleh diformulasikan ke dalam bentuk model matematika persamaan linier yang modelnya dapat ditulis sebagai berikut.

Minimumkan Z = \[ \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{31} c_{ij} x_{ij} \]

dimana
fungsi tujuannya adalah,

Z = $ 150x_{1,1}+145x_{1,2}+150x_{1,3}+150x_{1,4}+135x_{1,5}+140x_{1,6}+117x_{1,7}+165x_{1,8}+125x_{1,9}+167x_{1,10}+139x_{1,11}+130x_{1,12}+143x_{1,13}+142x_{1,14}+121x_{1,15}+162x_{1,16}+151x_{1,17}+125x_{1,18}+157x_{1,19} +151x_{1,20}+140x_{1,21}+1000x_{1,22}+1020x_{1,23}+1025x_{1,24}+1010x_{1,25}+1040x_{1,26}+1040x_{1,27}+1000x_{1,28}+1010x_{1,29}+1030x_{1,30}+1030x_{1,31}+152x_{2,1}+150x_{2,2}+152x_{2,3}+152x_{2,4}+140x_{2,5}+118x_{2,6}
+116x_{2,7}+140x_{2,8}+125x_{2,9}+137x_{2,10}+139x_{2,11}+150x_{2,12}+113x_{2,13}+112x_{2,14}+141x_{2,15}+132x_{2,16}+121x_{2,17}+135x_{2,18}+147x_{2,19}+131x_{2,20}+140x_{2,21}+1010x_{2,22}+1015x_{2,23}+1020x_{2,24}+1000x_{2,25}+1040x_{2,26}+1035x_{2,27}+1015x_{2,28}+1000x_{2,29}+1040x_{2,30}+1040x_{2,31}$

fungsi kendalanya adalah,
\begin{enumerate}

\item Penawaran (Jumlah persediaan beras sejahtera) :

$\sum_{j=1}^{31}x_{ij}=191.226  \hspace{5pc};i=1 \hspace{1pc}$(untuk gudang Ratim)
 
$\sum_{j=1}^{31}x_{ij}=127.484  \hspace{5pc};i=2\hspace{1pc}$(untuk gudang Pampangan) 


\item Permintaan (Jumlah beras yang disalurkan)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=9.840  \hspace{3pc};j=1 \hspace{1pc}$(untuk Pariaman Utara)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=6.470  \hspace{3pc};j=2 \hspace{1pc}$(untuk Pariaman Selatan)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=6.970  \hspace{3pc};j=3 \hspace{1pc}$(untuk Pariaman Timur)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=6.550  \hspace{3pc};j=4 \hspace{1pc}$(untuk Pariaman Tengah)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=7.150  \hspace{3pc};j=5 \hspace{1pc}$(untuk 2X11 Enam Lingkung)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=13.940  \hspace{2.5pc};j=6 \hspace{1pc}$(untuk 2X11 Kayu Tanam)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=12.020  \hspace{2.5pc};j=7 \hspace{1pc}$(untuk Batang Anai)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=8.570  \hspace{3pc};j=8 \hspace{1pc}$(untuk Batang Gasan)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=9.820  \hspace{3pc};j=9 \hspace{1pc}$(untuk Enam Lingkung)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=15.150  \hspace{2.5pc};j=10 \hspace{1pc}$(untuk IV Koto Aur Malintang)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=14.070  \hspace{2.5pc};j=11 \hspace{1pc}$(untuk Lubuk Alung)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=10.260  \hspace{2.5pc};j=12 \hspace{1pc}$(untuk Nan Sabaris)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=5.450  \hspace{3pc};j=13 \hspace{1pc}$(untuk Padang Sago)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=11.600  \hspace{2.5pc};j=14 \hspace{1pc}$(untuk Patamuan)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=10.190  \hspace{2.5pc};j=15 \hspace{1pc}$(untuk Sintuk TB. Gadang)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=14.830  \hspace{2.5pc};j=16 \hspace{1pc}$(untuk Sungai Geringging)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=18.610  \hspace{2.5pc};j=17 \hspace{1pc}$(untuk Sungai Limau)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=11.430  \hspace{2.5pc};j=18 \hspace{1pc}$(untuk Ulakan Tapakis)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=10.100  \hspace{2.5pc};j=19 \hspace{1pc}$(untuk V Koto Kp Dalam)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=7.460  \hspace{3pc};j=20 \hspace{1pc}$(untuk V Koto Timur )

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=15.500  \hspace{2.5pc};j=21 \hspace{1pc}$(untuk VII Koto S. Sariak)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=9.020  \hspace{3pc};j=22 \hspace{1pc}$(untuk Siberut Tengah)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=8.590  \hspace{3pc};j=23 \hspace{1pc}$(untuk Siberut Selatan)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=9.550  \hspace{3pc};j=24 \hspace{1pc}$(untuk Siberut Barat Daya)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=11.600  \hspace{2.5pc};j=25 \hspace{1pc}$(untuk Siberut Barat)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=6.810  \hspace{3pc};j=26 \hspace{1pc}$(untuk Siberut Utara)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=11.040  \hspace{2.5pc};j=27 \hspace{1pc}$(untuk Sipora Selatan)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=4.610  \hspace{3pc};j=28 \hspace{1pc}$(untuk Sipora Utara)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=10.910  \hspace{2.5pc};j=29 \hspace{1pc}$(untuk Sikakap)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=14.280  \hspace{2.5pc};j=30 \hspace{1pc}$(untuk Pagai Selatan)

$\sum_{i=1}^{2}x_{ij}=6.320  \hspace{3pc};j=31 \hspace{1pc}$(untuk Pagai Utara)
\end{enumerate}
 
 \begin{flushleft}
 Selanjutnya akan dicari solusi layak dasar dengan metode IVAM. Berikut 

ini adalah langkah langkahnya :
 \end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Bentuk tabel transportasi dari masalah transportasi. Dengan menggunakan data, diperoleh tabel transportasi sebagai berikut :

\hspace{6pc} Tabel 5 Tabel Transportasi\\
\includegraphics[scale=0.5]{tabel15.jpg}
\includegraphics[scale=0.5]{tabel155.jpg}


\item Pastikan masalah transportasinya merupakan masalah transportasi seimbang. jumlah permintaan sama dengan penawaran, sehingga masalah transportasinya seimbang. 
Dimana  $\sum_{i=1}^{2} S_i = \sum_{j=1}^{31} D_j$

\item Menghitung nilai \textit{Total Opportunity Cost} (TOC).
Terlebih dahulu dicari \textit{Row Opportunity Cost}(ROC). Pada Tabel 5 biaya distribusi terendah pada baris 1 adalah 117 dan baris 2 adalah 112 sehingga kurangkan setiap biaya distribusi pada masing-masing baris dengan biaya distribusi terendah pada baris yang sama. Selanjutnya dicari \textit{Column Opportunity Cost} (COC). Pada Tabel 5 biaya distribusi terendah pada kolom 1 adalah 150, kolom 2 adalah 145, kolom 3 adalah 150, kolom 4 adalah 150, kolom 5 adalah 135, dan  seterusnya  sehingga kurangkan setiap biaya distribusi pada masing-masing kolom dengan biaya distribusi terendah pada kolom yang sama. Kemudian jumlahkan hasil ROC dan COC sehingga diperoleh nilai TOC seperti berikut : baris 1 kolom 1 = \textbf{33}, baris 1 kolom 2 = \textbf{28}, baris 1 kolom 3 = \textbf{33}, baris 1 kolom 4 = \textbf{33}, baris 1 kolom 5 = \textbf{18}, baris 1 kolom 6 = \textbf{45}, baris 1 kolom 7 = \textbf{1}, baris 1 kolom 8 = \textbf{73}, baris 1 kolom 9 = \textbf{8}, baris 1 kolom 10 = \textbf{80}, baris 1 kolom 11 = \textbf{22},  baris 1 kolom 12 = \textbf{13}, baris 1 kolom 13 = \textbf{56}, baris 1 kolom 14 = \textbf{55}, baris 1 kolom 15 = \textbf{4}, baris 1 kolom 16 = \textbf{75}, baris 1 kolom 17 = \textbf{64}, baris 1 kolom 18 = \textbf{8}, baris 1 kolom 19 = \textbf{50}, baris 1 kolom 20 = \textbf{54}, baris 1 kolom 21 = \textbf{23}, baris 1 kolom 22 = \textbf{883}, baris 1 kolom 23 = \textbf{908}, baris 1 kolom 24 = \textbf{913}, baris 1 kolom 25 = \textbf{903}, baris 1 kolom 26 = \textbf{923}, baris 1 kolom 27 = \textbf{928}, baris 1 kolom 28 = \textbf{883}, baris 1 kolom 29 = \textbf{903}, baris 1 kolom 30 = \textbf{913}, baris 1 kolom 31 = \textbf{913}, baris 2 kolom 1 = \textbf{42}, baris 2 kolom 2 = \textbf{43}, baris 2 kolom 3 = \textbf{42}, baris 2 kolom 4 = \textbf{42}, baris 2 kolom 5 = \textbf{33}, baris 2 kolom 6 = \textbf{6}, baris 2 kolom 7 = \textbf{4}, baris 2 kolom 8 = \textbf{28}, baris 2 kolom 9 = \textbf{13}, baris 2 kolom 10 = \textbf{25}, baris 2 kolom 11 = \textbf{27}, baris 2 kolom 12 = \textbf{58}, baris 2 kolom 13 = \textbf{1}, baris 2 kolom 14 = \textbf{0}, baris 2 kolom 15 = \textbf{49}, baris 2 kolom 16 = \textbf{20}, baris 2 kolom 17 = \textbf{9}, baris 2 kolom 18 = \textbf{33}, baris 2 kolom 19 = \textbf{35}, baris 2 kolom 20 = \textbf{19}, baris 2 kolom 21 = \textbf{28}, baris 2 kolom 22 = \textbf{908},  baris 2 kolom 23 = \textbf{903}, baris 2 kolom 24 = \textbf{908}, baris 2 kolom 25 = \textbf{888}, baris 2 kolom 26 = \textbf{928}, baris 2 kolom 27 = \textbf{923}, baris 2 kolom 28 = \textbf{918}, baris 2 kolom 29 = \textbf{888}, baris 2 kolom 30 = \textbf{938} dan baris 2 kolom 31 = \textbf{938}.
Dari nilai TOC tersebut, diperoleh matriks TOC ukuran 2 $\times$ 31.
%\hspace{-0.5pc} \includegraphics[scale=0.4]{mm1.jpg}\\
\item Menentukan selisih dari dua biaya terendah untuk setiap baris dan kolom yang sama. 

Berdasarkan matriks TOC maka selisih dua biaya terendah pada masing-masing baris dan kolom adalah : baris 1 = \textbf{3}, baris 2 = \textbf{1}, kolom 1 = \textbf{9}, kolom 2 = \textbf{15}, kolom 3 = \textbf{9}, kolom 4 = \textbf{9}, kolom 5 = \textbf{15}, kolom 6 = \textbf{39}, kolom 7 = \textbf{3}, kolom 8 = \textbf{45}, kolom 9 = \textbf{5}, kolom 10 = \textbf{55}, kolom 11 = \textbf{5}, kolom 12 = \textbf{45}, kolom 13 = \textbf{55}, kolom 14 = \textbf{55}, kolom 15 = \textbf{45}, kolom 16 = \textbf{55}, kolom 17 = \textbf{55}, kolom 18 = \textbf{25}, kolom 19 = \textbf{15}, kolom 20 = \textbf{35}, kolom 21 = \textbf{5}, kolom 22 = \textbf{25}, kolom 23 = \textbf{5}, kolom 24 = \textbf{5}, kolom 25 = \textbf{15}, kolom 26 = \textbf{5}, kolom 27 = \textbf{5}, kolom 28 = \textbf{35}, kolom 29 = \textbf{15}, kolom 30 = \textbf{25}, kolom 31 = \textbf{25},

Hasil perhitungan selisih dua biaya terendah dari langkah 4 dapat dilihat bahwa selisih biaya terbesar yang pertama adalah 55, oleh karena itu produk (beras) dialokasikan ke sel nilai terendah pada kolom 10. Biaya terendah pada kolom  10 adalah 137 sehingga alokasikan produk pada sel tersebut sebanyak 15.150 (min (15.150, 127.484) = 15.150). Selanjutnya selisih biaya terbesar adalah 45 sehingga alokasikan  produk ke sel yang memiliki biaya terendah pada kolom 8. Biaya terendah  pada kolom 8 adalah 140 sehingga alokasikan produk pada sel tersebut sebanyak 8.570 (min (8.570,127.484) = 8.570). Kemudian selisih biaya terbesar adalah 39 sehingga alokasikan produk ke sel yang memiliki biaya terendah  pada  kolom  6. Biaya terendah pada kolom 6 adalah 118 sehingga alokasikan produk pada sel tersebut sebanyak 13940 (min (13.940,127.484) = 13.940). 

Berdasarkan pengalokasian tersebut, kolom 6, kolom 8, dan kolom 10 telah terpenuhi karena telah sesuai dengan jumlah permintaan ($D_j$) sehingga kolom 6, kolom 8, dan kolom 10 tidak digunakan lagi untuk menghitung selisih dua biaya terendah berikutnya. Selanjutnya ulangi langkah 3 sampai langkah 5, sehingga diperoleh hasil akhir pengalokasian beras menggunakan IVAM pada iterasi ke-6 dengan total biaya distribusi sebesar Rp 124.149.070

 \begin{center}
 Tabel 6  Hasil Akhir Solusi Layak Dasar
\includegraphics[scale=0.5]{tabel24.jpg}\\
\end{center}

\end{enumerate}
Selanjutnya akan di periksa apakah solusi dasar layak yang diperoleh sudah optimal atau belum. Pada penelitian ini penulis akan menggunakan metode \textit{Modified Distribution Method} (MODI). Langkah penentuan optimalitas solusi dasar layak dengan menggunakan MODI adalah sebagai berikut :
\begin{itemize}
\item Menentukan nilai baris (\textit{$m_i$}) dan kolom (\textit{$n_j$}) untuk setiap variabel basis dengan menggunakan hubungan \textit{$c_{ij} = m_i + n_j$} , dimana \textit{$c_{ij}$}  adalah biaya distribusi dan nilai \textit{$m_1$} ditetapkan adalah  0 (\textit{$m_1$}=0).
\begin{flushleft}
\hspace{10pc} $c_{1,1}=m_1+n_1$ 
 
\hspace{10pc} $150=0+n_1$ 
 
\hspace{10pc} $n_1=150$ 
 \end{flushleft}
 \begin{flushleft}
\hspace{10pc}$c_{1,2}=m_1+n_2$

\hspace{10pc}$145=0+n_2$

\hspace{10pc}$n_2=145$
\end{flushleft}
\begin{center}
\textbf{.}

\textbf{.}

\textbf{.}
\end{center}
\begin{flushleft}
\hspace{12pc}$c_{1,31}=m_1+n_{31}$

\hspace{12pc}$1030=0+n_{31}$
 
\hspace{12pc}$n_{31}=1030$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\hspace{12pc}$c_{2,29}=m_2+n_{29}$

\hspace{12pc}$1000=m_2+1010$

\hspace{12pc}$m_2=1000-1010$

\hspace{12pc}$m_2=-10$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\hspace{12pc}$c_{2,6}=m_2+n_6$

\hspace{12pc}$118=-10+n_6$

\hspace{12pc}$n_6=128$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
\hspace{12pc}$c_{2,8}=m_2+n_8$

\hspace{12pc}$140=-10+n_8$

\hspace{12pc}$n_8=150$
\end{flushleft}

\begin{center}

\textbf{.}
 
\textbf{.}

\textbf{.}
\end{center}
\begin{flushleft}
\hspace{12pc}$c_{2,25}=m_2+n_{25}$

\hspace{12pc}$1000=-10+n_{25}$

\hspace{12pc}$n_{25}=1010$
\end{flushleft}

\item Kemudian menghitung perubahan biaya $d_{ij}$ untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus $d_{ij}$ = $c_{ij}$$-m_i$$-n_j$.
\begin{flushleft}

\hspace{12pc}$d_{1,6}= c_{1,6}-m_{1}-n_{6}$
 
\hspace{13.5pc} $= 140-0-128$
 
\hspace{13.5pc} $= 12$
 
\hspace{12pc}$d_{1,8}=c_{1,8}-m_1-n_8$
 
\hspace{13.5pc} $=165-0-150$
 
\hspace{13.5pc} $=15$
 
\hspace{17pc} \textbf{.}
 
\hspace{17pc} \textbf{.}
 
\hspace{17pc} \textbf{.}
 
\hspace{12pc} $d_{1,25}=c_{1,25}-m_1-n_25$
  
\hspace{14pc} $=1010-0-1010$
 
\hspace{14pc} $=0$
 
\hspace{12pc} $d_{2,1}= c_{2,1}-m_2-n_1$
 
\hspace{14pc} $=152-(-10)-150$
 
\hspace{14pc} $=12$
 
\hspace{12pc}$d_{2,2}= c_{2,2}-m_2-n_2$
 
\hspace{14pc} $=150-(-10)-145$

\hspace{14pc} $=15$

\hspace{17pc} \textbf{.}
 
\hspace{17pc} \textbf{.}
 
\hspace{17pc} \textbf{.}
 
\hspace{12pc}$d_{2,31}= c_{2,31}-m_1-n_31$
 
\hspace{14pc} $=1040-(-10)-1030$

\hspace{14pc} $=20$
\end{flushleft} 
\end{itemize}

Dari perhitungan perubahan biaya $d_{ij}$ untuk setiap variabel non basis, diperoleh semua nilai $d_{ij}\geq0$, sehingga dapat dinyatakan bahwa solusi optimal untuk masalah transportasi telah diperoleh. Akibatnya, perhitungan biaya transportasi dengan metode IVAM  juga optimal. Oleh karena itu, biaya optimal transportasi adalah Rp 124.149.070.

\section{Kesimpulan}

Dari hasil perhitungan diperoleh biaya transportasi optimal adalah sebesar Rp 124.149.070. Hasil perhitungan biaya transportasi Beras Sejahtera yang didistribusikan ke Kota Pariaman, Kabupaten Padang Pariaman dan Kabupaten Kepulauan Mentawai dengan metode IVAM (\textit{Improved Vogel's Approximation Method}) sudah mencapai optimal setelah diperiksa keoptimalannya dengan menggunakan metode MODI (\textit{Modified Distribution Method}). Biaya yang dikeluarkan tanpa menggunakan metode solusi awal diperoleh sebesar Rp 126.259.188 sedangkan biaya distribusi dengan metode IVAM adalah sebesar Rp 124.149.070. Dengan demikian telah terjadi optimasi biaya dengan penghematan sebesar Rp 2.001.938. 

\section{Ucapan Terima kasih}
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Prof. Dr. Muhafzan, dan Bapak Narwen, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik.

\begin{thebibliography}{0}

\bibitem{10} B.G Agaie, M.M Adamu, Mohammed Yakubu, Sani Isah dan Abdullahi Ibrahim.2020. An Improvement on Vogel’s Method to Feasible the Solution of
Transportation Problem. \textit{Kasu Journal Of Mathematical Sciences},1(2).104-115  

\bibitem{9} Bulog.Perum Bulog.http://www.bulog.co.id/ diakses pada tanggal 25 September 2021

\bibitem {12} Bulog Sumbar. Perum Bulog Divre Sumatera Barat

\bibitem{2} Korukoğlu, S dan S. Ballı.  2011.  An Improved  Vogel's  Approximation  Method  for  The Transportation    Problem. Mathematical  and     Computational     Applications. \textit{Mathematical and Computational Application}, 16 (2). 370-381

\bibitem{11} M. Wali Ullah , M. Alhaz Uddin dan Rijwana Kawser.2016. A Modified Vogel’s Approximation Method for
Obtaining a Good Primal Solution of Transportation Problems. \textit{Annals of Pure and Applied Mathematics}, 11(1).63-71
 
\bibitem{5} N. Simbolon, L.D., Situmorang, M. Napitupulu. 1991. Aplikasi Metode Transportasi dalam optimasi biaya distribusi beras miskin (raskin) pada PERUM Bulog sub drive Medan. \textit{Saintia Mat}, 2. 299-311  

\bibitem{7} Annisa Feriani dan Mardiningsih.2021. Analysis of Transportation Method in Optimization of Distribution Cost Using Stepping Stone Method and Modified Distribution. \textit{Journal of Mathematics Technology and Education},1(1).103-112

\bibitem{6} Siswanto. 2007. \textit{Operation Research.} Jakarta: Erlangga.

\bibitem{8} Wintson, W.L. 1991. \textit{Operation Research : Application and Algorithms. Fourth Edition.} USA: Indiana University.
\vskip .32 cm

\end{thebibliography}
\end{document}
