ON THE UPPERBOUND OF THE LOCATING CHROMATIC NUMBERS OF THE AMALGAMATION OF PATHS AND ITS BARBEL GRAPH

Abstract

2002. Bilangan kromatik lokasi suatu graf merupakan perpaduan dari pewarnaan titik dan dimensi partisi graf\cite{C}. Misalkan $c$ suatu pewarnaan titik pada graf $G$ dengan $c(u)\ne c(v)$ untuk $u$ dan $v$  bertetangga di $G$. Misalkan $C_i$ himpunan titik-titik yang diberi warna $i$ dan $\Pi = \{C_1, C_2,\dots, C_k\}$ merupakan himpunan partisi dari $V(G)$. Kode warna $c_\Pi (v)$ dari $v$ adalah $k$-pasangan terurut $(d(v,C_1),d(v,C_2),\dots,d(v,C_k)$ dengan $d(v,C_i)=min\{d(v,x)|x\in C_i\}$ untuk $1\le i\le k$. Jika setiap titik di $G$ mempunyai kode warna yang berbeda, maka $c$ disebut pewarnaan lokasi dari $G$. Nilai terkecil $k$ sedemikian sehingga $G$ mempunyai pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi graf $G$. Amalgamasi dari $n\ge3$ buah graf lintasan $(P_m,m\ge3)$ dinotasikan dengan $_nP_m$  diperoleh dengan cara menyatukan satu titik dari setiap graf lintasan $P_m$. Graf barbel dari amalgamasi  lintasan diperoleh dengan menghubungkan dua jiplakan dari graf amalgamasi lintasan $_nP_m$, yang dihubungkan oleh sebuah sisi dinotasikan dengan $B(_nP_m )$. Batas atas bilangan kromatik lokasi graf amalgamasi lintasan untuk $m,n\ge3$ adalah $\lceil \sqrt{n} \ \rceil +1$ dan $\lceil \sqrt{n} \ \rceil +2$ untuk graf barbelnya.